自然遞進(jìn)促生長(zhǎng)，核心素養(yǎng)有落實(shí)
——以“一次函數(shù)的圖像”第一課時(shí)為例

施燕芬

(浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋初級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 311208)

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和自然遞進(jìn)簡(jiǎn)介

目前培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)成為我國(guó)教育界的熱點(diǎn)，成為社會(huì)和教育者眼中深化課程改革、落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)的重要因素而學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)最終還是要落實(shí)在學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)上數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)在于會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界作為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要支點(diǎn)和主要渠道，課堂教學(xué)應(yīng)為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供助力

自然遞進(jìn)就是通過(guò)若干個(gè)相互聯(lián)系的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，按照一定的邏輯順序和形式形成學(xué)習(xí)知識(shí)鏈，對(duì)知識(shí)進(jìn)行“全方位，立體化，有層次”的整體性理解，促進(jìn)探究教學(xué)數(shù)學(xué)是生長(zhǎng)的，將自然遞進(jìn)的教學(xué)理念引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)助力學(xué)生個(gè)體生命的成長(zhǎng)；是邏輯連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)；是前后一致的數(shù)學(xué)教學(xué)；是關(guān)注學(xué)生生命成長(zhǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)

二、教學(xué)分析與設(shè)想

本節(jié)內(nèi)容選自浙教版八年級(jí)上第五章第四節(jié)第一課時(shí)，是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系、常量與變量、函數(shù)的表示方法及一次函數(shù)的概念等基礎(chǔ)上，對(duì)一次函數(shù)的圖像進(jìn)行的深入探究同時(shí)，本節(jié)課的內(nèi)容對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)有著借鑒作用本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)不僅要使學(xué)生了解一次函數(shù)的圖像是一條直線，更側(cè)重畫圖的生成過(guò)程、轉(zhuǎn)化等思想方法的提煉過(guò)程、圖像知識(shí)的升華過(guò)程因此為了有效落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，本課以一次函數(shù)的圖像探索為主線，從知識(shí)發(fā)生、發(fā)展上逐步引入、探索新知識(shí)，讓新知識(shí)逐步自然生長(zhǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法課程內(nèi)容的選擇要有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解，思考與探索”基于學(xué)生學(xué)情對(duì)教學(xué)內(nèi)容的分析，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體構(gòu)思，分步編排，將本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)做一次分解，其結(jié)構(gòu)如圖1所示

圖1

三、教學(xué)過(guò)程與說(shuō)明

【設(shè)計(jì)】

圖2

如圖2所示的是甲、乙兩人在一次賽跑中路程與時(shí)間的函數(shù)圖像你能從中獲取哪些信息？

根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：

(1)這是一次幾百米的賽跑？

(2)甲、乙兩人中誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)？

(3)乙在這次賽跑中的速度是多少？

【現(xiàn)場(chǎng)】

師：同學(xué)們，請(qǐng)根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題

生(眾)：這是100米的賽跑，甲先到達(dá)，乙的速度是8 m/s

師：從中還能得到哪些信息？

生1：甲跑得比乙快，甲比乙提前05 s到達(dá)終點(diǎn)

生2：甲跑完全程需12 s，乙跑完全程需125 s

師：很好！根據(jù)圖像我們能得到很多的信息參照?qǐng)D像甲，當(dāng)=3時(shí)，=25，這樣把自變量作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把函數(shù)作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)就得到點(diǎn)(3，25)，而當(dāng)=6時(shí)，=50，就得到點(diǎn)(6，50)……所有這些點(diǎn)就組成了這個(gè)函數(shù)的圖像今天我們就來(lái)探究一次函數(shù)的圖像

【教學(xué)說(shuō)明】

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上本環(huán)節(jié)的設(shè)置意在讓學(xué)生理解函數(shù)圖像的概念，感受函數(shù)圖像在日常生活中的應(yīng)用設(shè)計(jì)三個(gè)難度不大的小問(wèn)題，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)積極性的同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生“看圖說(shuō)話”的抽象能力的素養(yǎng)

