利用概念圖評價學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解

石浩楠，胡典順

（湖北省武漢市第十七中學(xué)；華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院）

一、引言

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論體系的基石，是邏輯思維的起點. 數(shù)學(xué)問題的解決是從辨析概念出發(fā)，然后選擇合適的方法. 脫離數(shù)學(xué)概念，忽視對概念的理解，很難形成數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進行. 因此，學(xué)好概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重. 當(dāng)然，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不是一次性的. 學(xué)習(xí)概念、理解概念、運用概念，發(fā)現(xiàn)概念間的聯(lián)系，這是一個過程.概念從來都不是孤立的，而是有關(guān)聯(lián)的. 對于所學(xué)的概念，不僅應(yīng)該知道概念本身的含義，還應(yīng)該了解概念之間的關(guān)系，這時，就需要利用概念圖來達(dá)到目的. 概念圖最早由美國康奈爾大學(xué)的諾瓦克教授等人提出. 諾瓦克在一項科學(xué)概念研究中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常常能完成相應(yīng)的實驗步驟，但是卻無法對由此產(chǎn)生的現(xiàn)象做出相應(yīng)的解釋. 為了解決學(xué)習(xí)中的這一問題，諾瓦克根據(jù)奧蘇貝爾的概念同化理論開發(fā)了概念圖這樣一種認(rèn)知工具，試圖將傳統(tǒng)教學(xué)導(dǎo)致的機械學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸饬x學(xué)習(xí).

概念圖是某個主題的概念及其關(guān)系的圖形化表示. 在概念圖中，概念名稱放在圓圈或方框之中，以連線形式將相關(guān)概念連接起來，并在連線旁標(biāo)出兩個概念之間的聯(lián)系. 隨著知識的不斷積累，所學(xué)概念不斷擴充，概念間的聯(lián)系越發(fā)復(fù)雜，概念圖隨之向外延伸，逐步形成知識體系的概念網(wǎng)絡(luò). 運用概念圖，能幫助學(xué)生梳理所學(xué)內(nèi)容，掌握概念定義，把握概念間的意義關(guān)系，實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí). 在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，概念圖雖不陌生，卻少有一席之地. 教師對概念圖結(jié)構(gòu)和用途的一知半解使得他們忽視對概念圖的拓展與延伸，放棄將概念圖滲透于日常教學(xué)的過程中. 而學(xué)生因為接觸不多，無法體驗到概念圖對知識梳理的強大功能，喪失對概念圖自主學(xué)習(xí)的興趣. 本文通過對概念圖的特點和評估方案的介紹，提出相關(guān)教學(xué)策略，以期將概念圖引入數(shù)學(xué)課堂.

二、基于認(rèn)知同化理論的概念圖特點

奧蘇貝爾的認(rèn)知同化理論，即在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 奧蘇貝爾的認(rèn)知同化理論起始于認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也落腳于認(rèn)知結(jié)構(gòu). 新知識納入已有的理論框架，是產(chǎn)生新的聯(lián)系的過程，甚至?xí)淖兏拍铋g的結(jié)構(gòu). 奧蘇貝爾的認(rèn)知同化理論包含以下三個觀點：（1）認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有層次結(jié)構(gòu)的. 概念之間不可能都存在聯(lián)系，但是有聯(lián)系的概念不可能都是平級的，除了并列關(guān)系外，必然有上下級關(guān)系的概念存在.（2）認(rèn)知結(jié)構(gòu)是逐漸分化的. 層次結(jié)構(gòu)就意味著概念具有從屬關(guān)系，一個一般的概念下面會包括很多具體的概念，較具體的概念也可能還有下位結(jié)構(gòu)，這就體現(xiàn)了概念的逐漸分化的過程.（3）認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷整合協(xié)調(diào). 當(dāng)原本沒有關(guān)聯(lián)的概念網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生聯(lián)系，或者當(dāng)一個概念網(wǎng)絡(luò)中的概念逐漸豐富時，概念間的聯(lián)系也越發(fā)錯綜復(fù)雜，一味地在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)框架下進行分化，并不能達(dá)到預(yù)期的梳理功能，概念圖的有意義學(xué)習(xí)的成分也不會提高. 面對復(fù)雜的概念關(guān)系時，需要不斷調(diào)整概念圖的縱向及橫向結(jié)構(gòu)，探索更加優(yōu)質(zhì)的概念圖. 概念圖作為認(rèn)知結(jié)構(gòu)外顯化的結(jié)果，和認(rèn)知結(jié)構(gòu)一樣，具有層次結(jié)構(gòu)、逐漸分化，以及整合協(xié)調(diào)的特點. 根據(jù)奧蘇貝爾的認(rèn)知同化理論，我們可以進一步理解概念圖的結(jié)構(gòu).

