數(shù)學問題驅(qū)動學生深度學習的教學探索
——以“二次函數(shù)”教學為例

趙 陽

(貴州師范大學數(shù)學科學學院，貴州貴陽，550001)

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中明確指出，義務(wù)教育數(shù)學課程應(yīng)使人人都能獲得良好的教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)[1].由此可見，隨著新課改的推進，對學生的數(shù)學學習的要求有了很大的提高，使得教師和學生都面臨著更加艱巨的任務(wù)和挑戰(zhàn)，如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)如今已經(jīng)成為了眾多教師以及教學研究者亟待解決的問題[2].問題驅(qū)動是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的有效方式，是促進核心素養(yǎng)發(fā)展的重要工具.當前的數(shù)學課堂中存在大量問題驅(qū)動的教學形式，但是依舊存在一定的問題，比如，課堂中存在大量的設(shè)問，且問題設(shè)置僅僅停留于知識的表層，不具有較強的探究性，這就使得問題驅(qū)動的教學流于形式.對于學生而言，只有對知識本身的認識和理解，而缺乏參與知識生成的過程和經(jīng)歷[3]，難以實現(xiàn)促進學生深度學習的目標.

1 基于數(shù)學問題驅(qū)動學生深度學習的理論分析

1.1 問題驅(qū)動的內(nèi)涵

問題驅(qū)動是通過合理設(shè)置教學問題促進學生深度思考和解決問題的過程.問題驅(qū)動教學的實質(zhì)是指要創(chuàng)設(shè)真實的問題，并賦予其有效的數(shù)學情境，通過教師引領(lǐng)，學生圍繞問題情境進行探究發(fā)現(xiàn)，在解決問題的過程中體驗數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)”過程，發(fā)現(xiàn)具體的數(shù)學知識，也能獲得相應(yīng)的數(shù)學思想方法[4].有效的問題驅(qū)動需立足于學生實際，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并以問題串的方式，引導(dǎo)學生在問題驅(qū)動下積極參與數(shù)學探究活動，經(jīng)歷數(shù)學知識的形成，提升數(shù)學學習效率.通過問題驅(qū)動教學，能激發(fā)數(shù)學學習積極性，引導(dǎo)學生經(jīng)歷數(shù)學思考過程，有助于感受數(shù)學知識的本質(zhì)，促進學生深度學習.

1.2 深度學習的內(nèi)涵

數(shù)學深度學習指學生加深對數(shù)學本質(zhì)的理解，提升學生數(shù)學思維能力、促進數(shù)學核心素養(yǎng)獲得的學習過程[5].就中學生而言，數(shù)學深度學習的主要表現(xiàn)是數(shù)學核心素養(yǎng)的形成，具體體現(xiàn)在數(shù)學理解、數(shù)學抽象、問題提出、問題解決以及知識遷移等方面.數(shù)學深度學習立足于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展目標，以數(shù)學知識為載體，通過教師引導(dǎo)，學生圍繞數(shù)學學習任務(wù)，全身心投入到數(shù)學學習的過程.在教學中，教師應(yīng)該通過創(chuàng)設(shè)適合的問題情境或是設(shè)置具體的學習任務(wù)，讓學生積極參與數(shù)學知識的探究，親身經(jīng)歷數(shù)學知識的形成，深刻感知數(shù)學知識的本質(zhì)，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，促進學生學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1.3 問題驅(qū)動對深度學習的影響

問題驅(qū)動是當前數(shù)學課堂教學中的基本模式，同時也是重要模式[2].問題是數(shù)學的心臟，有效的問題驅(qū)動能夠促進學生積極參與數(shù)學知識的探索過程，促進學生對知識脈絡(luò)的充分分析，幫助學生對知識本質(zhì)進行深入理解.在數(shù)學課堂中教師要學會提問，問題的設(shè)置要立足于學生現(xiàn)狀，積極引導(dǎo)學生參與到數(shù)學課堂中，深度地思考，深刻地感知，體會知識的形成過程，感悟數(shù)學的基本思想，總結(jié)數(shù)學基本活動經(jīng)驗，感受數(shù)學知識的本質(zhì).

當前的數(shù)學課堂中，存在大量形式化的問題驅(qū)動，許多教師為了迎合當前的上課風格，在課堂中設(shè)置大量問題串，但是對于學生的具體情況沒有進行深入分析，數(shù)學問題沒有進行精心的設(shè)計，導(dǎo)致提問的水平較低，提問的內(nèi)容浮于表層，沒有起到促進學生深度思考的效果，也無法讓學生感受到數(shù)學知識的本質(zhì)，難以達到深度學習的效果.因此，問題驅(qū)動教學的前提是對問題的精心設(shè)計.教師要對教學材料進行細致的分析，深入理解數(shù)學知識的本質(zhì)，厘清知識的脈絡(luò)，再立足于學生現(xiàn)狀，精心設(shè)置合適的問題串，以便更好地達到問題驅(qū)動教學的效果.