【設(shè)計(jì)】

1自主探究——一次函數(shù)=2+1圖像的畫法

2小組合作——以六人小組為單位，交流探究過(guò)程

3課堂展示選擇有代表性的小組，要求小組派一名代表進(jìn)行匯報(bào)，同學(xué)提出疑問(wèn)

【現(xiàn)場(chǎng)】

(在學(xué)生自主探究，小組交流后)

師：如何畫一次函數(shù)=2+1的圖像？

生1：選擇5對(duì)自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，在坐標(biāo)系中描出5個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并將這5個(gè)點(diǎn)連線

師：選擇的這5個(gè)點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

生2：簡(jiǎn)單的點(diǎn)，整數(shù)點(diǎn)

師：還有別的要求嗎？

生3：的值對(duì)稱的，正數(shù)，負(fù)數(shù)和零，可以取=-2，-1，0，1，2

師(選擇性描出5個(gè)點(diǎn)后，見圖3)：一次函數(shù)的圖像畫好了嗎？

圖3

生4：沒(méi)有，還沒(méi)有連線

師：為什么要連線？

生4：因?yàn)檫€有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)也符合函數(shù)解析式

師：那怎么辦？

生4：再多取一些點(diǎn)，還可以取±3，±4，±5,…

師：很好，但橫坐標(biāo)1與2之間還有點(diǎn)嗎？

生(眾)：有！

師(借助幾何畫板，見圖4)：通過(guò)幾何畫板繪制這些點(diǎn)并觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生(眾)：在一條直線上

師(見圖5)：在12-13之間還有點(diǎn)嗎？再試試看放大、縮小，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生(眾)：也在同一直線上

圖4

圖5

師：如果在這條直線上取兩個(gè)點(diǎn)，如(-25，-4)，(4，9)，它們滿足什么關(guān)系？

生5：它們都在函數(shù)圖像上

師：滿足一次函數(shù)=2+1解析式的點(diǎn)(，)在它的圖像上，而圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都滿足一次函數(shù)的解析式，所以一次函數(shù)的圖像是一條直線

【教學(xué)說(shuō)明】

借助幾何畫板，通過(guò)增加點(diǎn)的方式，逐步逼近，感受一次函數(shù)的圖像是一條直線事實(shí)上，點(diǎn)追蹤的過(guò)程，就是驗(yàn)證圖像的完備性，即滿足解析式的點(diǎn)都落在函數(shù)的圖像上，同時(shí)進(jìn)一步在圖像上取點(diǎn)，來(lái)驗(yàn)證純粹性，即圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，深刻體會(huì)點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系本環(huán)節(jié)在設(shè)計(jì)的時(shí)候，教師放手讓學(xué)生動(dòng)手解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)把課堂真正回歸給學(xué)生的原則，真正做到了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣、小組合作的精神及模型觀念的素養(yǎng)

【設(shè)計(jì)】

已知一次函數(shù)=3與=-3+2

(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像

(2)求一次函數(shù)=3，=-3+2與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)

【現(xiàn)場(chǎng)】

(在學(xué)生畫完一次函數(shù)的圖像后)

師：怎么畫一次函數(shù)=-3+2的圖像？

生1：選幾個(gè)點(diǎn)，列表，描點(diǎn)，連線

師：我們是否可以更簡(jiǎn)潔地畫出這條直線呢？至少要描幾個(gè)點(diǎn)？為什么？

生2：至少兩個(gè)點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像是一條直線，而兩點(diǎn)確定一條直線

師：那么我們可以怎么簡(jiǎn)化畫一次函數(shù)圖像的方法？

生2：采用兩點(diǎn)作圖法，步驟依然是列表、描點(diǎn)、連線我選擇(1，-1)，(2，-4)

生3：我選擇(0，2)，(1，-1)畫圖

師(黑板上作圖)：很好，整點(diǎn)取值能方便作圖

師：大家再看，(0，2)這個(gè)點(diǎn)有什么特殊性？

生4：當(dāng)=0時(shí)，=2，而這是直線=-3+2與軸的交點(diǎn)

師：那么直線與軸有交點(diǎn)嗎？如果有，坐標(biāo)是什么？

師：請(qǐng)總結(jié)一下求一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法

師：總結(jié)得很到位！請(qǐng)繼續(xù)思考，根據(jù)一次函數(shù)的圖像，可得正比例函數(shù)=-3的圖像有何特點(diǎn)，在畫圖像時(shí)，你會(huì)怎么取點(diǎn)?

