一道2022年北京高考數(shù)學(xué)試題的分析與推廣

邱和保

(福建省連江第一中學(xué)，福建連江，350500)

圓錐曲線問題是高考必考的大題之一，通過對2022年全國高考試卷進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)圓錐曲線問題的分布情況如表1所示.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)圓錐曲線問題在整張?jiān)嚲碇姓嫉?9到22分，正如《中國高考評價體系》中所強(qiáng)調(diào)的：高考必須堅(jiān)持引導(dǎo)教學(xué).[1]因此要對圓錐曲線問題進(jìn)行重點(diǎn)研究，抓住其本質(zhì)，研究其內(nèi)涵，這不僅有利促進(jìn)教師對高考的把握，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有著重要的作用.

表1 2022年高考試卷中圓錐曲線問題分布

下面以2022年北京高考數(shù)學(xué)第19題為例進(jìn)行具體研究：

1 試題呈現(xiàn)

(1) 求橢圓E的方程；

(2) 過點(diǎn)P(-2，1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B、C，直線AB、AC分別與x軸交于點(diǎn)M、N，當(dāng)|MN|=2時，求k的值.

2 意圖分析

本題有兩個小問，問題一主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要求學(xué)生能夠讀取題目信息，建立起對應(yīng)元素和數(shù)量間的關(guān)系，根據(jù)a，b，c求橢圓方程；問題二主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理和弦長公式等，并利用這些公式求出參數(shù)k.兩小問對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力都有所要求，充分在試題中滲透了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3 解題思路

圖1

評析：多數(shù)學(xué)生可以比較容易地解出第(1)題，但是對于第(2)問大多數(shù)學(xué)生可能都會想到根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系聯(lián)立直線與橢圓方程，然后利用韋達(dá)定理，寫出兩根之和和兩根之積的表達(dá)式，但是接下去就沒了思路.教師在講解的時候要注意數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生分析題目，從要求的問題出發(fā).要求參數(shù)k，所給的條件有|MN|=2，必然要想到利用弦長公式求解，轉(zhuǎn)問題為求M、N的坐標(biāo)，又因?yàn)镸、N分別為直線AB、AC與x軸交點(diǎn)，所以需要求直線AB、AC的方程.由于A是確定的點(diǎn)，所以要從B、C兩點(diǎn)入手才能解出題目.教師應(yīng)該在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生掌握解一類題的方式方法，而不僅僅是解出一道題.

4 試題推廣

下面給出題目的一般化形式：

證明：如圖2所示，由題意可得lBC：y-b=k(x+a)

圖2

得(b2+a2k2)x2+(2a3k2+2a2bk)x+a4k2+2a3bk=0，

∵Δ=(2a3k2+2a2bk)2-

4(b2+a2k2)(a4k2+2a3bk)>0，

∴k<0，

設(shè)B(x1，y1)、C(x2，y2)，且-a

通過觀察發(fā)現(xiàn)把試題中得橢圓改為圓，有下面得結(jié)論成立：

圖3

證明過程與推廣1的證明方法類似，下面就不再贅述.

6 解題思考

其實(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生解題的思路是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，學(xué)生是具有獨(dú)特性質(zhì)的個體，有自己學(xué)習(xí)的思維，不是應(yīng)試的機(jī)器.正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中提到的：遵循教育教學(xué)規(guī)律和學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，貼近學(xué)生的思想、學(xué)習(xí)、生活實(shí)際，充分反映學(xué)生的成長需要，促進(jìn)每個學(xué)生主動地、生動活潑地發(fā)展.[2]因此不管是考試還是日常都應(yīng)該強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解，在解題過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，特別是在解決直線與圓錐曲線的問題中，要強(qiáng)化聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程的意識，并結(jié)合韋達(dá)定理，列出根與系數(shù)的關(guān)系，然后逐層遞進(jìn)，找到問題與條件的內(nèi)在關(guān)系，從而解決問題.