1. 層次結(jié)構(gòu)

概念圖的層次結(jié)構(gòu)是對概念最基本的考查. 就如同建筑的房屋結(jié)構(gòu)，只有科學(xué)、合理的框架才能進行下一步細(xì)致的工作，因此概念圖的層次結(jié)構(gòu)必須符合概念的從屬關(guān)系. 從包含性強的、寬泛的概念開始，接下來是包含性較弱的、具體的概念. 同一內(nèi)容的概念圖的層次結(jié)構(gòu)沒有正確和標(biāo)準(zhǔn)的說法，只要包含關(guān)系正確，便于后續(xù)階段的分化與整合即可. 正是因為概念圖的這一特點，鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，促進學(xué)生主動思考，有利于有意義學(xué)習(xí)的實現(xiàn).

以實數(shù)為例進行說明. 實數(shù)是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，對實數(shù)的透徹理解有利于后期對集合、復(fù)數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識的學(xué)習(xí). 利用概念圖輔助教學(xué)，可以讓學(xué)生從多角度認(rèn)識實數(shù). 如圖1、圖2，可以清晰地看出，實數(shù)作為上位概念，卻有著不同的層次結(jié)構(gòu). 實數(shù)可以分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)；也可以分為有理數(shù)、無理數(shù). 這反映了學(xué)生思維方式的不同. 兩個概念圖沒有哪個更優(yōu)的說法，重要的是從概念圖中得到學(xué)生對概念知識的把握情況，并及時糾正錯誤的認(rèn)知. 為了構(gòu)建一個分層的概念圖，學(xué)生必須思考，在主題之下什么是最具包含性、包容性較弱，以及最不具包容性的概念. 這包含主動的認(rèn)知思維，是學(xué)生積極思考、自主學(xué)習(xí)的展現(xiàn).

圖1

圖2

2. 逐漸分化

有意義的學(xué)習(xí)是一個持續(xù)性的過程. 對一個主題進行不斷深入學(xué)習(xí)后，之前的概念框架會繼續(xù)分層，原本的下位概念可能會獲得更大的意義，從而擁有新的下位概念；原有的概念之間也可能產(chǎn)生進一步的聯(lián)系. 就如同建筑的房屋結(jié)構(gòu)，已經(jīng)畫出總體設(shè)計框架后，下一步就是對每個房間內(nèi)部的設(shè)計進行細(xì)化. 概念圖的分化，是在概念層面上思考問題，有助于明晰概念間的本質(zhì)區(qū)別. 同樣地，由于需要學(xué)生對概念進行主動地重組或結(jié)合，必然會產(chǎn)生自己的創(chuàng)造，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新能力的目的.

以實數(shù)為例進行說明. 如圖3、圖4，隨著實數(shù)這一章節(jié)內(nèi)容的深入，學(xué)生獲得了實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)等多個有聯(lián)系的概念，為梳理概念，概念圖需要進行進一步分化. 在分化過程中，上位概念及下位概念的確定，概念間連接詞的概括，這些都需要學(xué)生進行權(quán)衡. 通過思考概念間的關(guān)系，可以讓學(xué)生找到所學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，意識到哪些概念是掌握良好的，哪些概念是相對模糊的. 這個過程幫助學(xué)生進行自我評價，有助于學(xué)生查漏補缺. 再者，概念圖的逐漸分化使得一個主題下的概念圖越發(fā)復(fù)雜多樣. 通過分析不同學(xué)生的概念圖，可以讓教師了解學(xué)生的認(rèn)知誤區(qū)及普遍錯誤，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時調(diào)整課堂內(nèi)容，實現(xiàn)以學(xué)生為中心；也可以讓學(xué)生從多角度看待問題，并且通過一幅幅不同的概念圖多次回憶所學(xué)知識，更加明確概念的意義，加深對概念的認(rèn)識與理解.

圖3

圖4

3. 整合協(xié)調(diào)

逐漸分化的過程可以看作同一主題下內(nèi)容的協(xié)調(diào)與重組. 對新、舊知識進行重新認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在聯(lián)系，使概念圖不斷向外延伸. 不同主題下的概念圖，也可能會因為不斷分化而產(chǎn)生新的命題聯(lián)系，從而整合成一個概念圖. 通過觀察概念圖是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)還是簡單的結(jié)構(gòu)初步判定學(xué)生對知識運用的熟練程度.熟練的學(xué)生往往能創(chuàng)建出高度連接的圖，而不熟練的學(xué)生往往創(chuàng)建出簡單的線形、圓形、有輪輻的中心，或者有一些分支的樹. 知識不是獨立的，學(xué)生清楚知識具有聯(lián)系，卻難以用語言表述，而概念圖作為一個具有整合協(xié)調(diào)功能的工具，能夠?qū)W(xué)生腦海中對概念關(guān)系的理解外顯化，重建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高思維能力.

