核心素養(yǎng)導(dǎo)向下概念教學深度化設(shè)計的五個方面
——以“橢圓的定義”概念教學為例

林生琴

(福建省同安第一中學，福建 廈門 361100)

眾所周知，一個數(shù)學概念的形成，特別是要在學生的大腦中生根，這無疑需要一個較長的心智過程但從教育的角度來說，某一數(shù)學概念在課堂上與學習者“第一次”相遇時，會發(fā)生什么？在那些關(guān)鍵之處，我們應(yīng)該如何去思考、設(shè)計我們的教學？由于“第一印象”太重要了，所以“概念教學”在很多教師的眼里、心里，都特別重視不過，因經(jīng)歷、素養(yǎng)和觀念的差異，在概念教學的課堂中，在我們彰揚個性建構(gòu)的同時，仍有許多值得反思的東西圍繞概念，以下兩個步驟對于進行有深度學習的數(shù)學教學很重要：

第一，厘清基本問題，講透概念基本問題是概念課的方向，是引導(dǎo)學生理解概念和其數(shù)學思維方式的關(guān)鍵，可操作性強數(shù)學概念是核心，展現(xiàn)了數(shù)學的主要觀點和思維方式，抽象性強教師應(yīng)該重視講透概念，厘清基本問題，重視數(shù)學教材和教師用書，高考考查方式及學情，帶領(lǐng)學生進行深理解

第二，設(shè)計研究路徑，實施精準教學教師在實際教學中，如果能夠探索出一種適合概念課的教學研究路徑是很有價值的一節(jié)概念課應(yīng)含有以下幾個部分：概念的引入—概念的生成—概念的剖析與辨析—相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別—概念的應(yīng)用實踐探索出一個比較通用的研究路徑是：提出問題—研究探討—概念形成—解決問題—應(yīng)用舉例—歸納總結(jié)

以橢圓的定義的概念教學為例，以落實數(shù)學核心素養(yǎng)為標，著手概念課教學的五個方面：概念的引入，概念的生成，概念的剖析與辨析，相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別，概念的應(yīng)用

一、概念的引入

概念課的教學，在我們以往的課堂上不夠重視傳統(tǒng)意義上的教學是一個概念，幾項注意，抓緊時間反復(fù)操練起來！舍不得花時間去搞清概念的源頭和背景，嚴重違背了我們新形勢下的《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》“課標”強調(diào)提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，發(fā)現(xiàn)問題往往比證明結(jié)論更重要，比刷更多的題更重要！

本章教材教學順序安排：橢圓—雙曲線—拋物線，它們有著“同構(gòu)”的研究內(nèi)容、過程及方法，概括起來就是按照類似“曲線的幾何特征—曲線的標準方程—通過方程研究曲線的性質(zhì)—應(yīng)用”的研究路徑，而且把橢圓作為本章的首學概念，是強調(diào)示范作用的典型性，更是注重它在基本方法和數(shù)學思想兩個方面的引領(lǐng)性，雙曲線和拋物線的研究路徑將通過類比橢圓來完成以下是橢圓概念的引入：

1創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

一天，老師往平靜的湖面上同時拋了兩顆石子，激起層層漣漪，只見兩組同心圓交織在一起，美妙之極心想：它們的交點都能構(gòu)成什么樣的圖形呢？(如圖1)

2動手試驗，引出概念

于是老師將該生活現(xiàn)象抽象成數(shù)學問題來研究，就得到了圖1，這個圖中都隱藏了哪些圖形呢？現(xiàn)在請同學們拿出手中的筆跟著老師操作：

第一步：如圖2中(1)的方法，涂黑任意選擇的一個曲邊菱形區(qū)域

第二步：將其對頂曲邊菱形區(qū)域如圖2(2)涂黑

(保證選取的對頂區(qū)域的方向一致)重復(fù)第二步驟，進行下一步操作……

你有什么發(fā)現(xiàn)呢？如果選擇左右型兩側(cè)對頂區(qū)域，生成的圖形如圖3(是橢圓)

