基于“三個(gè)理解”的“一題一課”設(shè)計(jì)與思考
——以“二次函數(shù)的最值問題”為例

陳世文

（浙江師范大學(xué)附屬嘉善實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

“一題一課”是教師通過對一道題或一個(gè)材料做深入研究，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索和數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于學(xué)情，自然、合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，以達(dá)成多維目標(biāo)的過程. 章建躍博士曾提出“三個(gè)理解”（理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)），并指出“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”是課程改革的“三大基石”.

由此，筆者提出了基于“三個(gè)理解”的“一題一課”設(shè)計(jì)，以優(yōu)化課堂教學(xué)，提升課堂教學(xué)效率，幫助學(xué)生形成知識(shí)體系、內(nèi)化數(shù)學(xué)方法、提升核心素養(yǎng). 下面以筆者近期執(zhí)教的一節(jié)“二次函數(shù)的最值問題”為例，談?wù)劵凇叭齻€(gè)理解”的“一題一課”設(shè)計(jì)與思考.

一、素材與目標(biāo)

1. 素材選取

題目已知二次函數(shù)y=-x2+6x-5.

（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）當(dāng)1 ≤x≤4 時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？

（3）當(dāng)t≤x≤t+3 時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m-n=3，求t的值.

此題是2021年浙江省嘉興市的一道中考試題，第（1）小題求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)用配方法或公式法即可求解；第（2）小題求定區(qū)間二次函數(shù)的最大值和最小值，由于頂點(diǎn)在此區(qū)間內(nèi)，所以最大值在頂點(diǎn)取到，但最小值在何處取到需要結(jié)合圖象和函數(shù)增減性求解；第（3）小題求動(dòng)區(qū)間函數(shù)的最大值和最小值，需要對區(qū)間和對稱軸的位置進(jìn)行分類討論，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象及其增減性求解，全面、系統(tǒng)地考查了學(xué)生對二次函數(shù)最值的理解，對學(xué)生能力和素養(yǎng)提出了較高的要求. 因此，以此為素材進(jìn)行“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)，以期達(dá)到以下教學(xué)目標(biāo).

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）進(jìn)一步加深對二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和最值的理解，能結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)對函數(shù)最值進(jìn)行分析.

（2）理解區(qū)間和對稱軸對函數(shù)最值的影響，并會(huì)求定區(qū)間、動(dòng)區(qū)間和動(dòng)對稱軸的二次函數(shù)最值，系統(tǒng)建構(gòu)二次函數(shù)的最值問題.

（3）體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法在求二次函數(shù)最值中的運(yùn)用，發(fā)展推理能力、運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、教學(xué)過程

1. 定對稱軸定區(qū)間求最值

例1 （1）求二次函數(shù)y=-x2+6x-5 的最大值或最小值；

（2）求二次函數(shù)y=-x2+6x-5( )1 ≤x≤2 的最大值和最小值；

（3）求二次函數(shù)y=-x2+6x-5( )1 ≤x≤4 的最大值和最小值.

對于第（2）小題，教師出示如圖1所示的圖象，并在圖象上重點(diǎn)標(biāo)注出1 ≤x≤2 的部分，學(xué)生觀察圖象并思考得出：當(dāng)x=1 時(shí)，y取到最小值為0；當(dāng)x=2時(shí)，y取到最大值為3.

圖1

對于第（3）小題，由學(xué)生自主嘗試畫出1 ≤x≤4 的圖象部分，然后觀察圖象，得出：當(dāng)x=1 時(shí)，y取到最小值為0；當(dāng)x=3 時(shí)，y取到最大值為4.

最后教師提問：二次函數(shù)的最值一定在頂點(diǎn)處取到嗎？它與什么有關(guān)系？

學(xué)生思考、總結(jié)得出：二次函數(shù)的最值不一定在頂點(diǎn)處取到，它與自變量的取值范圍以及對稱軸的位置有關(guān).

【設(shè)計(jì)意圖】通過3道小題從求無區(qū)間限制的二次函數(shù)最值到求有區(qū)間限制的二次函數(shù)最值，讓學(xué)生感受兩者的不同，從而體會(huì)區(qū)間和對稱軸的位置對二次函數(shù)最值的影響，為后面分類討論打下基礎(chǔ). 同時(shí)，初步掌握利用函數(shù)圖象與性質(zhì)分析求有區(qū)間限制的二次函數(shù)最值的方法：畫二次函數(shù)圖象—根據(jù)區(qū)間確定有效圖象—結(jié)合函數(shù)圖象和增減性確定最值.

