指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)學(xué)歷案專題復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐
——以“函數(shù)奇偶性、單調(diào)性求解不等式”為例

耿 幸

(上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)，上海 201812)

深度學(xué)習(xí)是指在理解的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判地學(xué)習(xí)新思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中，做出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)開(kāi)展深度學(xué)習(xí)是培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要途徑，通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程和學(xué)習(xí)材料，從教師主導(dǎo)課堂走向?qū)W生主導(dǎo)課堂，教師為學(xué)生提供思考和知識(shí)學(xué)習(xí)的素材，幫助學(xué)生挖掘知識(shí)內(nèi)容，學(xué)生在課堂中全程參與、提升能力、發(fā)展素養(yǎng)

深度學(xué)習(xí)主要有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

1深度學(xué)習(xí)遵循學(xué)習(xí)者身心發(fā)展和科學(xué)認(rèn)知規(guī)律深度學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)是基于教育教學(xué)規(guī)律、心理學(xué)、腦科學(xué)等科學(xué)設(shè)計(jì)并展開(kāi)的學(xué)習(xí)活動(dòng)開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程中，不管是學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)環(huán)境等各方面的因素都必須和學(xué)習(xí)者的年齡、身心發(fā)展水平及認(rèn)知能力相符合，這是深度學(xué)習(xí)的前提

2深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者深入理解學(xué)習(xí)對(duì)象學(xué)習(xí)者對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行全面深入的理解是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的核心學(xué)習(xí)者深入理解問(wèn)題本身，就能在后續(xù)的問(wèn)題處理中分析解決并完成對(duì)知識(shí)的自主建構(gòu)

3深度學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)的遷移應(yīng)用學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象產(chǎn)生的深刻認(rèn)識(shí)可以使知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生正向遷移，并對(duì)學(xué)習(xí)者的實(shí)踐活動(dòng)產(chǎn)生積極影響

學(xué)歷案教學(xué)能夠促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，它是在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效手段學(xué)歷案是指教師在班級(jí)教學(xué)背景下，圍繞一個(gè)具體的學(xué)習(xí)單位(主題、課文或單元)，從期望“學(xué)會(huì)什么”出發(fā)，設(shè)計(jì)并展示“學(xué)生何以學(xué)會(huì)”的過(guò)程，以便于學(xué)生自主建構(gòu)或社會(huì)建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)及知識(shí)的專業(yè)方案這個(gè)角度是以學(xué)生為本，教師自己設(shè)計(jì)學(xué)生從哪些方面來(lái)學(xué)會(huì)東西，并有相應(yīng)的評(píng)價(jià)任務(wù)教師基于課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)情，設(shè)計(jì)合理的、吸引學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)的、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的學(xué)習(xí)方案,通過(guò)設(shè)置合理的課堂情境，讓學(xué)生投入學(xué)習(xí)、真實(shí)學(xué)習(xí)教師通過(guò)學(xué)歷案引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)框架，更加關(guān)注學(xué)生“怎么學(xué)”“學(xué)會(huì)什么”學(xué)歷案中明確深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)，讓學(xué)生感受知識(shí)學(xué)習(xí)的意義與價(jià)值；創(chuàng)設(shè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境，誘導(dǎo)學(xué)生的興趣或思考；設(shè)置指向?qū)W科核心素養(yǎng)、有意義的任務(wù)；強(qiáng)調(diào)多感官參與，提供合作、探究、展示與交流的機(jī)會(huì)；選擇真實(shí)情境，強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用，開(kāi)展表現(xiàn)性評(píng)價(jià)；設(shè)計(jì)學(xué)后反思的路徑，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成反思學(xué)習(xí)的習(xí)慣，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的“深度學(xué)習(xí)”

下面以“函數(shù)奇偶性、單調(diào)性求解不等式”為例談高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課學(xué)歷案的實(shí)踐與思考