圖1

圖2

圖3

二、概念的生成

問題1：這個涂黑曲線上的某一點(交點)到圓心和圓心的距離之和(計算半徑之和)是多少？

問題2：其他交點到兩圓心的距離之和是否都相等？

問題3：你能得出什么結(jié)論？(||+||=定值)

結(jié)論是：該曲線上的點到兩定點,的距離之和是個定值，也就是說橢圓上的點滿足到兩個定點,的距離之和為常數(shù)(并且大于兩定點之間的距離)

問題4：反過來，平面內(nèi)，到兩個定點，的距離之和為常數(shù)的點的軌跡是否就是橢圓呢？

具體操作：利用幾何畫板畫一線段，在線段上取一點，使得=，=，無論怎么動，+=，當移動點，再追蹤點的軌跡時，我們發(fā)現(xiàn)其軌跡就是一個橢圓！

問題5：由此，你能自己概括出橢圓的概念嗎？

【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)從生活現(xiàn)象中抽象出研究的對象——橢圓，體現(xiàn)了生活與數(shù)學的實際聯(lián)系筆者以活動為載體，讓學生在“做中學”數(shù)學，通過畫橢圓，了解橢圓上的點滿足什么共同特征，經(jīng)歷知識的形成過程，積累感性經(jīng)驗，又通過幾何畫板讓學生明白到兩定點的距離之和相等(大于||)的點的軌跡是橢圓，便于學生概括出橢圓的定義為了改變學生被動且單一的學習方式，讓他們自主思考和學習，教師給學生提供自主探索學習的機會，讓學生通過觀察發(fā)現(xiàn)，初步概括出橢圓的定義，培養(yǎng)學生抽象概括的數(shù)學核心素養(yǎng)

橢圓雖然是生產(chǎn)生活中常見的曲線，但對橢圓幾何特征的探究與發(fā)現(xiàn)是個難點，因為很難由橢圓的形狀想到橢圓的定義，為此，教材在用細繩畫圓的基礎(chǔ)上，通過分開細繩的兩端，畫出圖形，歸納圖形上點滿足的幾何條件：這個圖形上的點到兩個定點的距離的和是定值，進而將具有這種幾何特征的圖形定義為橢圓而筆者的這個設(shè)計使得在橢圓概念的教學中，更加注意畫圖、抽象、歸納、概括的完整過程讓學生在充分討論，用自己語言表述的基礎(chǔ)上，給出準確、嚴謹?shù)臋E圓定義，注意“平面內(nèi)”“定點”“距離的和”“常數(shù)”等關(guān)鍵詞，特別是“常數(shù)大于兩定點間的距離||”這一條件

三、概念的剖析與辨析

將抽象的數(shù)學概念予以規(guī)范、嚴謹?shù)慕缍ㄟ^程是新概念的概括的重要過程，是一個數(shù)學抽象的過程通常表述形式有純文字的，也有文字符號結(jié)合的，還有與圖形相結(jié)合的，也就是有文字語言，符號語言和圖形語言的三種表述形式如何概括出橢圓的概念，當然要借助圓的定義對比抽象得到教學中，在得出橢圓的定義后，教師可進一步追問：如果這個常數(shù)等于或小于||時，相應(yīng)的軌跡存在嗎？是什么？從而為后面的學習做好鋪墊在給出焦點、焦距、半焦距等概念后，教師還可向?qū)W生說明，這些概念都有“焦”字，說明在實際應(yīng)用中，這兩個點與光學有著緊密的聯(lián)系，進而向?qū)W生指出，隨著后續(xù)的學習，還會逐漸認識橢圓的光學性質(zhì)

圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡叫圓

教師引導(dǎo)學生從兩個方面概括：一是平面上點的軌跡，二是平面上的點符合什么條件其軌跡是圓(到定點的距離等于定長)

