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    一種可穩(wěn)定計(jì)算負(fù)躍層淺海環(huán)境下聲場(chǎng)的波數(shù)積分方法

    2022-10-17 10:53:02于曉林許偉杰楊春梅駱文于
    聲學(xué)技術(shù) 2022年4期
    關(guān)鍵詞:淺海波數(shù)聲場(chǎng)

    于曉林,許偉杰,楊春梅,駱文于

    (1.中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站,上海 201800;2.自然資源部第一海洋研究所,山東青島 266100;3.中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所聲場(chǎng)聲信息國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

    0 引言

    在夏、秋季節(jié),淺海中常存在較強(qiáng)的負(fù)躍層。在負(fù)躍層海域,海水可以分成三層,最上層以及最下層的聲速隨深度變化緩慢,兩層之間的中間層的聲速變化劇烈。淺海負(fù)躍層對(duì)水下聲監(jiān)測(cè)、漁業(yè)生產(chǎn)、艦艇航行等有極大的影響[1],因此對(duì)淺海負(fù)躍層聲傳播規(guī)律的研究極為重要[2]。

    波數(shù)積分方法首先是由Pekeris引入到水聲學(xué)中的[3],簡(jiǎn)正波[4-5]方法是通過(guò)復(fù)圍線積分法計(jì)算該積分,得到的是不同階簡(jiǎn)正波對(duì)應(yīng)的留數(shù)之和,而波數(shù)積分方法是通過(guò)直接對(duì)波數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分求解的,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)波數(shù)積分方法進(jìn)行了相應(yīng)的研究[6-8]。在某些低頻淺海環(huán)境下,波數(shù)積分算法的計(jì)算結(jié)果比簡(jiǎn)正波方法更準(zhǔn)確[9]。

    文獻(xiàn)[10]提出了一個(gè)負(fù)躍層淺海環(huán)境中的波數(shù)積分解法,該解法在理論上是正確的,但是在實(shí)際的仿真中發(fā)現(xiàn),當(dāng)水平波數(shù)的取值過(guò)大時(shí),會(huì)造成艾里(Airy)函數(shù)的數(shù)值溢出,系數(shù)矩陣存在數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象。為了解決文獻(xiàn)[10]中給出的解法中存在的數(shù)值不穩(wěn)定的問(wèn)題,本文通過(guò)合理地歸一化,提出了一種負(fù)躍層淺海環(huán)境下無(wú)條件穩(wěn)定的波數(shù)積分方法。

    1 理論推導(dǎo)

    1.1 波數(shù)積分理論

    1.2 負(fù)躍層淺海環(huán)境下不穩(wěn)定的波數(shù)積分算法

    文獻(xiàn)[10]給出了計(jì)算負(fù)躍層淺海環(huán)境下的深度格林函數(shù)的線性方程組,該線性方程組在理論推導(dǎo)上是沒(méi)問(wèn)題的,但是由于未對(duì)Airy函數(shù)做任何的變換,因此在實(shí)際的仿真中,系數(shù)矩陣存在數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。下面簡(jiǎn)單介紹下文獻(xiàn)[10]中給出的線性方程組并分析其不穩(wěn)定的原因,然后通過(guò)對(duì)Airy函數(shù)合理的變換,從而求得穩(wěn)定的深度格林函數(shù)。

    負(fù)躍層淺海環(huán)境中的聲速如式(5)所示。

    其中:cu為第一層中的聲速,cd為第三層中的聲速,cb為海底聲速,ρw為海水密度,ρb為海底密度,H為海水深度,H1、H2分別為負(fù)躍層的起、止深度。

    以聲源位于第一層為例,各層中的線性方程可以表示如下[11]:

    該矩陣方程的系數(shù)矩陣?yán)锎嬖谮呌跓o(wú)窮大的項(xiàng)Bi(ζ)以及Bi'(ζ),因此可能存在數(shù)值溢出的現(xiàn)象。在仿真中發(fā)現(xiàn),當(dāng)水平波數(shù)取值大于第三層海水波數(shù)k3時(shí),仿真計(jì)算會(huì)提示矩陣接近奇異值、結(jié)果可能不準(zhǔn)確的警告??梢?jiàn),由于Airy函數(shù)的漸近特性,該深度格林函數(shù)的解在數(shù)值上是不穩(wěn)定的,為了解決該問(wèn)題,需要在系數(shù)項(xiàng)里避免趨于無(wú)窮大的項(xiàng)Bi(ζ)以及Bi'(ζ),因此本文提出了一種無(wú)條件穩(wěn)定的波數(shù)積分算法。

