立足單元整體教學(xué) 深度培養(yǎng)量感
——以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《面積》單元為例

葉劍波

（廈門市同安區(qū)新城小學(xué)，福建 廈門 361100）

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中，增加了一個(gè)新的核心概念，即量感。量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，是人體感覺器官對(duì)現(xiàn)實(shí)物體（如長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量、速度、時(shí)間、角度）等可測(cè)量屬性的感覺?！傲扛小笔菙?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力之一，它與“數(shù)感”關(guān)系密切、相輔相成，都是形成數(shù)學(xué)抽象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。量感定量解決問題的方式和直觀感知的特性，與數(shù)感形成的雙層直觀感覺，更有利于學(xué)生深入直觀理解數(shù)學(xué)知識(shí)和知識(shí)形成過程。量感形成是高階思維的產(chǎn)物，與深度學(xué)習(xí)的特征有相似之處，需要經(jīng)歷充足的活動(dòng)與體驗(yàn)，形成一定的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)。

小學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)具有“整體性”的特點(diǎn)，因此在進(jìn)行量感相關(guān)教學(xué)時(shí)，教師可立足單元整體教學(xué)，從教材、課時(shí)、數(shù)與量關(guān)系等方面進(jìn)行整體把握，通過適宜的活動(dòng)，幫助學(xué)生充分感悟量的產(chǎn)生、累加、比較等過程，建立科學(xué)的計(jì)量觀念。通過量感勾連現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)知識(shí)的密切聯(lián)系，形成知識(shí)體系的相應(yīng)結(jié)構(gòu)，在深度學(xué)習(xí)中促進(jìn)量感的形成，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力奠定基礎(chǔ)。［1］本文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《面積》單元教學(xué)為例，通過立足單元整體性，構(gòu)建面積相關(guān)的量感知識(shí)模型，探析學(xué)生量感培養(yǎng)的路徑。

一、立足教材體系，定位量感培養(yǎng)位次

單元整體教學(xué)指把“橫向”的教學(xué)單元內(nèi)容、“縱向”的知識(shí)體系（人教版教材編排時(shí)，將同一學(xué)習(xí)內(nèi)容分成幾個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)，呈逐步滲透、進(jìn)一步深化、螺旋上升的編排思想）作為一個(gè)完整的信息載體，進(jìn)行綜合架構(gòu)，以教學(xué)的基本單元呈現(xiàn)。對(duì)于需要感知類型的量感養(yǎng)成而言，實(shí)施單元整體教學(xué)有助于量感的培養(yǎng)。［2］

在面積相關(guān)量感的教學(xué)時(shí)，筆者基于對(duì)人教版教材的整體分析，以三年級(jí)《面積》單元為出發(fā)點(diǎn)，溯源而上尋找學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，順流而下發(fā)現(xiàn)“面積”知識(shí)的后續(xù)相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。［3］具體的面積知識(shí)系列結(jié)構(gòu)表見表1：

表1 面積知識(shí)系列結(jié)構(gòu)表

從表中不難發(fā)現(xiàn)，“面積”知識(shí)承接了從一維的空間（線）的度量，到二維空間（面）的度量過渡，繼而發(fā)展到表面積的學(xué)習(xí)，并將與立體圖形的學(xué)習(xí)相勾連。因此，對(duì)“面積”的量感培養(yǎng)，并非單調(diào)、單向的發(fā)展，而是呈現(xiàn)螺旋狀的不斷上升?；诮滩哪昙?jí)間的“上下貫通”，更有利于單元間的“前后延伸”。準(zhǔn)確定位面積相關(guān)量感培養(yǎng)在整體教材體系中的位置，才能夠在教學(xué)中有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生的量感。