2. 定對稱軸動(dòng)區(qū)間求最值

例2 求二次函數(shù)y=-x2+6x-5( )t≤x≤t+3 的最大值和最小值.

教師利用幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，隨著t的改變，函數(shù)的最值也會(huì)發(fā)生改變，從而理解分類的必要，并找到分界點(diǎn)，掌握分類的方法，然后師生共同完成.

①當(dāng)t≤0 時(shí)，如圖2所示.

圖2

圖3

圖4

當(dāng)x=t+3時(shí)，y取到最小值，最小值為y=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4；

當(dāng)x=3 時(shí)，y取到最大值，最大值為y=4.

④當(dāng)t ＞3 時(shí)，如圖5所示.

圖5

當(dāng)x=t時(shí)，y取到最大值，最大值為y=-t2+6t-5.

【設(shè)計(jì)意圖】從定區(qū)間到動(dòng)區(qū)間，讓學(xué)生在區(qū)間變化過程中進(jìn)一步體會(huì)區(qū)間和對稱軸的位置對二次函數(shù)最值的影響，掌握利用函數(shù)圖象與性質(zhì)分析求動(dòng)區(qū)間二次函數(shù)最值的方法，滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的推理能力、運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 動(dòng)對稱軸定區(qū)間求最值

例3 已知二次函數(shù)y=x2-2ax+a2-1( 0 ≤x≤3) .

（1）求該二次函數(shù)的最大值；

（2）求該二次函數(shù)的最小值.

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】從動(dòng)區(qū)間到動(dòng)對稱軸，讓學(xué)生在對稱軸的變化過程中進(jìn)一步體會(huì)區(qū)間和對稱軸的位置對二次函數(shù)最值的影響. 同時(shí)，通過分別求最大值和最小值，考查學(xué)生是否真正理解分類的必要性，掌握分類的方法，是對“定對稱軸動(dòng)區(qū)間求最值”的一次變式、升華與鞏固.

4. 動(dòng)對稱軸動(dòng)區(qū)間求最值

例4 當(dāng)b≤x≤b+2 時(shí)，二次函數(shù)y=x2+2bx+2b2的最小值為25，求b的值.

教師利用幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生觀察、思考函數(shù)的最小值在何處取到，與什么有關(guān)，從而發(fā)現(xiàn)分類的方法：對稱軸在區(qū)間左側(cè)、對稱軸在區(qū)間之間和對稱軸在區(qū)間右側(cè)三類，然后學(xué)生自主完成并交流展示.

①當(dāng)-b ＜b，即b ＞0 時(shí)，如圖7所示.

圖7

圖8

當(dāng)x=-b時(shí)，y取到最小值為y=b2=25.

解得b1=5 （舍），b2=-5 （舍）.

③當(dāng)-b≥b+2，即b≤-1時(shí)，如圖9所示.

圖9

綜上所述，b= 5 或b=-3.

【設(shè)計(jì)意圖】此題中對稱軸在動(dòng)，區(qū)間也不確定，變量較多，綜合性較強(qiáng)，但其本質(zhì)與方法仍舊是考慮對稱軸與區(qū)間之間的位置關(guān)系，只需要對b進(jìn)行分類討論即可，讓學(xué)生在不斷“變化”的過程中體會(huì)“不變”的方法與本質(zhì)，考查學(xué)生思維的全面性與深刻性.

5. 梳理知識(shí)，形成體系

教師提出問題：在本節(jié)課中，同學(xué)們學(xué)到了哪些知識(shí)？你有哪些收獲與體會(huì)？

學(xué)生先思考作答，教師再用思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，思維導(dǎo)圖如圖10所示.

圖10

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在交流、反思中，不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，也讓教師在一定程度上了解學(xué)生在本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的深度和廣度，把握學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平. 最后通過思維導(dǎo)圖清晰呈現(xiàn)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生形成知識(shí)體系與結(jié)構(gòu)，深化思想方法.

6. 當(dāng)堂檢測，鞏固提升

練習(xí)1：y=x2+( )1-a x+1 是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)1 ≤x≤3 時(shí)，y在x=1 時(shí)取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）.

（A）a≤-5 （B）a≥5

【設(shè)計(jì)意圖】通過已知“動(dòng)對稱軸定區(qū)間”的二次函數(shù)最值，逆向設(shè)問求參數(shù)a的取值范圍和“區(qū)間為參數(shù)，最值也為參數(shù)”的“定對稱軸動(dòng)區(qū)間”的二次函數(shù)最值問題綜合評價(jià)本節(jié)課的重、難點(diǎn)知識(shí)，體現(xiàn)教、學(xué)、評的一致性.

