關(guān)于廣義i階寬度積分的逆Brunn-Minkowski型不等式

楊 林 譚 楊 羅 淼

(1.銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，貴州 銅仁 554300；2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

1 引言與預(yù)備知識

文獻(xiàn)[2]將文獻(xiàn)[1]所研究的寬度積分推廣到廣義i階寬度積分，其定義為

文獻(xiàn)[4]研究了星體(即徑向函數(shù)為連續(xù)的正的星集)的廣義i階弦長積分，若K為星體，其弦長積分可表示為

該文受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā)，利用逆H?lder不等式推導(dǎo)出不等式(2)—(3)的逆不等式，即

該文與文獻(xiàn)[6]不同的是系數(shù)與凸體無關(guān)，更多的Brunn-Minkowski不等式可參見文獻(xiàn)[7]。

2 主要結(jié)論的證明

為得到該文結(jié)論，還需要以下引理。

整理即可得證定理1。

應(yīng)用不等式(7)與引理3給出如下關(guān)于寬度積分形式的逆的Beckenbach-Dresher’s不等式[10]。

定理2的證明 由于

即得證定理2。

運(yùn)用定理1與定理2的思想與方法可得到弦長積分的類似結(jié)論，即：