基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的初中函數(shù)概念教學(xué)

楊小麗，張雅麗

（北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系；北京市通州區(qū)牛堡屯學(xué)校）

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一. 數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)抽象的一個重要表現(xiàn)是數(shù)學(xué)概念的形成. 因此，概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體. 下面以初中函數(shù)概念為例，探討如何在概念教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

一、函數(shù)概念教學(xué)的典型設(shè)計

函數(shù)概念的典型設(shè)計如下. 首先，給出一組現(xiàn)實情境，接下來教師提問：同一個問題中的變量有什么聯(lián)系？師生交流后，教師對每一個情境做出如下分析：x和y是兩個變量，每當(dāng)x確定一個值時，y就有唯一確定的值與其對應(yīng).然后，歸納：上面每個問題中的兩個變量相互聯(lián)系，當(dāng)其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應(yīng).最后，給出函數(shù)的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).

學(xué)習(xí)函數(shù)概念的難點是要抽象概括出“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)”這樣一個結(jié)論. 從上述教學(xué)設(shè)計可以看出，該結(jié)論是由教師直接分析給出的，并沒有真正突破函數(shù)概念學(xué)習(xí)的難點.

二、課前調(diào)研及結(jié)果分析

在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，為了了解學(xué)生的抽象概括水平，筆者對所任教班級24名學(xué)生做了調(diào)研.

1. 前測題

（1）從下面的問題情境中，你獲取了哪些信息？寫出你所發(fā)現(xiàn)的信息.

情境1：圖1是某地一天內(nèi)溫度的變化情況. 寫出你所發(fā)現(xiàn)的信息.

圖1

情境2：在高海拔（1 500～ 3 500 m 為高海拔，3 500～ 5 500 m 為超高海拔，5 500 m 以上為極高海拔）地區(qū)的人有缺氧的感覺，表1 是有關(guān)海拔高度與空氣含氧量之間的一組數(shù)據(jù). 寫出你所發(fā)現(xiàn)的信息.

表1 海拔高度與空氣含氧量數(shù)據(jù)

情境3：每張電影票的售價為50 元，設(shè)一場電影售出x張票，票房收入為y元. 寫出你所發(fā)現(xiàn)的信息.

（2）上述幾個具體情境的共同點是什么？

2. 前測結(jié)果

對于第（1）小題情境1，學(xué)生答題情況如表2所示.

表2 情境1的答題情況

對于第（1）小題情境2，學(xué)生答題情況如表3所示.

表3 情境2的答題情況

對于第（1）小題情境3，學(xué)生答題情況如表4所示.

表4 情境3的答題情況

對于第（2）小題，學(xué)生答題情況如表5所示.

表5 第（2）小題的答題情況

3. 前測結(jié)果分析

從上述前測結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，第（1）小題中，對于情境1，83.3%的學(xué)生能夠觀察得到溫度隨時間的變化而變化；對于情境2，87.5%的學(xué)生能夠得到隨著海拔的升高空氣中的含氧量在降低；而對于情境3，只有37.5%的學(xué)生能夠說出“電影票售出張數(shù)越多，票房收入越多；每多售出1 張電影票，票房收入就增加50 元”，但有91.7%的學(xué)生能夠?qū)懗龊瘮?shù)解析式.

第（2）小題讓學(xué)生歸納幾個具體情境的共同特點，有50%的學(xué)生能夠指出：都是一個變量隨著另一個變量的改變而改變. 沒有任何1名學(xué)生能夠說出“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)”這樣的結(jié)論. 說明學(xué)生很難抽象概括出教材中的函數(shù)定義. 那么，教學(xué)中如何突破該難點，并讓學(xué)生深入理解教材中的函數(shù)定義呢？

三、教學(xué)過程設(shè)計與實施

在實際教學(xué)中，筆者嘗試了3 個課時的小單元教學(xué)設(shè)計. 由于篇幅所限，僅呈現(xiàn)幾個主要環(huán)節(jié)的教學(xué)片斷.

環(huán)節(jié)1：回顧前測問題.

教師出示前測中的3個情境.