2 教學過程

2.1 復(fù)習提問，回顧舊知

問題1：函數(shù)的定義是什么？

生：一般地，如果在一個變化過程中有兩個量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù).

【設(shè)計意圖】通過回顧函數(shù)的概念，引導(dǎo)學生記憶自變量與因變量之間的關(guān)系，加深對函數(shù)定義的理解.

問題2：我們學過哪些函數(shù)？這些函數(shù)的表達式是什么？

【設(shè)計意圖】幫助學生回顧已學過的函數(shù)，加強學生對已學函數(shù)的記憶，同時也為本節(jié)學習二次函數(shù)奠定基礎(chǔ).

問題3:對于一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，為什么限制k≠0？

生：若k≠0，則關(guān)系式變?yōu)閥=b，不是一次函數(shù).

【設(shè)計意圖】二次函數(shù)定義的學習可以類比一次函數(shù)，通過對一次函數(shù)表達式的回顧，能夠類比獲得二次函數(shù)，同時通過對k≠0的討論可以為本節(jié)內(nèi)容中a≠0提供模板，幫助學生更好地理解二次函數(shù)中a≠0的意義.

2.2 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

問題4：設(shè)正方形的邊長為x，正方形的面積為y，y與x之間有什么關(guān)系？

生：正方形的面積等于邊長乘邊長，因此正方形的面積y=x2.

追問1：如果正方體的邊長x發(fā)生變化，那正方體的表面積y與x之間有什么關(guān)系？

生：正方體的表面積等于6個全等的正方形的面積，因此正方體的面積y=6x2.

【設(shè)計意圖】正方形的面積公式是學生所熟悉的，因此首先通過正方形面積這一簡單的問題情境，讓學生進行思考，獲得關(guān)系式y(tǒng)=x2，再通過將題目中的正方形變化為正方體，將問題進行簡單提升，難度上的變化較小，學生能夠很快解決.在此過程中，使學生獲得勝利的喜悅感，有效提升學生的積極主動性.該問題中，學生可以獲得二次函數(shù)的一種情況，b=0，c=0即y=ax2(a≠0).

問題5：學校準備舉辦乒乓球比賽，有n支球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽場數(shù)m與球隊數(shù)量n之間有什么關(guān)系？

【設(shè)計意圖】在校園中各種比賽數(shù)不勝數(shù)，從學生感興趣的話題出發(fā)，能夠有效調(diào)動學生情緒，在該問題中，學生可以通過觀察與思考，得到每一支球隊會與(n-1)個隊伍比賽，最后得到關(guān)系式.在該問題中，獲得了二次函數(shù)的另一種情況，b≠0，c=0，即y=ax2+bx(a≠0).

問題6：某產(chǎn)品年產(chǎn)量為20 t，計劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比前一年的產(chǎn)量增加x倍，那么今后兩年該產(chǎn)品的產(chǎn)量y與x之間的關(guān)系應(yīng)該怎樣表示？

追問1：一年后該產(chǎn)品的產(chǎn)量是多少？

生：20(1+x)(t).

追問2：兩年后的產(chǎn)量y與x之間的關(guān)系應(yīng)該怎樣表示？

生：y=20(1+x)(1+x)=20(1+x)2=20x2+40x+20.

【設(shè)計意圖】該情境是來自于現(xiàn)實生活中的問題，相對于前面兩個情境的問題，這個情境會更為復(fù)雜，因此可以通過分解問題，采用追問的形式先讓學生將明年的產(chǎn)量表示出來，在明年的基礎(chǔ)上再進行計算會更加簡單，也更容易理解，同時所列出的關(guān)系式包含三項，與二次函數(shù)的一般形式正好對應(yīng)，更便于學生觀察.

2.3 問題驅(qū)動，獲得概念

問題7：觀察得出的4個關(guān)系式，回答下列問題：

追問1：上述四個關(guān)系式是不是函數(shù)？

生：這些關(guān)系式都滿足函數(shù)的定義，所以它們都是函數(shù).

追問2：它們有什么共同特點？

生：x的最高次數(shù)是2，等號兩邊都是整式.

追問3：能否用符號語言，描述它們的共同特征？

生：y=ax2+bx+c.

追問4：類比一次函數(shù)的定義給猜想它是什么函數(shù)？該怎樣給它下定義呢？

師生互動：二次函數(shù).一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c都是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數(shù)項.

追問5：為什么規(guī)定a≠0？

師生互動：因為a=0，二次項的系數(shù)就為0，此時x的最高次就是一次，不是二次了.

追問6：b和c可以為0嗎？

師生互動：若b=0，c≠0則有y=ax2+c(a≠0); 若b≠0，c=0，y=ax2+bx(a≠0)；若b=0，c=0，則有y=ax2(a≠0)，最高次數(shù)為2，依舊是二次函數(shù)，因此b和c可以為0.