【學(xué)習(xí)主題】函數(shù)奇偶性、單調(diào)性求解不等式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1能熟練運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性來(lái)解決一些不等式問(wèn)題

2體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決抽象函數(shù)不等式中的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

【評(píng)價(jià)任務(wù)】1回答問(wèn)題1，完成探究1、探究2(檢測(cè)目標(biāo)1)

2回答思考1、思考2、思考3，回答問(wèn)題2，完成探究3(檢測(cè)目標(biāo)2)

【教學(xué)過(guò)程】

(一)課前準(zhǔn)備

1復(fù)習(xí)：函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的圖像特征是什么？

2回顧以下兩題的解題思路：

(2)已知函數(shù)=()是定義在上的奇函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)+=2019時(shí)，恒有()+(2019)>()成立，則的取值范圍是________

設(shè)計(jì)意圖：教師利用最近學(xué)生完成的試卷中出現(xiàn)的問(wèn)題引入，比較具有針對(duì)性，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)情感，這樣的設(shè)計(jì)為本節(jié)課的自然引入提供契機(jī)

(二)課堂學(xué)習(xí)

問(wèn)題1：如果已經(jīng)知道函數(shù)的奇偶性，那么這個(gè)函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性有什么特征？

學(xué)生活動(dòng)：思考，并說(shuō)出自己的想法

1如果()是奇函數(shù)，則()在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性

2如果()是偶函數(shù)，則()在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)對(duì)以往所學(xué)知識(shí)的抽象概括，鍛煉了數(shù)學(xué)抽象能力，以及提升了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

探究一：已知函數(shù)部分解析式，如何結(jié)合函數(shù)奇偶性求解不等式？

1設(shè)函數(shù)()是定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)∈(0,+∞)時(shí)，()=lg，則滿足()>0的的取值范圍是____________

變式1：設(shè)函數(shù)()是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，若當(dāng)∈(0,+∞)時(shí)，()=lg，則滿足()>0的的取值范圍是____________

變式2：設(shè)函數(shù)()是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，若當(dāng)∈(0,+∞)時(shí)，()=lg，則滿足(-1)>0的的取值范圍是____________

思考1：能否從代數(shù)運(yùn)算的角度來(lái)解決這道題呢？

問(wèn)題2：在處理有關(guān)利用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性求解不等式的問(wèn)題時(shí)，有哪些基本解題思路呢?

學(xué)生:主要有兩種思路：一種是利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)的大致圖像來(lái)進(jìn)行求解；另一種是利用函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)的解析式，再進(jìn)行求解第一種方法明顯簡(jiǎn)單一點(diǎn)，也比較好操作

變式3：設(shè)函數(shù)()是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，若當(dāng)∈(0,+∞)時(shí)，()=lg，則滿足(-1)>1的的取值范圍是____________

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)通過(guò)對(duì)原題進(jìn)行變式，循序漸進(jìn)地向?qū)W生拋出一個(gè)接一個(gè)的問(wèn)題，深度挖掘利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性求解不等式的方法，分解了本課的難點(diǎn)

探究二：抽象函數(shù)問(wèn)題中，如何利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式？

教師：通過(guò)二次函數(shù)的最值可以發(fā)現(xiàn)+1,-2+2都位于[1,3]上，此時(shí)只需要借助單調(diào)性求解即可，避免了大量的冗余計(jì)算當(dāng)然最后對(duì)于這幾個(gè)不等式的解求交集運(yùn)算，這個(gè)是我們需要注意的

思考2：在處理這些問(wèn)題中利用了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的哪些特點(diǎn)？

如果()是偶函數(shù)，當(dāng)∈[0,+∞)時(shí)，()為增函數(shù)，則()≥()可推出||≥||；

如果()是偶函數(shù)，當(dāng)∈[0,+∞)時(shí)，()為減函數(shù)，則()≥()可推出||≤||

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)注重滲透特殊到一般，猜想到證明的數(shù)學(xué)思想，教師在教學(xué)過(guò)程中要注意引導(dǎo)具體求解過(guò)程讓學(xué)生自己完成，教師及時(shí)鼓勵(lì)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主觀能動(dòng)性