如圖5，是一個關(guān)于有理數(shù)乘法的概念圖. 可以發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)的運算、實數(shù)的運算、方程等內(nèi)容通過一個概念圖聯(lián)系起來. 圖5 顯示的只是思維的一小部分，我們還可以繼續(xù)拓展和整合概念. 這個概念圖以小學(xué)四則運算為基礎(chǔ)，展示了有理數(shù)的加、減、乘、除的聯(lián)系，并為后續(xù)的方程及實數(shù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊，體現(xiàn)了知識的整合協(xié)調(diào). 概念圖作為一種可視化工具，可以清晰地反映概念在哪里產(chǎn)生聯(lián)系，并讓學(xué)生通過關(guān)鍵詞回憶起相應(yīng)的內(nèi)容，檢查出學(xué)生的認(rèn)知錯誤和丟失的相關(guān)概念. 創(chuàng)新意識往往很難向他人展示，包含多個交叉聯(lián)系的網(wǎng)狀概念圖可以作為學(xué)生創(chuàng)造性思維的產(chǎn)物. 整合協(xié)調(diào)的過程，不是對概念名詞的生搬硬套，知識內(nèi)化外顯的過程促進了有意義的學(xué)習(xí).

圖5

三、概念圖的評估方案

概念圖的掌握并不復(fù)雜，益處也顯而易見，那么為什么在數(shù)學(xué)教學(xué)中概念圖往往被束之高閣呢？一個主要的原因就是很難采取一種辦法對概念圖進行評估. 無法或很難對概念圖進行評分，教師就很少花費精力在概念圖的使用上，學(xué)生沒有動力就難以激起對概念圖的興趣. 一個簡單、易于評估的方案可以使概念圖走出困境. 下面以Novak和Gowin的概念圖評分標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，進行簡化與改進.

評估方案如下：（1）對所有有效的關(guān)系打分. 有效的關(guān)系是指兩個概念之間正確的聯(lián)系. 每個有效的關(guān)系可以記1 分. 對于錯誤或者遺漏的聯(lián)系，可以記0分，扣分會加大對最終評分結(jié)果認(rèn)識的難度. 只記正分，不記負(fù)分，可以直接從分?jǐn)?shù)上看出學(xué)生對概念的掌握程度.（2）對有效級別的層次結(jié)構(gòu)打分. 每一個有效的層次結(jié)構(gòu)可以記x分，通常x取每個有效關(guān)系分?jǐn)?shù)的3～10 倍. 如果概念圖不是對稱的，有些概念分化較強，有些概念分化較弱，取最多的層次結(jié)構(gòu)進行計分. 但是如果只追求層次結(jié)構(gòu)，卻沒有正確的從屬關(guān)系，這樣的結(jié)構(gòu)屬于無效的.（3）對有效的交叉連接打分. 交叉連接是指概念圖中不同部分的概念之間產(chǎn)生的聯(lián)系. 每一個有效的交叉連接可以記y分，通常y取每個有效層次結(jié)構(gòu)的2或3倍，這是因為交叉連接反映的是概念的整合協(xié)調(diào)，是難能可貴的.（4）對有效的例子打分. 每個有效的例子可以記1分. 這一步不是必須的，有效的例子是為了防止學(xué)生死記硬背，因為概念間的聯(lián)系是可以通過記憶復(fù)制出來的，這樣并不能達(dá)到概念圖有意義學(xué)習(xí)的目的.

評估方案中每一條的分配分值是可以根據(jù)實際情況變動的，只要遵循合理的規(guī)則，能達(dá)到評估的目的即可. 圖6 是一個簡單的概念圖. 我們嘗試根據(jù)評估方案對這個概念圖進行評分. 由概念圖知，概念間的關(guān)系一共有6 個：①到⑥，每一個關(guān)系都是正確有效的，共計6 分. 從層次結(jié)構(gòu)來看，共有兩個層次：水平1、水平2，且都是合理有效的，取每個層次分?jǐn)?shù)為每個有效關(guān)系的4 倍，即4 分，共計8 分.圖中⑦⑧為概念間的交叉連接，取每個有效的交叉連接分?jǐn)?shù)為每個層次結(jié)構(gòu)的2倍，即8分，共計16分.圖中⑨是對概念解釋的一個例子，計1 分. 根據(jù)評估方案，圖6 的概念圖所得分?jǐn)?shù)為31 分. 得分的高低可以讓教師了解學(xué)生對知識的理解、掌握情況，學(xué)生也會對自己有更清晰的認(rèn)識，這為概念圖進入數(shù)學(xué)課堂提供了可能.