問題2：變量之間有關(guān)系嗎？如果有，它們之間有什么關(guān)系？

問題3：上述幾個具體情境的共同點是什么？

【設(shè)計意圖】3個情境分別以圖象、表格、表達式三種形式呈現(xiàn)，以讓學(xué)生感受函數(shù)表達的多樣性，同時為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的表示方法奠定基礎(chǔ). 通過問題1，引出常量和變量的概念；通過問題2和問題3，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、歸納等活動，抽象概括出3 個情境的共同屬性：都是一個變量隨著另一個變量的變化而變化.

環(huán)節(jié)2：觀察共性，抽象概括.

教師出示另一組情境.

觀察兩組患者臨床治療效果，并將其劃分為以下4個指標(biāo)：（1）痊愈：患者在治療后，所有臨床癥狀均消失，并且沒有出現(xiàn)復(fù)發(fā)情況；（2）顯效：患者治療后臨床癥狀基本消失，白帶清潔度也有所提高；（3）有效：患者治療后取得了較明顯的治療效果，白帶清潔度有所提高；（4）無效：患者治療后沒有取得任何效果，甚至出現(xiàn)病情惡化的情況[2]。

情境4：小紅一天中的體溫變化情況如圖2所示.

圖2

情境5：某話費套餐收費標(biāo)準(zhǔn)如表6所示.

表6 某話費套餐收費標(biāo)準(zhǔn)

情境6：某地出租車5：00—23：00 收費標(biāo)準(zhǔn)如下：3公里以內(nèi)收費13元；超出（含）3公里的部分每公里2.3 元；燃油附加費1 元/次. 設(shè)車費為y元，行駛里程為x公里.

問題4：上述情境中有哪些量？分別是什么？哪些是變量？

問題5：變量之間有什么關(guān)系？

生1：情境4中，體溫隨著時間的變化而變化.

生2：情境4中，12時至17時，體溫沒有變化.

追問1：如何描述圖2 中從12 時至17 時這段時間的圖象中兩個變量之間的關(guān)系呢？

生3：給出時間的一個量就能找到一個對應(yīng)的體溫值. 12時對應(yīng)的體溫是37℃，12時至17時對應(yīng)的體溫都是37℃.

追問2：再加上其他部分呢？兩個變量之間的關(guān)系如何描述？

生4：給出一個量的固定值，就能找到另一個量的固定值.

問題6：這組情境與第一組情境變量之間的關(guān)系有區(qū)別嗎？如果有，是什么？

生5：有區(qū)別，第一組情境中變量之間的關(guān)系都是一個變量隨著另一個變量的變化而變化；第二組情境中存在某一段一個變量變化而另一個變量的值不變.

問題7：這六個具體情境中變量之間的關(guān)系有什么共同特點嗎？這種關(guān)系就是我們通常所說的函數(shù)關(guān)系，你能給函數(shù)下個定義嗎？

生6：一個變量的值固定，另一個變量的值也隨之固定.

【設(shè)計意圖】環(huán)節(jié)2的目的是突破難點、抽象概括出“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)”. 突破難點的做法主要有以下兩個方面.

一是創(chuàng)設(shè)第二組情境及設(shè)計相應(yīng)的問題串. 第二組情境同樣以圖象、表格、表達式三種形式呈現(xiàn)，以讓學(xué)生感受函數(shù)表達的多樣性. 不同的是，該組情境中變量之間的關(guān)系與第一組情境“有所區(qū)別”. 對于該組情境，從函數(shù)圖象來看，圖象中有一段是一條平行于x軸的線段，是“平的”；從函數(shù)值來看，當(dāng)自變量x在某個區(qū)間取值時，y的值始終是同一個常數(shù). 學(xué)生依據(jù)日常生活經(jīng)驗認(rèn)為，在該區(qū)間，x的取值改變了，但y的取值并沒有發(fā)生變化. 因此，變量之間的關(guān)系用“一個變量隨另一個變量的變化而變化”來概括就不恰當(dāng)了. 那么如何描述呢？這就“逼迫”學(xué)生跳出“直觀”，擺脫變量變化的物理背景，思考變量之間更為本質(zhì)的關(guān)系：對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng). 上述實錄說明第二組情境的設(shè)置及教師用針對性的提問和追問，確實能夠讓部分學(xué)生更深入地思考，進而概括出該組情境的本質(zhì)屬性（雖然語言不夠精確）.