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

思考3：例3和例1、例2有了一定的區(qū)別，不等式右邊已經(jīng)變成了一個(gè)常數(shù)，能否用之前的解題思路來(lái)進(jìn)行解決呢？

當(dāng)∈(0,+∞)時(shí)()<0?0<<1；當(dāng)∈(-∞,0)時(shí)，()>0?-1<<0，可得本題答案選D

變式1：已知函數(shù)()是定義在上的奇函數(shù)，且在(-∞，0]上為單調(diào)增函數(shù)若(-1)=-2，則滿足(2-3)≤2的的取值范圍是________

變式2：已知函數(shù)()是定義在上的偶函數(shù)，且在(-∞，0]上為單調(diào)增函數(shù)若(-1)=-2，則滿足(2-3)≤-2的的取值范圍是________

4已知函數(shù)()是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)∈(0,+∞)時(shí)，()=2-3，則不等式()≤-5的解集為_(kāi)_______

變式：已知函數(shù)()是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)≥0時(shí)，()=+若()+(-)<4，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)通過(guò)不斷地對(duì)解題方法的提煉、總結(jié)和完善，加深學(xué)生對(duì)于本知識(shí)點(diǎn)解題方法的理解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于問(wèn)題舉一反三的能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)生在邏輯推理等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

探究三：如果一些關(guān)于函數(shù)的問(wèn)題沒(méi)有明確指出函數(shù)性質(zhì),該如何解決這樣的問(wèn)題？

A.>B.>||

教師：同學(xué)們太棒了！我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)不等式問(wèn)題，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性來(lái)尋找解題的突破口，是一個(gè)非常不錯(cuò)的選擇

其中能使()>()恒成立的條件序號(hào)是________

教師：本題的解題難點(diǎn)就在于(0)=0，這是對(duì)的取值范圍的一個(gè)限制，另外要注意在完全平方開(kāi)根號(hào)時(shí)一定要加上絕對(duì)值符號(hào)，避免出現(xiàn)錯(cuò)解的情況

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)通過(guò)對(duì)前面一系列問(wèn)題的處理，加深了對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的理解，訓(xùn)練了學(xué)生的自學(xué)能力，以及學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

(三)課后檢測(cè)：配套練習(xí)

【學(xué)后反思】

回顧所學(xué)內(nèi)容，對(duì)于利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性求解不等式這一類問(wèn)題，你有什么心得體會(huì)？能否總結(jié)出相關(guān)解題思路，并記錄下來(lái)？你還有什么好的想法愿意和大家分享？

二、高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課學(xué)歷案實(shí)踐的思考

1深度學(xué)習(xí)提升專題復(fù)習(xí)課教學(xué)效率

作為專題復(fù)習(xí)課，由于知識(shí)點(diǎn)密集、信息量大，教學(xué)形式枯燥，大多數(shù)學(xué)生只是麻木地記住相關(guān)題型的求解方法而去生搬硬套，根本不去理解其發(fā)生過(guò)程，這樣的淺層學(xué)習(xí)非常不利于學(xué)生思維深度性和活躍性的訓(xùn)練，難以真正地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)教師通過(guò)一個(gè)具有針對(duì)性的引入或者挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)問(wèn)題就會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和熱情教學(xué)中，教師如果采取適當(dāng)?shù)姆椒?，注意啟發(fā)引導(dǎo)，不以自己的想法代替學(xué)生的想法，不是簡(jiǎn)單地告訴他們?nèi)绾翁幚眍愃茊?wèn)題，而是引導(dǎo)學(xué)生積極參與知識(shí)形成的關(guān)鍵點(diǎn)處的討論、交流等活動(dòng),幫助學(xué)生將已有的知識(shí)遷移到新的情境中，并解決問(wèn)題，同時(shí)讓學(xué)生及時(shí)總結(jié)知識(shí)獲得過(guò)程中的思想方法，那么這樣的深度學(xué)習(xí)必然能夠促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，幫助學(xué)生獲得全面發(fā)展