圖6

圖7、圖8分別是甲、乙兩人在五分鐘內(nèi)畫出的關(guān)于反比例函數(shù)這個主題的概念圖. 嘗試對兩幅概念圖進行評分. 如圖7，有效的關(guān)系有5 個，計5 分. 有兩個層次，且都是合理有效的，取每個層次分?jǐn)?shù)為每個有效關(guān)系的4倍，即4分，共計8分. 沒有交叉聯(lián)系和例子，所以甲的得分為13 分. 如圖8，有效的關(guān)系有3 個，計3分. 只有一個層次，計4分，沒有交叉聯(lián)系和例子，所以乙的得分為7 分. 從得分情況可以看出，甲同學(xué)概念圖描述的正確信息更多，概念掌握情況更優(yōu). 統(tǒng)觀概念圖，發(fā)現(xiàn)甲的概念圖更發(fā)散，知識點更全面. 乙對反比例的性質(zhì)的回憶是零散的. 雖然用文字描述出了相關(guān)的圖象特征，但是沒有甲給出的圖象直觀. 當(dāng)然，僅憑圖象也不能判斷甲能正確地表述反比例函數(shù)的性質(zhì). 學(xué)生可以對比概念圖發(fā)現(xiàn)差異，取長補短，良性競爭. 教師則能了解學(xué)生對這一階段學(xué)習(xí)內(nèi)容的掌握情況，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容.

圖7

圖8

四、總結(jié)和反思

概念圖有助于加深學(xué)生對概念的理解，構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò). 針對上文對概念圖的認(rèn)識，提出以下幾條教學(xué)建議.

1. 引入概念圖，激發(fā)興趣

概念圖促進有意義學(xué)習(xí)不是一蹴而就的. 教師需要在教學(xué)中引入概念圖，讓學(xué)生意識到概念圖對呈現(xiàn)知識的過程和內(nèi)容聯(lián)系的強大功能，從而激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造概念圖的興趣，推動學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探索性學(xué)習(xí)的進行. 同時，教師應(yīng)注意概念圖教學(xué)并不適合所有的課時內(nèi)容. 在合適的課堂內(nèi)容上使用概念圖才能達(dá)到事半功倍的效果，一味地沒有選擇地向?qū)W生推薦概念圖則會適得其反. 引入初期，教師可以選擇一些內(nèi)容簡單、結(jié)構(gòu)單一的概念圖，重點在于對概念圖組成成分和基本結(jié)構(gòu)的普及. 后期，可以在復(fù)習(xí)課上通過概念圖將已學(xué)的瑣碎的知識點整合在一起，讓學(xué)生直觀感受概念圖的優(yōu)勢，加深學(xué)生對知識的聯(lián)系，提高課堂質(zhì)量.

2. 理解概念圖，實踐運用

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行. 在學(xué)生了解概念圖的功能后，教師可以選擇合適的內(nèi)容，鼓勵學(xué)生創(chuàng)作概念圖. 例如，在課前預(yù)習(xí)或課后復(fù)習(xí)階段，可以以小組或個人為單位繪制概念圖. 不僅可以促進學(xué)生團隊合作意識，還能夠?qū)⒛X海中的知識網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出來，建構(gòu)知識體系. 這也是一個循序漸進的過程.教師可以先給出一些概念名詞，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解將這些概念整合到一張概念圖中，也可以給出一個上位概念，讓學(xué)生盡可能聯(lián)想與之相關(guān)的概念或聯(lián)系，繪制一張概念圖. 在這個過程中，學(xué)生會主動思考概念的含義，并厘清它們之間的聯(lián)系.

3. 反思概念圖，夯實提高

概念圖作為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)、創(chuàng)新意識和實踐能力的產(chǎn)物，需要教師及時給予評價，反過來促進學(xué)生的創(chuàng)作欲望，成為良性循環(huán). 并且，教師評估學(xué)生繪制的概念圖，可以掌握學(xué)生階段性的學(xué)習(xí)成果.教師根據(jù)概念圖的反饋可以及時調(diào)整教學(xué)計劃和教學(xué)進度，也能夠針對性地對每位學(xué)生提出學(xué)習(xí)建議，因材施教，深化課堂有意義的學(xué)習(xí)成分. 概念圖中錯誤和遺漏的聯(lián)系，是學(xué)生薄弱、不足之處，學(xué)生可以針對自己的問題復(fù)習(xí)鞏固，夯實基礎(chǔ).

總之，概念圖作為將內(nèi)在知識外顯的可視化工具，對教師的教和學(xué)生的學(xué)都起著積極的作用，有利于課堂教學(xué)雙主體的實現(xiàn). 教師應(yīng)該學(xué)會將概念圖引入數(shù)學(xué)課堂，充分挖掘?qū)W生潛在的能力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo).