夏順雷 李 軍,2 柳貢慧 楊宏偉 羅 鳴 李文拓
(1.中國石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院 2.中國石油大學(xué)(北京)克拉瑪依校區(qū)石油學(xué)院 3.中海石油(中國)有限公司湛江分公司)
目前井筒壓力預(yù)測多為通過建立模型模擬計算獲得[1-6],模擬計算井筒摩阻壓降的計算至關(guān)重要。為了準(zhǔn)確地計算摩阻壓降,在模型建立時考慮要全面,在模型計算時輸入?yún)?shù)要能準(zhǔn)確描述井下工況。已有學(xué)者針對不同的井筒摩阻壓降影響因素建立了多種井筒壓力預(yù)測模型,如O.ERGE等[7]建立了考慮鉆柱旋轉(zhuǎn)、偏心和屈曲井筒壓力預(yù)測模型,李軍等[8]研究了橢圓井眼中的井筒壓力計算模型,岳湘安等[9]建立了考慮巖屑的井筒流動模型。上述模型雖然在建模過程中考慮了不同的影響因素,但是無法確保模型計算過程中的相關(guān)參數(shù)能夠準(zhǔn)確描述井下工況,導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果與實際井筒壓力仍可能有較大誤差。此外,由于上述模型考慮因素多,實際計算過程中需要占用大量時間和空間,求解效率不高。
隨著隨鉆井下數(shù)據(jù)傳輸技術(shù)的發(fā)展,井底壓力、溫度和鉆壓等井下數(shù)據(jù)能夠及時傳輸?shù)骄赱10-14],使得根據(jù)井下數(shù)據(jù)實時調(diào)整井筒壓力成為可能。在鉆井過程中,井筒流動是復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)。對井筒壓力預(yù)測模型的相關(guān)參數(shù)值進(jìn)行實時校正,會顯著提高模型對系統(tǒng)描述的準(zhǔn)確性。目前,可以校正模型參數(shù)的方法有很多,如卡爾曼濾波技術(shù)和最小二乘法[15]。最小二乘法需要在不斷地存儲測量值的同時處理數(shù)據(jù),適合事后分析??柭鼮V波參數(shù)可以實時調(diào)整,且不需要存儲大量的測量值,計算過程相對高效,適合井筒壓力預(yù)測模型的實時校正。然而,卡爾曼濾波算法最初是為線性模型開發(fā)的,無法處理非線性的井筒模型。近年來,一種適用于強非線性模型的濾波算法被開發(fā)出來,即無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)算法。無跡卡爾曼濾波是無跡變換(Unscented Transform,UT)與標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波的結(jié)合,通過無跡變換使標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼體系適用于非線性模型。UKF算法提出后,已經(jīng)有多位學(xué)者將其成功運用于井下工況判定、井筒流量校正和旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向等方面,并取得了良好的效果[16-19]。但是,目前鮮有學(xué)者研究UKF算法在井筒壓力校正中的應(yīng)用。
因此,筆者通過將UKF算法與井筒內(nèi)壓力計算模型相結(jié)合,建立了一種新的井筒壓力實時校正模型。分別使用自設(shè)數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行仿真驗證,結(jié)果顯示該模型能夠?qū)矇毫M(jìn)行實時校正,且計算結(jié)果具有較高的精度。
建立校正模型的重點在于UKF算法與井筒壓力計算模型的結(jié)合。為此,在井筒壓力計算模型的建立過程中需做以下假設(shè):
(1)井眼垂直,不考慮井斜和方位角變化;
(2)鉆井液流體在井筒內(nèi)為一維軸向流動;
(3)井筒內(nèi)流動為單相流動;
(4)不考慮軸向傳熱。
鉆井作業(yè)中,任意一點井筒壓力由井口回壓、靜液柱壓力和摩阻壓降3部分組成。其中,井口回壓可以由壓力表直接測量,靜液柱壓力和摩阻壓降需要通過相關(guān)模型計算得到,其計算模型為:
(1)
式中:p為井筒壓力,Pa;T為井筒溫度,℃;h為井深,m;ρL(p,T)為當(dāng)前溫度壓力條件下鉆井液密度,kg/m3;g為重力加速度,m/s2;pc為井口回壓,Pa;dpf為摩阻壓降梯度,Pa/m。
ρL(p,T)=ρ0exp[4.331 7×10-10(p-p0)-
1.999 9×10-18(p-p0)2×
4.733 8×10-4(T-T0)-
1.378 3×10-6(T-T0)2]
(2)
式中:ρ0為地面溫度壓力條件下鉆井液密度,kg/m3;p0為地面壓力,MPa;T0為地面溫度,℃。
由式(2)可以看出,想要計算不同井深處鉆井液密度,需要得到井筒溫度。鉆井過程中,井筒與地層構(gòu)成了一個復(fù)雜的熱交換系統(tǒng)?;跓崃W(xué)第一定律,可以獲得地層和井筒傳熱模型:
(3)
式中:qm為質(zhì)量流量,kg/s;Cp為鉆井液比熱容,J/(kg·℃);λ為傳熱系數(shù),W/(m·℃);r為距井眼軸線距離,m;z為井眼軸向距離,m;S為熱源項,J;t為鉆井液循環(huán)時間,s。
對于鉆井液流動產(chǎn)生的摩阻壓降梯度,采用式(4)[22]計算:
(4)
式中:Dhy為水力半徑,m;f為范寧摩阻系數(shù),無量綱;v為鉆井液流速,m/s。
上述模型為鉆井液密度、井筒溫度、井筒壓力三者耦合的井筒壓力模型。使用有限差分法對模型進(jìn)行求解,在每個時間步中,首先求解井筒溫度,再通過鉆井液密度隨溫度、壓力的變化模型求解井筒壓力。模型的具體離散過程和求解方法可以參考文獻(xiàn)[23]。
準(zhǔn)確計算摩阻壓降能夠顯著提高井筒壓力計算精度。然而,影響摩阻壓降的因素較多,想要獲得較高精度的摩阻壓降十分困難。而且由于環(huán)空內(nèi)井徑變化、鉆柱旋轉(zhuǎn)與偏心以及井壁摩阻系數(shù)的變化等不確定因素較多,進(jìn)一步增加了環(huán)空摩阻壓降計算難度[24]。為提高井筒環(huán)空摩阻壓降計算精度,本文在摩阻壓降計算模型中引入摩阻校正因子C,計算公式如式(5)。摩阻校正因子可由UKF反演算法求解。
(5)
所謂反演,就是利用狀態(tài)量和觀測量的函數(shù)關(guān)系,以觀測量為已知參數(shù),在一定估計準(zhǔn)則條件下,得到所需狀態(tài)量的最優(yōu)估計值。因此參數(shù)的反演本質(zhì)上是最優(yōu)化估計方法的一種應(yīng)用[25]??柭鼮V波是最優(yōu)化估計領(lǐng)域的一個里程碑式的研究成果,被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)中。為了將卡爾曼濾波理論應(yīng)用于非線性系統(tǒng),Julier等[26]通過在卡爾曼濾波技術(shù)中引入無跡變換算法,將非線性系統(tǒng)中參數(shù)值的非線性傳遞轉(zhuǎn)化為線性傳遞,開發(fā)出無跡卡爾曼濾波技術(shù)。
將摩阻系數(shù)作為狀態(tài)量,使用UKF反演算法求解式(5)時,還需一個對摩阻校正系數(shù)有影響的控制體邊界附近或邊界處的觀測量,如PWD測量值。可確定UKF反演計算的狀態(tài)量和觀測量分別為:
狀態(tài)量:
xk=C(k)
(6)
觀測量:
zk=pw(k)
(7)
式中:x、z分別為狀態(tài)量和觀測量符號;k表示k時刻,無量綱;C(k)為k時刻摩阻系數(shù),無量綱;pw(k)為k時刻井底測量壓力,Pa。