【設(shè)計意圖】以問題驅(qū)動的方式引導(dǎo)學生進行思考，將概念的探究分成一個個小任務(wù)去完成，簡化概念探索的繁雜過程，教師通過問題引導(dǎo)，學生思考，有助于學生厘清概念的本質(zhì)，促進學生的深度思考，加深學生的理解.

追問1：幫助學生回顧函數(shù)的概念，只有這些關(guān)系式是函數(shù)的情況下討論其屬于什么函數(shù)才有意義.

追問2：通過觀察，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的特征，歸納出上述關(guān)系式自變量的最高次為二次，等式兩邊都是整式.

追問3：將文字語言表示為符號語言，便于后面更快速地歸納出二次函數(shù)的定義.

追問4：一次函數(shù)自變量的最高次數(shù)為1，而此處的最高次數(shù)為2，自然就會想到二次函數(shù)，根據(jù)所歸納出的二次函數(shù)的符號，結(jié)合一次函數(shù)的定義，即可類比一次函數(shù)歸納出二次函數(shù)的定義.

追問5：只有a≠0，才能保證自變量的最高次數(shù)為2，才符合二次函數(shù)的定義.

追問6：在一次函數(shù)中若b≠0，則函數(shù)變?yōu)閥=kx(k≠0)，此時它是一次函數(shù)的特殊情況正比例函數(shù)，同樣的當b≠0，c=0時，y=ax2+bx(a≠0)；當b=0，c≠0時，y=ax2+c(a≠0)；b=0，c=0時，y=ax2(a≠0)，很明顯三個式子都是滿足二次函數(shù)定義的，通過問題的驅(qū)動，學生自主探究，能夠加深學生對二次函數(shù)定義以及表達式的理解.

2.4 問題檢驗，體現(xiàn)認知

練習1：函數(shù)y=(m-2)x2是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的值？

練習2：函數(shù)y=(a-2)x(a2-4)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求a的值？

練習3：函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c都是常數(shù))是二次函數(shù)嗎？

練習4：為了擴大小區(qū)的綠化面積，決定將小區(qū)的一塊長為30 cm，寬為20 cm的矩形綠地的長、寬各增加xm，請寫出擴充后綠地面積y與x的關(guān)系式？

【設(shè)計意圖】練習1-3是為了幫助學生加深對二次函數(shù)的理解，感受二次函數(shù)的本質(zhì)，讓學生體會到若y=ax2+bx+c是二次函數(shù)，必須滿足二次項系數(shù)不能為0，最高次數(shù)必須是2.練習4是通過生活實例列出二次函數(shù)的關(guān)系式，讓學生體會學習二次函數(shù)的意義，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識.

3 教學反思

3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，促進學生深度思考

問題是數(shù)學的心臟，也是數(shù)學課堂的核心.數(shù)學問題驅(qū)動的關(guān)鍵是問題情境的創(chuàng)設(shè)，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學情境驅(qū)動數(shù)學教學，為學生提供一個可輕松探索的問題空間[6].引導(dǎo)學生快速地進入數(shù)學課堂，幫助學生體會內(nèi)容的現(xiàn)實意義，厘清知識的概念與本質(zhì)，幫助學生在數(shù)學問題情境中深度思考.

3.2 設(shè)置問題驅(qū)動，促進學生深度合作

數(shù)學學習是一個主動探索的過程，應(yīng)給予更多的探索時間和空間.在教學過程中，教師要重視學生的主體地位，通過設(shè)計具有層次性的問題鏈驅(qū)動學生的數(shù)學思考，為解決數(shù)學問題指明探究的方向，給予學生深度合作的機會，幫助學生厘清概念，逐步深化對數(shù)學知識的認識，體會數(shù)學學習的意義和價值.

3.3 設(shè)置問題拓展，促進學生深度探究

愛因斯坦曾說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”.教師在教學中要重視對學生問題意識的培養(yǎng)，問題拓展能有效促進學生的數(shù)學思考和探究，發(fā)散數(shù)學思維，是培養(yǎng)問題意識的重要手段.因此教師要在課堂中突出學生的主體地位，給予學生更多的思考時間和探究空間.通過設(shè)置拓展性的問題，讓學生充分思考，深度探究，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，加強學生的數(shù)學問題意識.

3.4 開展課后評價，促進學生深度反思

課堂教學與課后反思相結(jié)合，不僅能加強學生的數(shù)學理解，也能培養(yǎng)其良好的學習習慣.在課后，教師可以采用相關(guān)試題讓學生開展自評，培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力，并及時反饋學生的學習情況，進一步加深對所學內(nèi)容的理解，讓其在解決問題中發(fā)現(xiàn)問題，不斷提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，從而激發(fā)學生的深度反思，促進學生核心素養(yǎng)的提升.