斜逆洛朗級數(shù)環(huán)的弱McCoy性*

王堯，史葉萍，任艷麗

1. 南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 南京 210044

2. 南京曉莊學(xué)院信息工程學(xué)院，江蘇 南京 211171

1 (σ，δ)-SILS 右弱McCoy環(huán)的刻畫

以下，我們以nil(A)表示一個(gè)環(huán)A的所有冪零元素構(gòu)成的集合。

定義2設(shè)R是一個(gè)環(huán)，σ是R上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子，那么稱環(huán)R是一個(gè)線性(σ，δ)-SILS 右弱McCoy 環(huán)，如果對任意f(x) =a-1x-1+a0，g(x) =b-1x-1+b0∈R((x-1；σ，δ)){0}且滿足f(x)g(x) = 0，則存在非零元c∈R使得aixic∈nil(R((x-1；σ，δ)))，其中i，j∈{0，- 1}.

易見，(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)一定是線性(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)；(σ，δ)-SILS右McCoy環(huán)一定是(σ，δ)-SILS 右弱McCoy 環(huán)。但反過來未必成立（見例1）。當(dāng)R((x-1；σ，δ))是約化環(huán)（沒有非零的冪零元）時(shí)，兩者相同。

例1設(shè)R是一個(gè)約化環(huán)，令S=T2(R)表示R的2階上三角矩陣環(huán)，則S是(1，0)-SILS右弱McCoy環(huán)，但不是(1，0)-SILS右McCoy環(huán)。

證明 根據(jù)下面的定理2知S是(1，0)-SILS右弱McCoy環(huán)。令

推論1設(shè)R是一個(gè)約化環(huán)，Mn(R)表示R上的n階矩陣環(huán)，其中n≥2. 則Mn(R)不是(1，0)-SILS 右弱McCoy環(huán)。

證明 文獻(xiàn)［8］的命題1.1 證明了Mn(R)不是冪級數(shù)右弱McCoy 環(huán)，可以類似證明Mn(R)不是負(fù)冪級數(shù)右弱McCoy環(huán)，再由引理1，Mn(R)更不是(1，0)-SILS右弱McCoy環(huán)。

例2設(shè)R是一個(gè)環(huán)，Tn(R)表示R的n階上三角矩陣環(huán)，則Tn(R)是負(fù)冪級數(shù)右弱McCoy 環(huán)，但Tn(R)不是負(fù)冪級數(shù)右McCoy環(huán)。

證明 根據(jù)文獻(xiàn)［8］的例1.1，可以同理證得。

所以，S不是負(fù)冪級數(shù)弱Armendariz 環(huán)。根據(jù)文獻(xiàn)［8］的例1.2，知Tn(S)不是負(fù)冪級數(shù)弱Armendariz 環(huán)，因此也不是一個(gè)（1，0）-SILS弱Armendariz環(huán)。

若一個(gè)環(huán)R是(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)，下面考慮它關(guān)于環(huán)同構(gòu)是否封閉。

命題2設(shè)R是一個(gè)環(huán)，σ是R上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子。設(shè)S為一個(gè)環(huán)且存在環(huán)同構(gòu)γ：R→S，則R是(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)S是(γσγ-1，γδγ-1)-SILS右弱McCoy環(huán)。

證明 令σ′=γσγ-1，δ′=γδγ-1. 易得σ′是環(huán)S上的自同構(gòu)，下證δ′是S的一個(gè)σ′-導(dǎo)子。對任意a，b∈S，由

知δ′是S的一個(gè)σ′-導(dǎo)子。

下證當(dāng)R是(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)時(shí)，S是(γσγ-1，γδγ-1)-SILS右弱McCoy環(huán)。

推論3設(shè)R是一個(gè)環(huán)，σ是R上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子。e∈R是一個(gè)中心正則冪等元且滿足σ(e) =e，δ(e) = 0，則下列命題等價(jià)：

（i）R是一個(gè)(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)；

（ii）eR（Re）是一個(gè)(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)；

（iii）(1 -e)R（R(1 -e)）是一個(gè)(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)。