對于井筒壓力反演校正模型,在狀態(tài)量和觀測量確定后,與之對應(yīng)狀態(tài)方程和觀測方程如下:
狀態(tài)方程:
xk=xk-1+uk-1
(8)
觀測方程:
(9)
式中:uk為系統(tǒng)噪聲,協(xié)方差為Q;vk為測量噪聲,協(xié)方差為R。
無跡卡爾曼濾波過程主要包含2個步驟(循環(huán)步):狀態(tài)更新(預(yù)測步)和測量更新(校正步)。本文針對式(8)和式(9)描述的非線性系統(tǒng),利用UKF算法反演校正井筒壓力的一個循環(huán)步。在計算過程中需要給定摩阻校正系數(shù)的初始值,即狀態(tài)量的初始值x0。初始值的選取對初始校正結(jié)果影響較大,隨著校正次數(shù)增加,初始值對校正結(jié)果的影響將迅速減小。UKF反演計算的一個循環(huán)步如下:
(1)求初始時刻狀態(tài)量x0的統(tǒng)計值:
(10)
(2)對于k-1(k∈N*)時刻,利用UT變換,計算一組Sigma點及對應(yīng)權(quán)重:
Sigma點:
(11)
(12)
權(quán)重:
(13)
(3)狀態(tài)預(yù)測:由k-1時刻的Sigma點集和狀態(tài)方程預(yù)測k時刻狀態(tài)量的Sigma點集,并計算加權(quán)均值和協(xié)方差。
xi,k∣k-1=xi,k-1+uk-1i=0,1,2
(14)
(15)
(16)
(4)測量更新:由k時刻狀態(tài)量的Sigma點集和觀測方程計算k時刻觀測量的Sigma點集,并計算加權(quán)均值和協(xié)方差。
ρL(p,T)v2dh+vki=0,1,2
(17)
(18)
(19)
(20)
(5)計算卡爾曼增益矩陣:
(21)
(6)狀態(tài)量和協(xié)方差更新:
(22)
(23)
圖1 井筒壓力校正流程圖Fig.1 Flow chart of wellbore pressure correction
為分析并驗證模型對井筒壓力的校正效果,本文給出2個計算實例。其中算例1使用了合成的井底壓力數(shù)據(jù),用于分析反演算法的可行性;算例2使用了來自某高溫高壓井井底PWD實測數(shù)據(jù),用于驗證模型實際校正效果。
本文重點為UKF和水力學(xué)模型的反演計算,因此并未對UKF參數(shù)做特殊的優(yōu)化。算例中UKF三個相關(guān)參數(shù)設(shè)置為:α=0.1,β=2,κ=2。此外,模擬計算過程中系統(tǒng)噪聲和測量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差分別設(shè)置為0.05和0.000 2,對應(yīng)反演模型中系統(tǒng)噪聲和測量噪聲協(xié)方差矩陣分別為Q=0.052,R=0.000 22。
模擬井井身結(jié)構(gòu)參數(shù)和部分鉆井參數(shù)如圖2所示。為驗證井筒壓力反演校正算法對井下復(fù)雜工況的適應(yīng)性,設(shè)定2 000~3 000 m井段為縮徑段,摩阻校正系數(shù)變大;4 000~6 000 m井段為擴徑段,摩阻校正系數(shù)減小;其他井段摩阻校正系數(shù)隨井深增加而增加。模擬井摩阻校正系數(shù)隨井深的變化見圖3。將摩阻系數(shù)設(shè)定值帶入式(5)和式(9),可得到鉆進(jìn)過程中的井底壓力數(shù)據(jù),即觀測量。此外,在模擬過程中,為避免離散后的井筒溫壓模型維度過大,確定離散后的網(wǎng)格長度為5 m。因此,反演計算過程中,井深每延伸5 m,對摩阻系數(shù)進(jìn)行一次反演計算。
圖2 模擬井井身結(jié)構(gòu)參數(shù)和鉆進(jìn)參數(shù)Fig.2 Hole structure and drilling parameters of simulated well