二、立足課時(shí)結(jié)構(gòu)，明晰量感培養(yǎng)過程

在《面積》單元教學(xué)前，筆者對(duì)學(xué)生及教師進(jìn)行問卷調(diào)查及訪談，發(fā)現(xiàn)關(guān)于該單元學(xué)習(xí)，存在“面積公式的記憶及套用‘不教也會(huì)’，面積概念的理解、面積守恒觀念、面積公式的過程性推導(dǎo)及運(yùn)用‘教也不會(huì)’”等問題。由于教材中刪去了“面積”的定義的具體文字描述，在學(xué)生的導(dǎo)學(xué)單反饋中出現(xiàn)以下情況：

自學(xué)1：什么是面積？

概況：43%的學(xué)生選擇書本的表面。（應(yīng)為書本表面的大?。?/p>

自學(xué)2：字典的哪些面有面積？

概況：35%的學(xué)生選擇正面，52%的學(xué)生選擇正反兩面。（字典為類長(zhǎng)方體，有6 個(gè)面有對(duì)應(yīng)的面積）

自學(xué)3：測(cè)量長(zhǎng)7.5 米、寬8 米的教室地板面積。

概況：89%的學(xué)生選擇背誦并套用公式，但因?yàn)槿昙?jí)還沒有學(xué)習(xí)小數(shù)乘法而無(wú)法計(jì)算結(jié)果，只有少數(shù)學(xué)生能夠根據(jù)數(shù)一數(shù)的方法，求出面積大小。

根據(jù)上述生情，筆者認(rèn)為，“面積”的直觀量感形成應(yīng)該經(jīng)歷“認(rèn)識(shí)面→面的大小”的完整過程。因此，在本單元的學(xué)習(xí)順序中，應(yīng)該立足學(xué)生生情，基于面積量感形成的核心本質(zhì)——“面積概念、守恒觀念”，重構(gòu)課時(shí)內(nèi)容安排（見圖1）。

圖1 人教版三年級(jí)下冊(cè)《面積》單元課時(shí)結(jié)構(gòu)

量感形成需要主觀性和層次性。課時(shí)調(diào)整后，賦予學(xué)生更多面積公式形成的前置經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生理解面積核心本質(zhì)，從整體上把握單元知識(shí)的連續(xù)性，明晰面積量感的培養(yǎng)過程。

三、立足過程體驗(yàn)，結(jié)合數(shù)量發(fā)展量感

在人教版教材關(guān)于“面積”的編排中，相對(duì)于“面積的感悟”而言，“面積的計(jì)算”占據(jù)更多的課時(shí)，教學(xué)自然也會(huì)側(cè)重于“面積的計(jì)算”。但如果學(xué)生沒有親身體驗(yàn)面積標(biāo)準(zhǔn)單位的建立、公式的形成過程，在解決問題時(shí)難免生搬硬套，在填寫面積計(jì)量單位時(shí)容易張冠李戴。這都是量感不足導(dǎo)致的。［4］因此在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生對(duì)“面積”這一量感的發(fā)展需求，以單元整體的宏觀角度，遴選合適的主題活動(dòng)、動(dòng)手操作等直觀體驗(yàn)方式，讓學(xué)生充分感受量、體驗(yàn)量、理解量，這樣“感悟量”的活動(dòng)設(shè)計(jì)有利于發(fā)展量感。

從單元整體教學(xué)視角出發(fā)，在感受標(biāo)準(zhǔn)面積單位時(shí)，需考慮面積單位的認(rèn)識(shí)過程及后續(xù)面積的計(jì)算教學(xué)?？稍O(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)一：比較等量手掌印總面積的大小（突出標(biāo)準(zhǔn)面積單位產(chǎn)生的必要性）。環(huán)節(jié)二：比較不等量身份證總面積的大小（為面積計(jì)算埋下伏筆）。環(huán)節(jié)三：定義標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)學(xué)意義并與現(xiàn)實(shí)生活量作比較（升華量感體驗(yàn)），如1 平方厘米（鍵盤按鍵面積）、1平方分米（手掌印面積）、1 平方米（講臺(tái)桌桌面面積），充分提升學(xué)生對(duì)于單位面積的直觀體驗(yàn)。