橢圓的定義也是條件式定義：(1)同樣是平面上點的軌跡；(2)平面上的點符合什么條件其軌跡是橢圓？和圓相比有什么不同？定點的個數(shù)發(fā)生變化，一個定點變兩個定點距離之和有條件限制

教師概括出定義并引導(dǎo)學生對定義中的關(guān)鍵詞進行分析理解:

(1)兩個定點，稱作焦點；

(2)兩焦點間距離稱作焦距2

(3)定長2、動點滿足||+||=2(大于||)

問題1：為何“常數(shù)”要大于兩定點間的距離呢？等于、小于又如何呢？(嘗試讓學生討論得出結(jié)論)

總結(jié)：當大于2時，軌跡是橢圓；當?shù)扔?時，軌跡是線段；當小于2時，軌跡不存在

【設(shè)計意圖】經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓概念的過程，掌握橢圓的定義，體會數(shù)學語言的嚴謹性，研究新概念的性質(zhì)是學習新概念之后的必要過程這些性質(zhì)是解決問題的有力工具

第2課時是對橢圓標準方程的認識，從形到數(shù)，應(yīng)抓住橢圓結(jié)構(gòu)特點這個形的認識，，，的幾何意義以及它們之間的關(guān)系本節(jié)針對培養(yǎng)學生的畫圖、識圖和析圖能力，聚焦關(guān)鍵問題，創(chuàng)設(shè)了一些可操作性強的學習思考任務(wù)

問題2：類比圓，觀察橢圓的形狀，它是軸對稱圖形嗎？它是中心對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？對稱中心位置在哪里？(學生容易得出兩條，分別交橢圓于,,,四點，稱為長軸，稱為短軸，和的交點即為橢圓的對稱中心，簡稱橢圓的中心)

問題3：平面上到兩個定點，的距離之和為定長2，以2為長度的線段在橢圓中是否能找到？以為長度的線段在橢圓中能否找到？

教師引導(dǎo)：||+||=2；||+||=2，||=2，||+||=2；||+||=2；||=||=||=||=||=||=

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)從橢圓的形狀和橢圓的定義，分析橢圓，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，概括出橢圓的部分簡單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學生識圖能力

數(shù)學的深度化學習應(yīng)重在以學生發(fā)展為中心，設(shè)計學生能夠解決的真正的數(shù)學問題這些環(huán)節(jié)是學生的“舞臺”，學生在自身認知的基礎(chǔ)上深度參與發(fā)現(xiàn)橢圓的結(jié)構(gòu)特征，并總結(jié)一部分橢圓的簡單幾何性質(zhì)的過程，是能夠激發(fā)學生的學習興趣的與此同時，學生和教師的一同參與促使了數(shù)學深度化學習的發(fā)生師生和生生間的深度交流合作，能夠引導(dǎo)學生反思，也有利于學生逐步內(nèi)化和遷移其學習數(shù)學的基本思路：曲線的幾何特征—曲線的標準方程—通過方程研究曲線的性質(zhì)—應(yīng)用

四、相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別

大部分是建立在已有概念的基礎(chǔ)之上重新去定義一個新概念將已學原有的概念與學生即將要學習的新概念進行類比，有助于學生將新概念納入其原有的認知系統(tǒng)中，這樣有利于學生形成整體知識結(jié)構(gòu)，又可以幫助學生理解數(shù)學概念的形成和發(fā)展過程所以，橢圓的概念教學就可以類比圓的標準方程這一節(jié)課的學習得到

已有概念具體內(nèi)容類比新概念圓的概念橢圓的概念圓的標準方程橢圓的標準方程圓的性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì)

平常的教學中，通常有兩種方式進行概念教學：一種是概念的同化，一種是概念的形成兩者的區(qū)別和優(yōu)勢是什么呢？

概念的同化是指在學習新概念時，教師用定義的方式向?qū)W生直接揭示，然后各種舉例應(yīng)用，從而達到讓學生能夠?qū)υ摱x有所認知和理解，掌握新的概念常用于同章節(jié)類似概念的教學，比如，學習完指數(shù)函數(shù)，再學習冪函數(shù)時，就可以類比指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)式定義給出冪函數(shù)的概念