生6：圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線，與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)(0，0)，可以一個(gè)點(diǎn)取(0，0)，另一個(gè)點(diǎn)取(1，-3)

師：因此我們可以利用“兩點(diǎn)法”來(lái)優(yōu)化、簡(jiǎn)化一次函數(shù)圖像的畫法；可以直接利用函數(shù)的表達(dá)式求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)

【教學(xué)說(shuō)明】

由于有了環(huán)節(jié)二的過(guò)渡，又通過(guò)教師逐層追問(wèn)，學(xué)生自然得到畫一次函數(shù)的圖像只需“恰當(dāng)?shù)膬牲c(diǎn)”，即應(yīng)用兩點(diǎn)確定一條直線教師通過(guò)讓學(xué)生選取的不同的點(diǎn)，引出求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，讓學(xué)生深刻體會(huì)交點(diǎn)的意義及求法，培養(yǎng)了數(shù)據(jù)觀念的素養(yǎng)

【設(shè)計(jì)】一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是12 cm，一邊長(zhǎng)是cm

(1)求它的另一條邊長(zhǎng)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，以及的取值范圍

(2)畫出這個(gè)函數(shù)的圖像

【現(xiàn)場(chǎng)】

(學(xué)生作答，教師巡視并用平板拍照功能收集學(xué)生答題情況)出示如圖6所示的圖片

圖6

師：這兩個(gè)圖像一樣嗎？

生(齊)：不一樣！

生1：在實(shí)際情形中，因?yàn)椋急硎具呴L(zhǎng)，且0<<6，所以此時(shí)這個(gè)函數(shù)圖像就不能向兩端無(wú)限延伸了

師：你的思路很清晰，觀察很敏銳在實(shí)際情形中的一次函數(shù)圖像與一般的函數(shù)圖像具有差異性，在自變量的取值上條件有所限制，此時(shí)它是一條無(wú)端點(diǎn)的線段，是直線的一部分

【教學(xué)說(shuō)明】

課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，成功的教學(xué)不是讓學(xué)生帶著句號(hào)走出課堂，而是讓他們帶著感嘆號(hào)和新的問(wèn)號(hào)走出課堂環(huán)節(jié)四的設(shè)計(jì)是為了高階生成，預(yù)約精彩教師借助平板拍照功能，快速收集學(xué)生信息，通過(guò)比對(duì)教學(xué)，讓學(xué)生深刻地感受自變量的取值范圍對(duì)圖像的制約作用教師通過(guò)問(wèn)題的解決來(lái)內(nèi)化核心素養(yǎng)，讓學(xué)生推理能力的素養(yǎng)落地生根

【設(shè)計(jì)】

通過(guò)本節(jié)課的探討學(xué)習(xí)，你獲得了哪些新的知識(shí)？你認(rèn)為有哪些方面的進(jìn)步

【現(xiàn)場(chǎng)】

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些新的內(nèi)容，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下

生1：我知道了一次函數(shù)的圖像是一條直線，學(xué)會(huì)了用“兩點(diǎn)法”畫一次函數(shù)的圖像，還掌握了如何判斷一個(gè)點(diǎn)在不在一條直線上和如何求一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

生2：實(shí)際情形中的函數(shù)圖像的自變量的取值條件有時(shí)會(huì)受限制

師：同學(xué)們的回答很全面我們不妨從以下三個(gè)方面回顧：

(1)研究過(guò)程

(2)研究思路

(3)研究方法(數(shù)與形切換)