二是師生對話，并輔以表格法. 由于學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不僅僅是一個自我建構(gòu)的過程，還是一個與他人交互的社會性建構(gòu)過程. 因此，教師通過與部分學(xué)生的對話，借助表格，分別將每個情境中（x，y）的值盡可能多地列舉出來，以讓學(xué)生理解“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)”這句話的內(nèi)涵.

環(huán)節(jié)3：函數(shù)定義、定義解析、函數(shù)定義演變史.

在該環(huán)節(jié)，教師給出教材中函數(shù)的定義，并對定義進行解析. 然后結(jié)合定義，對前述六個具體情境逐一剖析，以促進學(xué)生對函數(shù)概念的理解.

接下來，教師介紹函數(shù)定義的演變史，并將其與前兩個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)建立起聯(lián)系，指出：數(shù)學(xué)家們用將近100 年的時間才抽象概括出來的函數(shù)定義，你們用了不到兩節(jié)課的時間就能表達出大致意思，真的很棒，所以大家一定要對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿信心. 此外，上述函數(shù)定義的演變過程也說明，函數(shù)概念的形成不是一蹴而就的，是一個逐漸調(diào)整和完善的過程. 今天的學(xué)習(xí)過程也一樣，我們也經(jīng)歷了歷史上類似的過程，等到高中以后，大家還要繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念.

四、思考與建議

1. 充分認(rèn)識到第一個層次抽象的重要性

史寧中教授將數(shù)學(xué)抽象分為三個層次：一是簡約階段，把握事物的本質(zhì)，把復(fù)雜問題簡單化、條理化，并能夠清晰地表達；二是符號階段，去掉事物的具體內(nèi)容，利用概念、圖形、符號和關(guān)系術(shù)語等表述已簡約化的事物；三是普適階段，通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，能在一般意義上解釋具體事物.

上述數(shù)學(xué)抽象的三個層次的具體步驟如圖3 所示. 從“辨別”到“抽象”為簡約階段，抽離事物本質(zhì)；從“概括”到“形式”為符號階段，完成符號表達；從“系統(tǒng)”到“運用”為普適階段，形成理論并運用到具體情境.

圖3

初中階段函數(shù)概念教學(xué)主要包括上述（1）～（5），即主要涉及簡約階段和符號階段，重點是簡約階段.

史寧中教授指出，第一個層次的抽象是極為重要的，但在我們的教學(xué)過程中往往被忽略. 因此，教師在函數(shù)概念教學(xué)中要充分認(rèn)識到第一個層次抽象的重要性，給予第一個層次的抽象（即簡約階段）足夠的重視.

2. 充分認(rèn)識到第一個層次抽象的困難性

前述課前調(diào)研結(jié)果表明，學(xué)生很難抽象概括出教材中的函數(shù)定義. 但上述結(jié)論是基于所授課班級24名學(xué)生的調(diào)研結(jié)果，不具有代表性. 由于“歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難，正是學(xué)生也會遇到的學(xué)習(xí)障礙”，根據(jù)這種歷史相似性，筆者查閱了相關(guān)數(shù)學(xué)史.

綜觀函數(shù)定義的發(fā)展史，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)定義的抽象程度是逐步提高的. 1673 年，萊布尼茲創(chuàng)造了“函數(shù)”一詞，表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的幾何量. 1755 年，歐拉指出，如果某變量以如下的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù). 相比萊布尼茲的函數(shù)定義，歐拉的函數(shù)定義已經(jīng)擺脫了具體的幾何背景，涉及函數(shù)本質(zhì)，這個本質(zhì)就是刻畫兩個變量之間的變化關(guān)系. 因此，人們通常稱歐拉的定義為函數(shù)的“變量說”. 1851年，黎曼給函數(shù)下的定義為：假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值. 如果對它的每一個值，都有未知量w的唯一的一個值與之對應(yīng)，則稱w為z的函數(shù)，該定義被稱為函數(shù)的“對應(yīng)說”. 1839年，布爾巴基學(xué)派給出了函數(shù)的更為形式化的定義，被稱為“關(guān)系說”. 可以看出，我國現(xiàn)行初中教材給出的定義融合了歐拉的定義和黎曼的定義. 而黎曼的定義擺脫了變量變化的物理背景，相比歐拉的定義更為抽象.