三、教學(xué)思考

1. 理解數(shù)學(xué)是“一題一課”設(shè)計(jì)的“魂”

理解數(shù)學(xué)就是要把握課程的整體結(jié)構(gòu)、理解所教內(nèi)容的本質(zhì)、所處的地位和所蘊(yùn)含的思想方法、科學(xué)價(jià)值等. 教師只有理解了數(shù)學(xué)，才能系統(tǒng)地、整體地、聯(lián)系地看待問題，才能把握教學(xué)的方向，有的放矢地設(shè)計(jì)“一題一課”，因此，理解數(shù)學(xué)是“一題一課”設(shè)計(jì)的“魂”.

二次函數(shù)的最值問題貫穿了整個(gè)初、高中的函數(shù)學(xué)習(xí)，在初、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的地位，蘊(yùn)含了豐富的思想方法. 本節(jié)課以一道中考二次函數(shù)最值問題為生長點(diǎn)，由“定”到“動(dòng)”，設(shè)計(jì)“定對稱軸定區(qū)間求最值—定對稱軸動(dòng)區(qū)間求最值—?jiǎng)訉ΨQ軸定區(qū)間求最值—?jiǎng)訉ΨQ軸動(dòng)區(qū)間求最值”系列問題，層層深入，不斷拓展，讓學(xué)生在“變”與“不變”、“動(dòng)”與“不動(dòng)”中體會(huì)區(qū)間和對稱軸的位置對二次函數(shù)最值的影響，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，掌握解決問題的方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和分類討論思想，整體架構(gòu)二次函數(shù)最值問題，深化、完善初中階段二次函數(shù)最值體系，為高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

2. 理解學(xué)生是“一題一課”設(shè)計(jì)的“根”

理解學(xué)生就是理解學(xué)生的現(xiàn)實(shí)水平、認(rèn)知規(guī)律和思維障礙. 對于“一題一課”的設(shè)計(jì)，首先，要理解學(xué)生現(xiàn)實(shí)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知水平和認(rèn)知規(guī)律的“低起點(diǎn)、高落點(diǎn)”問題鏈；其次，要理解學(xué)生的思維障礙，要通過問題設(shè)計(jì)啟發(fā)學(xué)生不斷思考、嘗試，不斷突破難點(diǎn)與障礙，使得“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”. 例如，本節(jié)課先通過例1的第（1）小題“求無區(qū)間限制的二次函數(shù)最值”這一低起點(diǎn)問題，激活學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維. 隨后通過例1 的第（2）小題和第（3）小題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識(shí)到二次函數(shù)的最值不一定總在“頂點(diǎn)”處取到，而是與區(qū)間和對稱軸的位置有關(guān)，然后由“定”到“動(dòng)”設(shè)計(jì)系列問題，突破初中階段許多學(xué)生求解二次函數(shù)的最值問題時(shí)只會(huì)機(jī)械地套用公式，不會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和增減性進(jìn)行分析，更不太關(guān)注自變量的取值范圍對函數(shù)最值的影響這種“只見樹木，不見森林”的片面認(rèn)識(shí)和片面做法，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生思維.

3. 理解教學(xué)是“一題一課”設(shè)計(jì)的“橋”

理解教學(xué)主要指教師在理解數(shù)學(xué)和理解學(xué)生的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生作為有機(jī)統(tǒng)一的整體加以處理，架設(shè)連接“數(shù)學(xué)”和“學(xué)生”的橋梁. 在本節(jié)“一題一課”設(shè)計(jì)中，教師通過問題鏈引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生自己理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 例如，通過例1的3個(gè)遞進(jìn)問題的解決，讓學(xué)生自己“悟”出二次函數(shù)的最值不一定在頂點(diǎn)處取到，而是與自變量的范圍和對稱軸的位置有關(guān). 在例2 和例3 的教學(xué)中，通過幾何畫板軟件的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生自己觀察、思考、合作、交流，從而發(fā)現(xiàn)分類的必要性，掌握分類的方法，最后通過嘗試解決例4，綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法解決問題，評價(jià)所學(xué). 整節(jié)課都是學(xué)生先行觀察、思考、嘗試、交流，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥、引導(dǎo)，充分落實(shí)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”這一基本理念，從而更好地發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).