圖3 井筒摩阻校正系數(shù)設(shè)定值Fig.3 Set value of wellbore friction correction coefficient
圖4展示了摩阻校正系數(shù)反演值與設(shè)定值隨井深的變化。由圖4可知,初始校正時刻,即1 500 m處,反演計算得到的摩阻校正系數(shù)波動劇烈,且與設(shè)定值差別較大。隨著井深的不斷延伸,反演次數(shù)逐漸增加,模型計算得到的摩阻校正因子波動減緩,且逐漸靠近設(shè)定值。圖5展示了反演計算相對誤差隨井深的變化。由圖5可以看出,1 500~2 000 m反演校正初始井段,模型計算結(jié)果相對誤差較大;2 000 m后,模型計算結(jié)果相對誤差逐漸減小,最終穩(wěn)定在0.02%以內(nèi)。
圖4 反演計算結(jié)果Fig.4 Inversion calculation results
此外,由圖4和5可以看出,在擴徑段和縮徑段,尤其是2 500 m和5 000 m摩阻校正系數(shù)設(shè)定值突然變化處,摩阻校正系數(shù)反演值相對誤差變大。這是由于在擴徑段和縮徑段摩阻校正系數(shù)的設(shè)定值變化較快,導(dǎo)致反演計算得到結(jié)果精度下降。雖然反演計算得到的摩阻校正系數(shù)在擴徑段和縮徑段精度有所下降,但是仍較接近摩阻校正系數(shù)設(shè)定值,誤差不超過0.02%。
圖6展示了不同井深處環(huán)空摩阻壓降。由圖6可以看出:隨著井深增加,環(huán)空摩阻壓降不斷增大;摩阻壓降未校正值越來越偏離真實值,井底偏差最大,約為2.6 MPa。校正后的摩阻壓降值雖在校正初始階段有一定程度的波動,但始終與真實值十分接近。圖7展示了不同井深處井底壓力值。由圖7可以看出,隨著井深不斷增加,未校正的井底壓力值逐漸偏離真實值,而校正后的井底壓力值始終與真實值接近。
圖6 不同井深處環(huán)空摩阻壓降Fig.6 Annulus friction pressure drop with different well depth
圖7 不同井深處井底壓力Fig.7 Bottom hole pressure with different well depth
通過模擬井相關(guān)計算,由圖6、圖7可以看出,建立的基于UKF算法的井筒壓力反演校正模型不僅能夠較準(zhǔn)確的計算出井下摩阻校正系數(shù),而且能夠根據(jù)井下情況實時調(diào)整計算結(jié)果。將反演得到的摩阻校正系數(shù)帶入井筒壓力計算模型,可以提高井底壓力預(yù)測精度。
本算例數(shù)據(jù)來自某油田鉆井實例。數(shù)據(jù)包含四開鉆井過程中4 190~4 512 m段井底壓力和排量數(shù)據(jù)。井深每延伸1 m,相關(guān)數(shù)據(jù)被更新記錄一次,見圖8和圖9。該井三開套管外徑244.50 mm,壁厚11.99 mm,套管鞋深4 172 m,頂深0。四開采用的鉆井液密度為2.35 g/cm3,PWD測點距離井底4.25 m。鉆頭和鉆桿數(shù)據(jù):鉆頭直徑215.90 mm;鉆桿外徑127.00 mm,內(nèi)徑88.26 mm。
圖8 4 190~4 512 m實測井底壓力圖Fig.8 Measured bottom hole pressure at 4 190~4 512 m
圖9 4 190~4 512泵排量Fig.9 Pump displacement at 4 190~4 512 m