無論是課前樣本的調(diào)研，還是函數(shù)定義的發(fā)展史，都在一定程度上說明了教材中的函數(shù)定義比較抽象，要歸納概括出來對于學(xué)生來說是比較困難的. 實際教學(xué)中學(xué)生的表現(xiàn)也印證了上述結(jié)論. 因此，教師要充分認(rèn)識到第一個層次抽象的困難性.

3. 借助數(shù)學(xué)史，精心設(shè)計第一個層次的抽象的教學(xué)活動

德國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家F.克萊因曾指出，生物發(fā)生學(xué)的一項基本定律指出，個體的成長要經(jīng)歷種族成長的所有階段，順序相同，只是所經(jīng)歷的時間縮短……筆者認(rèn)為教授數(shù)學(xué)和其他任何事情一樣，至少在原則上要遵照這些定律. 我國老一輩數(shù)學(xué)家余介石等也認(rèn)為，歷史之于教學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，更可指示基本概念之有機發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序.

本教學(xué)設(shè)計就是從函數(shù)概念發(fā)展史中獲得了啟發(fā)，根據(jù)歐拉的定義和黎曼的定義，將第一層次的抽象細(xì)分為兩個環(huán)節(jié)進行：第一個環(huán)節(jié)，回顧課前調(diào)研的那組情境，重點讓學(xué)生抽象概括出該組情境的共同屬性“都是一個變量隨著另一個變量的改變而改變”，該環(huán)節(jié)對應(yīng)歐拉的“變量說”定義. 第二個環(huán)節(jié)，設(shè)置了另一組情境，希望學(xué)生通過與第一組情境的對比，能夠抽象概括出“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)”，該環(huán)節(jié)對應(yīng)黎曼的“對應(yīng)說”定義. 期望學(xué)生通過兩個環(huán)節(jié)的遞進學(xué)習(xí)，不僅能夠抽象概括出教材中的函數(shù)定義，還能夠理解教材中為什么如此定義函數(shù).

課后對學(xué)生的訪談表明，上述兩個環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)抽象過程給學(xué)生留下了深刻的印象. 尤其本節(jié)課前兩個環(huán)節(jié)與數(shù)學(xué)史之間的聯(lián)系，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自信心，并使學(xué)生更深刻地理解了教材中的函數(shù)定義.

4. 借助單元設(shè)計，整體設(shè)計發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)活動

素養(yǎng)的培養(yǎng)不是幾節(jié)課就能立竿見影的，需要教師從長計議、整體設(shè)計. 為此，筆者將初中函數(shù)概念進行通盤考慮，構(gòu)建了一個函數(shù)概念單元. 該單元除了函數(shù)概念外，還包括正比例函數(shù)概念、一次函數(shù)概念、反比例函數(shù)概念和二次函數(shù)概念. 在上述具體函數(shù)概念的教學(xué)中，均給出大量現(xiàn)實情境，要求學(xué)生寫出變量之間的關(guān)系式，再判斷變量之間是否滿足函數(shù)關(guān)系，最后要求學(xué)生觀察函數(shù)關(guān)系式的特點、抽象概括得到具體函數(shù)的定義. 這樣處理的目的是希望通過具體函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，進一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

為了跟蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，在學(xué)習(xí)每一個具體函數(shù)概念之前都對學(xué)生進行了前測，最后一次前測是在學(xué)習(xí)二次函數(shù)概念之前進行的. 由測試數(shù)據(jù)可知，學(xué)生抽象出二次函數(shù)概念的能力有所提高，但提高的幅度并不顯著. 一方面，這說明了持續(xù)不斷的、有針對性的教學(xué)對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是有一定效果的；另一方面，再次說明了數(shù)學(xué)抽象對于學(xué)生來說是比較困難的. 因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)需要教師持之以恒的努力.