基于素養(yǎng)導(dǎo)向下的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)實(shí)踐與思考
——以“數(shù)列”為例

顧燕聲

(江蘇省蘇州中學(xué)，江蘇蘇州，215007)

1 問(wèn)題提出

回顧這三年全國(guó)新課程卷(2020年山東卷、海南卷，2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷、Ⅱ卷和2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷、Ⅱ卷)，不難發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷徹底落實(shí)了立德樹(shù)人的根本任務(wù)，遵循德智體美勞全面發(fā)展要求，貫徹《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》，體現(xiàn)了高考改革的要求：一是設(shè)置實(shí)現(xiàn)情境，發(fā)揮育人作用；二是深化基礎(chǔ)性考查，發(fā)揮選拔功能；三是加強(qiáng)教考銜接，發(fā)揮引導(dǎo)作用[1].同時(shí)，這三份試卷試題的閱讀量都較大(以2020年山東卷為最，后兩年有所下降)，題目也很有新意，計(jì)算量與思維量也很大，很多學(xué)生考完之后都表示試卷難度較大，來(lái)不及做完， 那么如何在僅有的兩個(gè)小時(shí)答題時(shí)間內(nèi)獲得盡可能多的分?jǐn)?shù)，這就要求學(xué)生在考場(chǎng)上講究答題策略，盡可能多地做對(duì)基本題目.

高考試卷上的基本題目涉及的知識(shí)點(diǎn)有很多，比如集合、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、直線和圓、概率統(tǒng)計(jì)等等. 讓筆者最在意的是近三年全國(guó)卷中對(duì)數(shù)列這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查，題目似乎都不難，但是學(xué)生做下來(lái)的情況并不理想，很多學(xué)生沒(méi)有在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上得到應(yīng)該有的高分. 我不禁疑惑：新課程卷上的數(shù)列究竟考了什么？學(xué)生為什么覺(jué)得數(shù)列難？如何幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)列？

2 新高考全國(guó)卷數(shù)列分析

我們先來(lái)看看，新高考全國(guó)卷上的數(shù)列考了些什么.

年份題號(hào)分值題型知識(shí)點(diǎn)2020年山東卷145填空題等差數(shù)列、子數(shù)列問(wèn)題1812解答題等比數(shù)列、數(shù)列求和2020海南卷145填空題等差數(shù)列、子數(shù)列問(wèn)題1812解答題等比數(shù)列2021全國(guó)Ⅰ卷165填空題(雙空)數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列求和(錯(cuò)位相減法)1710解答題數(shù)列的遞推關(guān)系、子數(shù)列問(wèn)題、等差數(shù)列求和2021全國(guó)Ⅱ卷125多選題數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列、等比數(shù)列1710解答題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和2022全國(guó)Ⅰ卷1710解答題等差數(shù)列、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列求和(裂項(xiàng)求和法)2022全國(guó)Ⅱ卷1710解答題等差數(shù)列、等比數(shù)列

新高考全國(guó)卷上主要考了這幾類問(wèn)題：

2.1 源于生活實(shí)踐的問(wèn)題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)中提出，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)和應(yīng)用.[2]可見(jiàn)，《課標(biāo)》明確強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，突顯了數(shù)列的應(yīng)用性.2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試Ⅰ卷第16題，就是一道生活中的數(shù)列問(wèn)題，它是在一個(gè)剪紙活動(dòng)的背景下生成了數(shù)列，需要學(xué)生通過(guò)理解題目的意思，明白這個(gè)折紙活動(dòng)的實(shí)際規(guī)律.考生需要自己推導(dǎo)出數(shù)列中項(xiàng)的變化規(guī)律，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式. 考查了學(xué)生抽象概括和數(shù)學(xué)建模的能力. 這道題目是一道雙空的填空題，在以前的江蘇高考卷上是沒(méi)有這種題型的，這種題型往往第一空簡(jiǎn)單，理解題目意思之后就可以解決，而第二空則需要深入的探究. 比如這道題目，在學(xué)生構(gòu)建出新數(shù)列之后，還需要進(jìn)行數(shù)列求和運(yùn)算，考查的是“錯(cuò)位相減”求和法，這類求和問(wèn)題是針對(duì){anbn}結(jié)構(gòu)(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)進(jìn)行的，本身也是數(shù)列求和中的難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有比較高的要求. 要做好做對(duì)這道題，既要有快速理解題意并建立數(shù)學(xué)模型的能力，又要有既快又對(duì)的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，對(duì)學(xué)生解決數(shù)列能力的要求是極高的.