【教學(xué)說(shuō)明】

教師通過(guò)回顧一次函數(shù)圖像的全程學(xué)習(xí)和研究，以“自然遞進(jìn)”調(diào)動(dòng)認(rèn)知儲(chǔ)備，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，完成知識(shí)建構(gòu)，充實(shí)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考，提升核心素養(yǎng)

四、幾點(diǎn)思考

1自然遞進(jìn)促進(jìn)知識(shí)生長(zhǎng)

一次函數(shù)圖像的本質(zhì)是由無(wú)數(shù)多個(gè)滿足一次函數(shù)關(guān)系式的動(dòng)點(diǎn)組成的圖形為了讓學(xué)生真正地理解一次函數(shù)圖像的本質(zhì)，本節(jié)課設(shè)計(jì)兩個(gè)“遞進(jìn)”：

教學(xué)目標(biāo)遞進(jìn)：一是了解函數(shù)的圖像的概念通過(guò)生活現(xiàn)實(shí)中的例子，引入要研究的一次函數(shù)的圖像；二是就一次函數(shù)的圖像進(jìn)行點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、變量的對(duì)應(yīng)取值等要素的探究；三是對(duì)一次函數(shù)圖像的畫法進(jìn)行優(yōu)化、簡(jiǎn)化、深化和應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程遞進(jìn)：在確定教學(xué)目標(biāo)后，教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)都緊緊圍繞落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，力求找到更好、更優(yōu)、更深刻的方式方法，使核心素養(yǎng)“落地生根”以往的一次函數(shù)圖像的教學(xué)設(shè)計(jì)只注重結(jié)果，直接告訴學(xué)生畫函數(shù)圖像需經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線的過(guò)程,但學(xué)生并不清楚一次函數(shù)的圖像為什么是一條直線，為什么幾個(gè)點(diǎn)能代替無(wú)數(shù)點(diǎn)，為什么要順次連線因此在設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)二時(shí)，教師先讓學(xué)生自主嘗試，再合作交流，最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)同時(shí)，教師要借助現(xiàn)代多媒體技術(shù)，如幾何畫板，電子白板等，通過(guò)兩個(gè)點(diǎn)之間不斷增加點(diǎn)的方法，逐步逼近；所描的點(diǎn)也從有限到無(wú)限，從離散到密集，從特殊到一般，讓學(xué)生首次感受圖像整體的發(fā)展趨勢(shì)，見證圖像的生長(zhǎng)是連續(xù)的在環(huán)節(jié)三的設(shè)計(jì)上，教師以追問(wèn)“開路”，引導(dǎo)學(xué)生感悟畫一次函數(shù)的圖像用“兩點(diǎn)法”即可在環(huán)節(jié)四的設(shè)計(jì)上，教師讓學(xué)生進(jìn)一步感受生活中的函數(shù)圖像受自變量的制約教師在教學(xué)過(guò)程中以階梯式的問(wèn)題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生的視域從“樹木”走向“森林”

2核心素養(yǎng)催生高效課堂

隨著課改的深入，為了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)的確立和落實(shí)，我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須“化教學(xué)內(nèi)容為數(shù)學(xué)本質(zhì)，融生本理念于教學(xué)實(shí)踐，合核心素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)”教師要把學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的每個(gè)環(huán)節(jié)當(dāng)然，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并不是教師教出來(lái)的，而是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生在自主、合作、探究中，去思考、領(lǐng)悟、積累中獲得的因此，本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，每一環(huán)節(jié)落實(shí)一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)，落實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

總之，從“自然遞進(jìn)”的角度進(jìn)行教學(xué)，立意高，思想性強(qiáng)，數(shù)學(xué)味濃這樣的安排可以自然而又深刻地反應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，能更好地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鑄就出學(xué)生生命成長(zhǎng)的生長(zhǎng)性課堂，素養(yǎng)立意的生成性課堂，教學(xué)相長(zhǎng)的發(fā)展性課堂，學(xué)生思維提升的靈動(dòng)課堂