2學(xué)歷案豐富專題復(fù)習(xí)課教學(xué)模式

新課程改革的教育教學(xué)精神強(qiáng)調(diào)的是發(fā)揮學(xué)生的主體性，教師應(yīng)該從課型上進(jìn)行改變，通過(guò)學(xué)歷案開(kāi)展討論、合作探究的學(xué)習(xí)方式能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性課堂上，教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生相互討論、合作探究，這樣能增進(jìn)彼此的親近感，消除學(xué)生的焦慮心理，使學(xué)生的主動(dòng)性得到了激發(fā)，使全班學(xué)生都獲得了成就感另外，在學(xué)歷案教學(xué)中，教師只起引導(dǎo)作用，把絕大部分課堂時(shí)間留給學(xué)生，將學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)效果釋放出來(lái)，課堂氣氛很輕松、熱烈，突出了學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，能夠促進(jìn)學(xué)生更加深入地挖掘知識(shí)內(nèi)涵，提升其學(xué)科整體素養(yǎng)

3學(xué)歷案促使教師專業(yè)發(fā)展

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生應(yīng)“通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”這實(shí)際上對(duì)我們教師提出了更高的要求：“教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者”因此，課堂教學(xué)不只是教會(huì)學(xué)生如何使用結(jié)論，更重要的是教會(huì)學(xué)生如何獲得結(jié)論另外新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有了更明確的要求，在實(shí)際的授課過(guò)程中也要注意對(duì)于思想方法的滲透，通過(guò)啟發(fā)、引導(dǎo)、歸納等多種形式來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

通過(guò)學(xué)歷案教學(xué)，教師可以扮演好“引導(dǎo)者”的角色對(duì)于一些“繁、難、舊”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，單純的、機(jī)械式的接受學(xué)習(xí)既無(wú)法體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的背景與應(yīng)用，也無(wú)法引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣那么，通過(guò)學(xué)歷案教學(xué)，教師可從學(xué)生已有的知識(shí)背景出發(fā)，設(shè)計(jì)合理的探究活動(dòng)，向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，同時(shí)獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而讓學(xué)生感覺(jué)到自己是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人

通過(guò)學(xué)歷案教學(xué)，教師可以扮演好“組織者”的角色無(wú)論過(guò)去還是現(xiàn)在，教師所面對(duì)的學(xué)生層次總有不同，知識(shí)背景，實(shí)際能力存在差異通過(guò)設(shè)計(jì)適合當(dāng)前學(xué)情的學(xué)歷案，教師可以組織好教學(xué)內(nèi)容及學(xué)習(xí)過(guò)程，提高教學(xué)有效性，真正地實(shí)現(xiàn)“因材施教”同時(shí)在現(xiàn)代技術(shù)的背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)中也出現(xiàn)了越來(lái)越多的新技術(shù)手段，這些都是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)手段的有益補(bǔ)充，如何用好這些手段，同樣需要教師用心將其整合到教學(xué)過(guò)程中，以期讓所有學(xué)生都能從中或多或少的有所收獲，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)

通過(guò)學(xué)歷案教學(xué)，教師可以扮演好“合作者”的角色在通過(guò)學(xué)歷案開(kāi)展教學(xué)的活動(dòng)中，教師的活動(dòng)與學(xué)生的活動(dòng)相互依存教師及時(shí)關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的變化，積極參與學(xué)生的小組活動(dòng)和集體思考活動(dòng)，與學(xué)生合作完成學(xué)習(xí)主題，同時(shí)能提高學(xué)生的合作意識(shí)

因此，在學(xué)歷案的實(shí)踐過(guò)程中極大地促進(jìn)了教師本身的專業(yè)發(fā)展