證明 （i）?（ii） 因?yàn)閑∈R是中心的，所以eR=Re，再由命題3即證。

文獻(xiàn)［11］給出了弱-相容的概念。設(shè)σ是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài)，如果對于任意a，b∈R，ab∈nil(R) ?aσ(b) ∈nil(R)，就稱σ是弱-相容的。如果環(huán)R存在一個(gè)弱-相容的自同態(tài)σ，則稱環(huán)R是弱σ-相容的。設(shè)δ是一個(gè)σ-導(dǎo)子，如果對于任意a，b∈R，ab∈nil(R) ?aδ(b) ∈nil(R)，則稱環(huán)R是弱δ-相容的。如果一個(gè)環(huán)R既是弱σ-相容的又是弱δ-相容的，則稱R為弱(σ，δ)-相容環(huán)。我們在文獻(xiàn)［10］中將弱(σ，δ)-相容環(huán)的部分性質(zhì)進(jìn)行了推廣，得到以下結(jié)論。

引理3[10］若R為弱(σ,δ)-相容環(huán)，則有

（i）ab∈nil(R) ?σm(a)σn(b) ∈nil(R)，對任意m，n∈Z.

（ii）ab∈nil(R) ?σm(a)δs(b)，δt(a)σn(b) ∈nil(R)，對任意m，n∈Z，s，t∈N.

定理1設(shè)R是弱(σ，δ)-相容環(huán)且nil(R)是冪零理想，那么以下結(jié)論成立且是等價(jià)的：

（i）R是(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)。

證明 結(jié)論成立是顯然的，下證兩個(gè)命題是等價(jià)的。

（i）?（ii）設(shè)f(x)，g(x)是滿足（ii）中要求的冪級數(shù)。因?yàn)镽是(σ，δ)-SILS 右弱McCoy 環(huán)，則一定存在0 ≠c∈R滿足aixic∈nil(R((x-1；σ，δ))). 根據(jù)文獻(xiàn)［10］的命題3 可得aixic∈nil(R) ((x-1；σ，δ))，再由文獻(xiàn)［10］的命題4，有aic∈nil(R).

（ii）?（i）已 知 存 在 非 零 元c∈R滿 足aic∈nil(R)， 對 任 意i≤m. 那 么 根 據(jù) 引 理3， 有aixic∈nil(R) ((x-1；σ，δ))，再由文獻(xiàn)［10］的命題4得到aixic∈nil(R((x-1；σ，δ))).

一個(gè)環(huán)R稱為NI環(huán)，如果nil(R) = Nil*(R)，其中Nil*(R)表示R的上詣零根（R的所有詣零理想的和）。R是NI環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)nil(R)是R的理想當(dāng)且僅當(dāng)R/Nil*(R)是約化環(huán)。關(guān)于NI環(huán)的更多性質(zhì)可見文獻(xiàn)［12］。

推論4設(shè)R為NI 環(huán)且是弱(σ，δ)-相容的環(huán)，對左、右零化子有升鏈條件或R是左（右）Goldie 環(huán)，或?qū)硐胗猩湕l件，或R有右Krull維數(shù)時(shí)，則R是(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)。

證明 當(dāng)環(huán)R對左、右零化子有升鏈條件或R是左（右）Goldie 環(huán)，或?qū)硐胗猩湕l件，或R有右Krull維數(shù)時(shí)，nil(R)是冪零理想，則由定理1可得R是(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)。

設(shè)R是一個(gè)環(huán)，σ是R上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子。我們稱環(huán)R的一個(gè)理想I為σ-理想（σ-不變理想），若σ(I) ?I（σ(I) =I）；稱I為δ-理想，若δ(I) ?I. 若I既是σ-理想（σ-不變理想）又是δ-理想，就稱I是一個(gè)(σ，δ)-理想（(σ，δ)-不變理想）。

文獻(xiàn)［5］給出了q-量子化導(dǎo)子的概念：設(shè)δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子，如果存在q∈R使得qσδ=δσ，就稱δ是一個(gè)q-量子化σ-導(dǎo)子［5］。

引理4[5］設(shè)R是一個(gè)環(huán)，σ是R上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)R的一個(gè)q-量子化σ-導(dǎo)子，其中q是環(huán)R的一個(gè)中心可逆元且滿足σ(q) =q，δ(q) = 0. 如果I是R的一個(gè)冪零(σ，δ)-不變理想，則I((x-1；σ，δ))是R((x-1；σ，δ))的一個(gè)冪零理想。