    1.3 負(fù)躍層淺海環(huán)境下穩(wěn)定的波數(shù)積分算法

    由于Airy函數(shù)的漸近特性,上述得到的矩陣方程存在數(shù)值不穩(wěn)定的問(wèn)題,下面給出一種數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算方法。負(fù)躍層淺海環(huán)境中,聲源位于第一層、第三層、第二層時(shí)的示意圖如圖1~3所示。

    圖1 聲源處于第一層Fig.1 The sound source in the first layer

    1.3.1 聲源處于第一層時(shí)的矩陣方程

    為了避免系數(shù)矩陣的系數(shù)項(xiàng)是奇異矩陣,需要對(duì)Airy函數(shù)進(jìn)行變換,將Airy函數(shù)表示成式(22)中的形式[12]:

    圖2 聲源處于第三層Fig.2 The sound source in the third layer

    圖3 聲源處于第二層Fig.3 The sound source in the second layer

    該矩陣方程的系數(shù)項(xiàng)不存在趨于無(wú)窮大的項(xiàng)Bi(ζ)以及Bi'(ζ),是無(wú)條件穩(wěn)定的,可以求得未知變量,然后通過(guò)式(6)~(9)求得聲源在第一層時(shí),各個(gè)層的深度格林函數(shù),最后利用式(3)可以求得聲場(chǎng)的位移勢(shì)能,從而求得各個(gè)層的聲場(chǎng)。

    1.3.2 聲源處于第三層時(shí)的矩陣方程

    當(dāng)聲源處于第三層時(shí),同樣可以得到聲源位于第三層時(shí)的無(wú)條件穩(wěn)定的矩陣方程:

    此時(shí):A、x與式(30)中取值相同,b的取值如下:

    通過(guò)該矩陣方程,可以求得7個(gè)未知變量,進(jìn)而求得總聲場(chǎng)。

    1.3.3 聲源處于第二層時(shí)的矩陣方程

    當(dāng)聲源處于第二層時(shí),需要在聲源深度處構(gòu)建一個(gè)虛擬界面,同時(shí)在該虛擬邊界z=zs處添加兩個(gè)邊界條件:

    從而得到聲源位于第二層的矩陣方程:

    此時(shí):

    利用該矩陣方程,可以求出9個(gè)未知變量,進(jìn)而求得總聲場(chǎng)。

    1.4 聲場(chǎng)計(jì)算

    通過(guò)前面的推導(dǎo),可以得到聲源位于三個(gè)層中的無(wú)條件穩(wěn)定的深度格林函數(shù),再利用式(3)可以得到聲場(chǎng)的位移勢(shì)。在實(shí)際的仿真中,對(duì)格林函數(shù)尖峰的欠采樣,容易引入較大的誤差。為了解決這一問(wèn)題,采用復(fù)圍線積分的方法[11]:

    式中:M是采樣點(diǎn)數(shù),kmax為數(shù)值積分的上限,kmin為數(shù)值積分的下限。

    2 數(shù)值算例

    考慮圖4的海洋環(huán)境,海洋環(huán)境為負(fù)躍層淺海環(huán)境,海水深度為100 m,海水密度為1.0 g·cm-3,0~25 m的聲速為1 500 m·s-1,25~45 m的聲速由1 500 m·s-1變?yōu)? 460 m·s-1,45~100 m的聲速為1 460 m·s-1,海底聲速為1 800 m·s-1,海底密度為1.8 g·cm-3,海底吸收系數(shù)為0.15 dB·λ-1。

    圖4 負(fù)躍層淺海聲場(chǎng)計(jì)算實(shí)例的海洋聲速剖面示意圖Fig.4 A typical sound speed profile for sound field calculation in the shallow-water with a negative thermoclines

    分別將聲源置于第一層等聲速層以及第二層負(fù)躍層中,比較數(shù)值不穩(wěn)定的算法與本文所提出的數(shù)值穩(wěn)定的解法的結(jié)果差異:對(duì)于數(shù)值不穩(wěn)定算法來(lái)說(shuō),水平波數(shù)最大取值只能取到第三層海水中波數(shù)k3附近,其中k3=ω/cd,當(dāng)水平波數(shù)的取值超過(guò)k3值時(shí),系數(shù)矩陣存在數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象,線性方程求解器在求解時(shí)會(huì)發(fā)生預(yù)警;而對(duì)于優(yōu)化后的算法來(lái)說(shuō),水平波數(shù)可以取到一個(gè)極大值。在實(shí)際的仿真計(jì)算中,水平波數(shù)的取值應(yīng)該根據(jù)算例的具體情況來(lái)確定:理論上,為保證格林函數(shù)的收斂性,水平波數(shù)的取值應(yīng)該越大越好,但是為保證計(jì)算效率,水平波數(shù)取值又應(yīng)該越小越好。對(duì)于本算例來(lái)說(shuō),1.2k3是一個(gè)可以保證格林函數(shù)收斂到0值附近的極小取值,因此本文中優(yōu)化后算法的水平波數(shù)一律取到1.2k3。圖5是聲源位于20 m(聲源在第一層)時(shí),各層的深度格林函數(shù)。在本算例中,數(shù)值不穩(wěn)定算法的深度格林函數(shù)的水平波數(shù)最大值只能取到k3(即0.215),優(yōu)化后的算法的水平波數(shù)最大取值為1.2k3(即0.258)時(shí),就可以保證該算例下深度格林函數(shù)的收斂性。圖6給出相應(yīng)的傳播損失結(jié)果。