“面積計(jì)算”的教學(xué)環(huán)節(jié)中，單位面積量的迭代累計(jì)過程體驗(yàn)至關(guān)重要。一是要引導(dǎo)學(xué)生感受面積單位產(chǎn)生的意義。在比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積大小時(shí)，利用觀察比較法、重疊法等形式，讓學(xué)生用一種圖形作為單位來(lái)測(cè)量。二是經(jīng)歷確定面積單位的過程。教材中通過對(duì)目標(biāo)面積鋪設(shè)三種基本圖形，在是否能密鋪的情況下，明確選擇正方形作為基礎(chǔ)面積單位優(yōu)于圓形和三角形，考查量感的準(zhǔn)確性。三是豐富面積單位的表象。通過多種生活經(jīng)驗(yàn)（如拇指指甲蓋的面積約為1 平方厘米，制作1 平方米的正方形等）強(qiáng)化量感；通過鋪設(shè)的方法測(cè)量實(shí)際面積，豐富測(cè)量經(jīng)驗(yàn)和鞏固面積量感；通過估算面積大小，逐步修正估測(cè)策略。

不管是本章節(jié)從長(zhǎng)度到面積的學(xué)習(xí)，或是后續(xù)面積到體積的學(xué)習(xí)，都可以通過設(shè)計(jì)多種直觀體驗(yàn)活動(dòng)，建立“一個(gè)單位”標(biāo)準(zhǔn)量，再通過多重感官參與，在不斷修正和思考中，基于“一個(gè)單位”發(fā)展至“幾個(gè)單位”（類似于感知數(shù)量累積的形式），使學(xué)生的量感發(fā)展更加合理、準(zhǔn)確。

四、立足聯(lián)系對(duì)比，深化量感形成路徑

量感是一種直觀感受和判斷，這樣一種“量的感覺”是很難獨(dú)立學(xué)習(xí)的。在學(xué)習(xí)《面積》單元時(shí)，伴隨著量感的形成，可以借助知識(shí)學(xué)習(xí)整體性的對(duì)比，除了教學(xué)“面積”相關(guān)知識(shí)外，還應(yīng)授之以漁，滲透量感形成的一般路徑。本單元可以從單元整體結(jié)構(gòu)和知識(shí)聯(lián)系整體著手，聯(lián)系各個(gè)單一因素，選取具體的參照物、標(biāo)準(zhǔn)量、習(xí)得方法等加以比較、考察，以便更加深入、系統(tǒng)地形成對(duì)量的認(rèn)識(shí)。［5］

（一）對(duì)比工具，掌握概念

在學(xué)習(xí)“面積”之前，學(xué)生已有長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量等常見量的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)習(xí)這些不同類型量時(shí)，往往需要根據(jù)其概念特征，選擇不同的測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)量。在面積測(cè)量教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比周長(zhǎng)測(cè)量工具，明確根據(jù)面積的“面的大小”概念，選取“小正方形”這一同類型量進(jìn)行測(cè)量，進(jìn)一步掌握面積概念。在同種量的測(cè)量工具中，選擇合適的大小作為標(biāo)準(zhǔn)也能培養(yǎng)量感，提升學(xué)生解決問題的能力。

對(duì)比工具1（繩子和小方塊）：學(xué)生已有周長(zhǎng)測(cè)量的方法，使用測(cè)量一維長(zhǎng)度的直尺進(jìn)行測(cè)量，或者使用繞線法、滾動(dòng)法進(jìn)行周長(zhǎng)的測(cè)量。要測(cè)量二維面積的大小，顯然用一維長(zhǎng)度進(jìn)行度量是不行的，同一個(gè)圖形不同的測(cè)量目標(biāo)，需要選擇不同的測(cè)量工具。通過制造矛盾，引發(fā)學(xué)生對(duì)面積和周長(zhǎng)本質(zhì)的區(qū)分，明晰其概念。（發(fā)散思考：如果要測(cè)量體積，需要選擇什么工具？）