命題4設(shè)R是一個(gè)環(huán)，σ是R上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)R的一個(gè)q-量子化σ-導(dǎo)子，其中q是環(huán)R的一個(gè)中心可逆元且滿足σ(q) =q，δ(q) = 0. 只要I是R的一個(gè)冪零(σ，δ)-不變理想，就有I是(σ，δ)-SILS 右弱McCoy環(huán)。

2 (σ，δ)-SILS右弱McCoy的擴(kuò)張

證明 與命題5類似可證。

推論6設(shè)R是一個(gè)環(huán)，σ是環(huán)R上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子，e∈R是一個(gè)中心冪等元。如果eR和(1 -e)R都是(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)，那么R是(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)。

證明 因?yàn)閑是R的中心冪等元，由于R=eR⊕(1 -e)R，那么根據(jù)推論5，R是(σ，δ)-SILS 右弱Mc-Coy環(huán)。

文獻(xiàn)［13］介紹了環(huán)R[D，C]的相關(guān)概念。設(shè)D是一個(gè)環(huán)，C是D的一個(gè)子環(huán)且包含單位元1，R[D，C]={(d1，d2，…，dn，c，c，…)|di∈D，c∈C，n∈Z+}，則該集合關(guān)于分量的加法和乘法構(gòu)成環(huán)。因此若環(huán)D上定義了一個(gè)自同構(gòu)σ和σ-導(dǎo)子δ，則可延拓成σˉ，δˉ：R[D，C]→R[D，C]，

推論7設(shè)D是一個(gè)環(huán)，σ是環(huán)D上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)D的一個(gè)σ-導(dǎo)子，C是D的一個(gè)冪零(σ，δ)-不變理想，則D是一個(gè)(σ，δ)-SILS右弱McCoy環(huán)可推出R[D，C]是一個(gè)(σˉ，δˉ)-SILS右弱McCoy環(huán)。

上述矩陣有以下包含關(guān)系：T(R，n) ?Sn(R) ?Tn(R). 再用T(R，R)表示環(huán)R通過R的平凡擴(kuò)張，其中加法定義為：(a，b) +(c，d) =(a+c，b+d)，乘法為(a，b)*(c，d) =(ac，ad+bc). 易見，T(R，R)與S2(R)同構(gòu)。

如果環(huán)R上定義了自同構(gòu)σ和σ-導(dǎo)子δ，那么σ，δ可以延拓到Tn(R)，Sn(R)，T(R，n)或T(R，R)上：σˉ((aij)) =(σ(aij))，δˉ((aij)) =(δ(aij)).

定理2設(shè)R是一個(gè)環(huán)，σ是環(huán)R上的一個(gè)自同構(gòu)，δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子，則S是一個(gè)(σˉ，δˉ)-SILS 右弱McCoy環(huán)，其中S為Tn(R)，Sn(R)，T(R，n)，T(R，R)中任意一個(gè)環(huán)。(dij)2= 0，即(dij) ∈nil(Tn(R((x-1；σ，δ)))). 于是有

因而S是(σˉ，δˉ)-SILS右弱McCoy環(huán)。

文獻(xiàn)［14］介紹了n階斜上三角矩陣環(huán)Tn(R，α). 設(shè)R是一個(gè)環(huán)，α是R的自同態(tài)且滿足α(1) = 1.Tn(R，α)中元素為上三角矩陣，加法為一般矩陣的加法，乘法滿足：Eijr=αj-i(r)Eij，i≤j. 即若A=(aij)，B=(bij) ∈Tn(R，α)，AB=C=(cij)，則cij=aiibij+ai，i+1α(bi+1，j)+ … +aijαj-i(bjj).Tn(R，α) 有 下 列 子 環(huán)：S(R，n，α)表示主對角線元素相同的矩陣構(gòu)成的環(huán)，T(R，n，α)表示所有主、次對角線上元素相同的矩陣構(gòu)成的環(huán)，以及

本文中關(guān)于(σ，δ)-SILS 右弱McCoy環(huán)的結(jié)論對(σ，δ)-SILS 左弱McCoy環(huán)同樣成立，更進(jìn)一步地，對(σ，δ)-SILS弱McCoy環(huán)仍然成立。