    圖6 聲源深度為20 m,不同接收深度處的傳播損失計(jì)算結(jié)果(穩(wěn)定與不穩(wěn)定波數(shù)積分算法對(duì)比)Fig.6 The transmission losses at different depths for the sound source at the depth of 20 m(comparison between stable and unstable wave-number integral algorithms)

    圖7是聲源位于40 m(聲源在第二層)時(shí),不同深度的深度格林函數(shù),可以看到,當(dāng)接收深度為40 m時(shí),數(shù)值不穩(wěn)定算法的深度格林函數(shù)不能收斂到0附近,而優(yōu)化后的算法可以保證深度格林函數(shù)的足夠收斂性。圖8給出了相應(yīng)的傳播損失結(jié)果。

    圖7 聲源深度為40 m,不同接收深度處的深度格林函數(shù)計(jì)算結(jié)果(穩(wěn)定與不穩(wěn)定波數(shù)積分算法對(duì)比)Fig.7 The magnitudes of the Green’s function at different depths for the sound source at the depth of 40 m(comparison between stable and unstable wave-number integral algorithms)

    圖8 聲源深度為40 m,不同接收深度處的傳播損失的計(jì)算結(jié)果(穩(wěn)定與不穩(wěn)定波數(shù)積分算法對(duì)比)Fig.8 The transmission losses at different depths for the sound source at the depth of 40 m(comparison between stable and unstable wave-number integral algorithms)

    為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的準(zhǔn)確性,比較本文所提方法的計(jì)算結(jié)果與簡(jiǎn)正波模型KRAKENC的計(jì)算結(jié)果[14],圖9給出聲源深度在20 m(聲源位于第一層)時(shí)各個(gè)接收深度的傳播損失結(jié)果,圖10給出聲源深度在40 m(聲源位于第二層)時(shí)的各個(gè)接收深度的傳播損失結(jié)果。結(jié)果顯示,兩種方法的計(jì)算結(jié)果吻合得較好。由于簡(jiǎn)正波方法在某些低頻淺海環(huán)境中的近場(chǎng)計(jì)算上存在誤差[9],因此本文所提方法可以作為負(fù)躍層淺海環(huán)境中聲場(chǎng)計(jì)算的有效補(bǔ)充。

    圖9 聲源深度為20 m,不同接收深度處的傳播損失的計(jì)算結(jié)果(本文算法與KRAKENC算法對(duì)比)Fig.9 The transmission losses at different depths for the sound source at the depth of 20 m(comparison between the proposed algorithm and KRAKENC algorithm)

    圖10 聲源深度為40 m,不同接收深度處的傳播損失的計(jì)算結(jié)果(本文算法與KRAKENC算法對(duì)比)Fig.10 The transmission losses at different depths for the sound source at the depth of 40 m(comparison between the proposed algorithm and KRAKENC algorithm)

    3 結(jié)論

    本文通過(guò)對(duì)Airy函數(shù)的處理,得到了負(fù)躍層淺海環(huán)境下無(wú)條件穩(wěn)定的波數(shù)積分方法。該方法保持了系數(shù)矩陣方程中的數(shù)值穩(wěn)定性,避免了由于數(shù)值不穩(wěn)定造成的深度格林函數(shù)的收斂性不足的問(wèn)題,能夠提高負(fù)躍層淺海環(huán)境下聲場(chǎng)計(jì)算的穩(wěn)定性。

    將本文所提方法與簡(jiǎn)正波模型KRAKENC的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果顯示,兩種方法有很好的一致性。本文所提的方法在數(shù)值上是穩(wěn)定的,并且可以直接通過(guò)穩(wěn)定的系數(shù)矩陣方程求得相應(yīng)的解析解。因此,本文所提的方法可以作為負(fù)躍層淺海環(huán)境中聲場(chǎng)計(jì)算的有效補(bǔ)充。

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