2.2 源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題

(2020·山東卷18)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3=8.

(1) 求{an}的通項(xiàng)公式；

(2) 記bm為{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100.

《課標(biāo)》中還指出，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)數(shù)列作為一類特殊函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，突出等差數(shù)列、等比數(shù)列的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比的方法探索等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系.[2]數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的自變量是項(xiàng)數(shù)n，因此通項(xiàng)或者前n項(xiàng)和都是關(guān)于正整數(shù)集(或它的有限真子集{1，2，3，…})的函數(shù). 在一些問(wèn)題中，我們?nèi)裟軐?shù)列與熟悉的函數(shù)掛鉤，就可以更好地理解問(wèn)題，更快地解決問(wèn)題. 例如2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試山東卷第18題，該題考查了等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，將已知條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比的方程式，從而求出首項(xiàng)與公比，即a1與q，繼而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n. 在做第(2)小題時(shí)，若將數(shù)列與指數(shù)函數(shù)y=2x相聯(lián)系，就能直觀地感覺(jué)出這個(gè)數(shù)列的增長(zhǎng)速度，從而快速地求出區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項(xiàng)，通過(guò)2的指數(shù)式分析出數(shù)列{bn}的規(guī)律，當(dāng)2t≤m≤2t+1-1時(shí)，{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)bm=t.正是因?yàn)閿?shù)列{an}是依附于指數(shù)函數(shù)y=2x這樣的增長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，才能幫我們確定區(qū)間上限值m的取值情況.

2.3 源于教材內(nèi)容的問(wèn)題

(1) 求{an}的通項(xiàng)公式；

《課標(biāo)》中對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系與數(shù)列的前n項(xiàng)和的掌握也有具體明確的要求，它指出學(xué)生要能運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用；能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差(比)關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.[2]例如，2022年普通高等學(xué)校招生全通統(tǒng)一考試Ⅰ卷第17題，考了好幾個(gè)數(shù)列中的知識(shí)點(diǎn)，有數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)求和等. 雖然放在解答題的第一題，但是難度卻不低.需要學(xué)生在熟練掌握等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)上，熟練地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這類題目往往不是直接給出等差數(shù)列或者等比數(shù)列的條件，而是需要學(xué)生從數(shù)列的遞推關(guān)系中熟練地運(yùn)用等差或者等比數(shù)列的定義以及性質(zhì)、求和等. 同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯思維能力、抽象推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

不難發(fā)現(xiàn)，以上的三個(gè)新課程全國(guó)卷的高考題有一個(gè)共同點(diǎn)，即都考查了數(shù)列的求和，但不同的是三個(gè)題目三種求和. 既有等差、等比數(shù)列求和，還有裂項(xiàng)求和以及錯(cuò)位相減求和，以及通過(guò)枚舉對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和.

3 課堂教學(xué)的變革

高考數(shù)學(xué)從江蘇卷到全國(guó)卷在針對(duì)數(shù)列這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查是有重大變化的，以前學(xué)生面對(duì)江蘇卷的數(shù)列多以放棄的態(tài)度面對(duì)，有時(shí)能夠完成第一小題已經(jīng)很不錯(cuò)了.熟悉江蘇卷的老師都知道，數(shù)列往往安排在試卷的倒數(shù)第二題或者最后一題，學(xué)生本身對(duì)數(shù)列存在恐懼和畏難心理，加上2個(gè)小時(shí)答題時(shí)間的限制，往往不能很好地思考和完成數(shù)列題目. 但是數(shù)列在全國(guó)卷中的位置已經(jīng)被大大提前，常常出現(xiàn)在解答題的第一題或者第二題，與江蘇卷相比難度確實(shí)有所下降，但是不論是對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查，還是對(duì)學(xué)生思考數(shù)列問(wèn)題的能力、解答數(shù)列問(wèn)題技巧的考查都沒(méi)有非常簡(jiǎn)單. 學(xué)生有時(shí)在數(shù)列問(wèn)題上的得分仍舊不理想，這大概是因?yàn)閿?shù)列本身變化形式巧妙、考點(diǎn)繁多，部分學(xué)生也因此在心理上對(duì)數(shù)列產(chǎn)生畏難情緒，學(xué)習(xí)興趣低，成績(jī)就很難得到提升.

當(dāng)數(shù)列成為高考試卷的得分重頭時(shí)，我們老師就必須幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)列，拿到高考試卷上數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的分?jǐn)?shù). 我覺(jué)得可以從以下幾方面著手：

3.1 把握課改方向，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

新課改下，教師應(yīng)立足于整體構(gòu)建多元化的評(píng)價(jià)體系，并促使學(xué)生自身綜合素養(yǎng)提升，奠定夯實(shí)的基礎(chǔ). 在高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教師需將新高考當(dāng)做探究方向，依據(jù)《課標(biāo)》和新教材，引導(dǎo)學(xué)生全面深入地學(xué)習(xí)教材中的各個(gè)知識(shí)點(diǎn). 課本中對(duì)數(shù)列的研究多源于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活的需要，教師在課堂中引導(dǎo)學(xué)生從具體事例出發(fā)，可以直觀地幫助學(xué)生理解數(shù)列的概念，等差、等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和等具體知識(shí)點(diǎn). 在獲得了這些知識(shí)以后，老師還可以帶領(lǐng)學(xué)生研究稍微復(fù)雜一些的經(jīng)典數(shù)列，例如在斐波那契數(shù)列中體會(huì)遞推的精妙，在“分形”問(wèn)題中感受圖形美妙的同時(shí)體會(huì)特殊數(shù)列的趣味. 與之前蘇教版課本不同，人教版課本中提出了“垛積術(shù)”的問(wèn)題，這是中國(guó)古代許多著名的數(shù)學(xué)家推導(dǎo)高階等差數(shù)列作出的研究貢獻(xiàn). 在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境下，學(xué)生感受到了數(shù)列知識(shí)的豐富與美妙，并自主完了一場(chǎng)又一場(chǎng)數(shù)學(xué)建模，實(shí)現(xiàn)了《課標(biāo)》中數(shù)列與實(shí)際生活的聯(lián)系，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力.

筆者在此以“科赫雪花曲線”為例，與大家共同感受一下“分形”與數(shù)列的結(jié)合的魅力.

例1如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，如圖1有一個(gè)正三角形，按如下規(guī)則可以作出一個(gè)新的圖形：將每邊三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，得到一個(gè)六角星，如圖2所示. 然后反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線. 若圖1中正三角形的邊長(zhǎng)為1，則圖n中的曲線的周長(zhǎng)為(用n表示)；若圖1中正三角形面積為1，則圖n中的曲線的面積為(用n表示).

圖1

圖2

圖3

圖4

【思路分析】 設(shè)“雪花曲線”第n張圖的邊長(zhǎng)為an，邊數(shù)為bn(b1=3)，周長(zhǎng)為cn，面積為Sn.

第n張圖的邊數(shù)是第n-1張圖邊數(shù)的4倍，即bn=4bn-1，

所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，bn=3×4n-1.

(2) 第n張圖的面積是在第n-1張圖的基礎(chǔ)上增加，增加了若干個(gè)正三角形，這些正三角形的邊長(zhǎng)為an，增加的正三角形個(gè)數(shù)是第n-1張圖的邊數(shù)，即bn-1，

累加求和得，

Sn=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-1-Sn-2)+(Sn-Sn-1)

【素養(yǎng)回顧】 本題旨在研究著名的“科赫雪花曲線”，這組圖形每次的變化主要是邊長(zhǎng)與邊數(shù)的變化，并且這個(gè)變化中蘊(yùn)含著等比數(shù)列的關(guān)系.教師如能在課堂上多與學(xué)生一同探討著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，必定能激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生感受到學(xué)有所用.在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，提升了學(xué)生的等比數(shù)列通項(xiàng)與求和知識(shí)的掌握與運(yùn)用，考查了學(xué)生抽象思維能力和推理演算能力.最后，教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié):隨著分形的深入，曲線的周長(zhǎng)越來(lái)越大，其面積也趨向一個(gè)定值，使學(xué)生感悟到極限思想，提升他們的歸納推理這一理性思維品質(zhì).

3.2 立足課本內(nèi)容，夯實(shí)基本概念與基礎(chǔ)知識(shí)

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、定理的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì).[3]在數(shù)列新授課的教學(xué)中，老師一定要多關(guān)注概念的解讀與概念的結(jié)果.在數(shù)列知識(shí)點(diǎn)中涉及以下幾個(gè)概念：數(shù)列的定義、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系以及數(shù)列的前n項(xiàng)和. 教學(xué)時(shí)，我們不能圖快，直接將概念和定義拋給學(xué)生，而是最好要讓學(xué)生自己從具體的問(wèn)題中進(jìn)行總結(jié)歸納，自動(dòng)生成，老師要做的是引導(dǎo)和補(bǔ)充完善，這樣形成的概念是鮮活的，容易理解和記憶的. 概念形成之后，用好課本例題也很重要，這個(gè)可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn). 教師要用好課本中的引入和例題，充分理解課本呈現(xiàn)的邏輯線索，幫助學(xué)生把握核心概念產(chǎn)生的順序，讓概念從合理變?yōu)樽匀?，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)感才強(qiáng)，概念學(xué)習(xí)的興趣才濃.[4]筆者在此處與大家分享一道著重考查數(shù)列概念的題目.

A.an=n

C.b1+b2+…+b100=5 050

D.c1+c2+c3+…+c1 000=1 893

由于bn=(-1)nn2，所以b2k-1+b2k=(2k)2-(2k-1)2=4k-1，所以b1+b2+…+b100=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b99+b100)=4(1+2+…+50)-50=5 050，故C正確；

因?yàn)閏n=[lgn]，所以當(dāng)1≤n≤9時(shí)，cn=0；當(dāng)10≤n≤99時(shí)，cn=1；當(dāng)100≤n≤999時(shí)，cn=2;當(dāng)n=1 000時(shí)，c1 000=3，因此c1+c2+…+c1 000=9×0+90×1+900×2+3=1 893，故D正確.

【素養(yǎng)回顧】 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和以及數(shù)列的奇偶問(wèn)題、高斯函數(shù)在數(shù)列上的應(yīng)用等方面，知識(shí)充分體現(xiàn)了多選題一個(gè)題目多個(gè)考點(diǎn)的特色，選項(xiàng)難度層層遞進(jìn)，要做好這類問(wèn)題必須循序漸進(jìn)，一個(gè)選項(xiàng)一個(gè)選項(xiàng)地完成好才能拿到多選題的全分. 這就要求學(xué)生必須牢固掌握每一個(gè)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，不管題目從哪個(gè)方面考查，都能得心應(yīng)手. 像這樣遞進(jìn)式地練習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和廣闊性，從而能做到舉一反三，“百變不驚”.

3.3 進(jìn)行有效訓(xùn)練，善于利用變式訓(xùn)練的功能

在掌握好數(shù)列的概念之后，教師才可以帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解題訓(xùn)練，在解題訓(xùn)練的過(guò)程中，采用變式訓(xùn)練的形式可以幫助學(xué)生深入理解問(wèn)題. 變式訓(xùn)練，可以是變換題目的一個(gè)或者多個(gè)條件、可以是變換題目的問(wèn)題、可以將具體問(wèn)題變成特殊問(wèn)題、還可以引入字母參數(shù)等方式. 進(jìn)行變式訓(xùn)練可以幫助學(xué)生全方位地分析知識(shí)點(diǎn)，在不斷強(qiáng)化學(xué)生思維水平的同時(shí)開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，使得學(xué)生能夠自覺(jué)主動(dòng)地進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)遷移. 學(xué)生在考試遇到問(wèn)題時(shí)，可以自然地從多角度思考和解決問(wèn)題. 變題訓(xùn)練是對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，可以使思維的深刻性、廣闊性和嚴(yán)謹(jǐn)性得到提升.

比如針對(duì)例3，2022·全國(guó)Ⅰ卷第17題，我們可以用以下變式幫助學(xué)生進(jìn)行鞏固：

例3已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=3，a2n+1=4(Sn+n).

(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

由于a2-a1=1≠2，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開(kāi)始是公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)n≥2時(shí)，an=4+(n-2)×2=2n，

【素養(yǎng)回顧】本題與2022年全國(guó)Ⅰ卷的第17題有極大的相似性，都考察了數(shù)列的遞推求通項(xiàng)和數(shù)列的裂項(xiàng)求和內(nèi)容，不同的是本題中數(shù)列{an}的第一項(xiàng)不符合n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，這需要我們?cè)诮忸}時(shí)格外小心，因?yàn)檫@會(huì)影響到第(2)小題中數(shù)列{bn}的求和，要注意到首相是需要單獨(dú)考慮的. 本題在考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)計(jì)算能力的同時(shí)，考查了分類討論思想與理性思維方式.

隨著越來(lái)越多的省份參與到新高考全國(guó)卷中來(lái)，我們的課堂教學(xué)必須更有針對(duì)性，充分指導(dǎo)好學(xué)生，用正確的方法面對(duì)新高考，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，提升解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)突破困難的決心.