設(shè)置模擬計算網(wǎng)格長度為1 m,井深每延伸1 m進(jìn)行一次反演計算。摩阻校正系數(shù)初始值設(shè)定為1.2,反演結(jié)果如圖10~圖13所示。由圖10和圖11可以看出:在反演計算初始階段,隨著反演次數(shù)增加,摩阻校正系數(shù)線性增大,校正后PWD處壓力快速向?qū)崪y數(shù)據(jù)靠攏;當(dāng)井深超過4 400 m,即反演次數(shù)超過200次后,摩阻校正系數(shù)穩(wěn)定在9.0左右,校正后PWD處壓力值比較接近PWD實測壓力數(shù)據(jù);未校正的PWD處壓力與PWD實測壓力差別較大。由圖11可以看出:本文建立井筒壓力反演校正模型還能校正PWD無法直接測量的井底壓力。由圖12可以看出:未校正PWD處壓力相對誤差超過4%;校正后PWD處壓力相對誤差隨著反演次數(shù)的增加逐漸減小,在摩阻校正系數(shù)穩(wěn)定后相對誤差小于1%。圖13為井深4 500 m時裸眼段井筒壓力剖面。由圖13可以看出,利用摩阻校正系數(shù)計算得到的井筒壓力剖面更加接近PWD實測壓力。
圖10 摩阻校正系數(shù)計算結(jié)果Fig.10 Calculation results of friction correction coefficient
圖11 井底壓力計算結(jié)果Fig.11 Calculation results of bottom hole pressure
圖12 PWD處計算誤差Fig.12 Calculation error at PWD
圖13 4 500 m時井筒壓力剖面Fig.13 Wellbore pressure profile at 4 500 m
為進(jìn)一步體現(xiàn)摩阻校正系數(shù)在井筒壓力預(yù)測中的作用,將計算得到的摩阻校正系數(shù)帶入井筒壓力計算模型,用于預(yù)測變排量測試過程中井筒壓力。變排量測試現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)見表1,計算結(jié)果見圖14。由圖14可以看出:未校正的PWD處壓力值與PWD實測值相差3 MPa左右,而利用摩阻校正系數(shù)計算得到的PWD處壓力與真實值相差小于0.5 MPa,顯著提高了井筒壓力預(yù)測精度。
表1 變排量實測數(shù)據(jù)Table 1 Measured data in variable pump displacement test
圖14 變排量過程中井筒壓力Fig.14 Wellbore pressure in variable pump displacement test
綜上,在實際鉆井過程中,通過UKF反演模型能夠?qū)崟r反演得到不同井深處摩阻校正系數(shù),利用摩阻校正系數(shù),能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測鉆井過程中井筒任意點的壓力和任意時刻的井筒壓力剖面,彌補井下測量工具只能進(jìn)行單點測量的不足。校正后的井筒壓力精度受校正次數(shù)影響較大。本文模擬計算條件下,當(dāng)反演校正次數(shù)超過200次后,反演得到的摩阻校正系數(shù)趨于穩(wěn)定,計算結(jié)果相對誤差小于1%。
本文將無跡卡爾曼反演算法引入到井筒壓力預(yù)測模型中,建立了基于無跡卡爾曼濾波的井筒壓力的實時校正模型。通過模擬井和實例井對模型進(jìn)行分析、驗證,該模型具有以下特點:
(1)使用基于UKF的井筒壓力反演校正模型不僅能夠計算出井下摩阻校正系數(shù),而且能夠根據(jù)井下情況實時調(diào)整計算結(jié)果。
(2)利用反演得到的摩阻校正系數(shù)不僅能夠提高井底壓力預(yù)測精度,還能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測鉆井過程中井筒任意點的壓力值和任意時刻的井筒壓力剖面,從而彌補井下測量工具只能進(jìn)行單點測量的不足。
(3)校正后的井筒壓力精度受校正次數(shù)影響較大。在本文實例井模擬計算條件下,當(dāng)反演計算次數(shù)超過200次后,反演得到的摩阻校正系數(shù)趨于穩(wěn)定,計算結(jié)果相對誤差小于1%。