對(duì)比工具2（1 平方分米和1 平方厘米）：使用多個(gè)1 平方分米或1 平方厘米的小方塊密鋪長(zhǎng)6 厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形。實(shí)際操作中，根據(jù)被測(cè)量圖形的大小，選擇合適的面積單位進(jìn)行測(cè)量。密鋪2 平方分米的長(zhǎng)方形，學(xué)生有兩種選擇：“2 個(gè)1 平方分米的小方塊、200 個(gè)1 平方厘米的小方塊”，都可以實(shí)現(xiàn)密鋪（可拓展學(xué)習(xí)面積單位間的進(jìn)率）。

（二）溝通方法，關(guān)聯(lián)意義

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。測(cè)量工具的選擇與使用，讓長(zhǎng)方形面積公式的產(chǎn)生初見端倪，學(xué)生對(duì)面積計(jì)算開始有了直觀層面的認(rèn)識(shí)。為了使測(cè)量方法（計(jì)算公式）的學(xué)習(xí)更加深刻，可以溝通之前其他量的計(jì)算方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)量計(jì)算過程，提升歸納推理能力，凸顯面積的直接計(jì)量與間接計(jì)量的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，深入理解面積計(jì)算公式的意義。

在周長(zhǎng)教學(xué)中，關(guān)于長(zhǎng)方形周長(zhǎng)測(cè)量計(jì)算的方法，歸納為長(zhǎng)方形四條邊累加總長(zhǎng)度即為周長(zhǎng)，根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)寫成“（長(zhǎng)+寬）×2”。在面積測(cè)量環(huán)節(jié)時(shí)，當(dāng)教師放手讓學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)選擇對(duì)應(yīng)的工具測(cè)量時(shí)，學(xué)生根據(jù)所選工具的不同，往往有不同的測(cè)量方法。教師應(yīng)及時(shí)通過回憶方法對(duì)比，優(yōu)化數(shù)方格的方法，歸納為可以用行數(shù)×列數(shù)（即“長(zhǎng)×寬”）。學(xué)生在“選擇—嘗試—優(yōu)化”的過程中鞏固對(duì)面積概念的理解，體會(huì)“求面積”的過程，就是數(shù)一數(shù)圖形中面積單位的總量。讓學(xué)生經(jīng)歷面積計(jì)算公式的建構(gòu)過程，形成量感。

（三）類比形式，深度運(yùn)用

在教師用書的備課資料中，皮亞杰總結(jié)：對(duì)一維測(cè)量（長(zhǎng)度）和二維測(cè)量（面積）來(lái)說，守恒性和測(cè)量能力是同時(shí)出現(xiàn)的。但是在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生對(duì)面積的守恒性理解比較困難。只有建立在面積守恒的理解下，面積的測(cè)量才是有效的。因此需要采取多種形式題目的類比，讓學(xué)生有“部分集成整體”的守恒觀念，在運(yùn)用中理解，在理解中深度運(yùn)用。

在面積守恒觀念養(yǎng)成的過程中，可運(yùn)用皮亞杰的面積守恒定律設(shè)計(jì)以下活動(dòng)：一是采用兩組相同面積的方塊，使其位置、方向不同，讓學(xué)生測(cè)量面積的大?。欢前鸭埌寮舫蓛蓧K，并組成不同形狀的面積，測(cè)量剪拼后面積的大小；三是相同的六個(gè)正方形聯(lián)結(jié)（不重疊）擺放，對(duì)比它們分散擺放后的面積，測(cè)量結(jié)果為面積大小相同。多種形式類比，明確面積守恒的定律，其深度運(yùn)用將為面積的加減及后續(xù)其他圖形面積的剪拼以及體積的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

總之，教師應(yīng)立足單元整體教學(xué)，關(guān)注學(xué)生前置經(jīng)驗(yàn)及后續(xù)發(fā)展，以單元整體知識(shí)為核心，進(jìn)行課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，遴選豐富有效的量感體驗(yàn)活動(dòng)，突出知識(shí)體系的完整性，通過數(shù)與量的聯(lián)系、對(duì)比，強(qiáng)化知識(shí)和技能的遷移與應(yīng)用，深度培養(yǎng)學(xué)生的量感。