概念的形成是指學生獲得新概念的方法，是從生活中具體的實例出發(fā)，通過觀察—提問—實驗—思考探究概括出新概念的本質(zhì)屬性數(shù)學核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，有深度地設(shè)計概念形成的教學是必然的發(fā)展趨勢在探究橢圓之后，學生就可以自己類比研究雙曲線：

第一步：選擇一個曲邊菱形區(qū)域，將其涂黑

第二步：選擇上下型對頂曲邊菱形區(qū)域，將其涂黑

重復(fù)第二步驟(注意選取的對頂區(qū)域的方向一致)進行下一步操作……

你發(fā)現(xiàn)了什么？

如果選擇上下型兩側(cè)對頂區(qū)域，生成的圖形又是何曲線呢？

布置課后思考可讓學生自主探究，加強學生的鉆研能力，而且為后面雙曲線及其標準方程的學習埋下伏筆

五、概念的應(yīng)用

學習新的概念目的在于應(yīng)用學習完橢圓的概念，類比圓的定義的應(yīng)用，讓學生在掌握橢圓的概念的基礎(chǔ)上，研究什么情況下點的軌跡是橢圓以及橢圓定義的代數(shù)形式，通過數(shù)形結(jié)合進一步探究橢圓的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)

圖4

1(引用教材)如圖4，圓的半徑為定長，是圓內(nèi)的一定點，為圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓周上運動時，點的軌跡是什么？為什么？(利用幾何畫板展示動點軌跡是個橢圓，然后讓學生嘗試證明)

此例題加深學生對橢圓概念的理解和應(yīng)用，用定義法判斷方程的軌跡

圖5

2如圖5，在圓+=4上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，點為射線上一點當點在圓上運動時，請思考如下幾個問題：

既然動點的軌跡是橢圓，那么你能否確定兩個定點也就是焦點位置？如何確定？結(jié)合橢圓的形狀以及軌跡方程的特點，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

①長軸長2,短軸長2，焦距2，你能得出,,的關(guān)系嗎？

②橢圓的方程有什么特征？

此例題鞏固用轉(zhuǎn)移代入法求動點軌跡方程的步驟，由數(shù)到形判定動點的軌跡是橢圓(教師幾何畫板展示)，并初步體會焦點在軸上的橢圓和焦點在軸上的橢圓在形和數(shù)上的區(qū)別,歸納出橢圓標準方程的特點，進一步引導(dǎo)學生認清橢圓方程和橢圓概念的聯(lián)系，培養(yǎng)學生作圖、識圖、用圖的能力

如何將橢圓定義代數(shù)化？

從例2出發(fā)，得到焦點在軸上和焦點在軸上橢圓定義的代數(shù)表示，課后思考如何將該代數(shù)式化簡成橢圓的標準方程

此例題用代數(shù)形式表示橢圓的概念，讓學生體會幾何與坐標的聯(lián)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想，降低難度，并且從例題中總結(jié)橢圓方程的特點，為下一節(jié)課推導(dǎo)橢圓的標準方程做鋪墊

筆者第一次設(shè)計本節(jié)課時，采用的是舊思路：動手操作，直觀感受橢圓—探究橢圓上的點有什么性質(zhì)—形成橢圓的概念—推導(dǎo)橢圓的標準方程—概念的應(yīng)用和熟悉橢圓的標準方程；第二次重新改了一個思路：動手操作，直觀感受橢圓—探究橢圓上的點有什么性質(zhì)—形成橢圓的概念—數(shù)形結(jié)合初步探究橢圓的簡單幾何性質(zhì)：平面上到兩個定點，的距離之和為定長2，以2為長度的線段在橢圓中是否能找到？以為長度的線段在橢圓中能否找到？例1和例2的設(shè)計主要是研究橢圓的其他生成路徑，初步讓學生對橢圓的代數(shù)表示有個潛意識的認知；例3的設(shè)計從特殊到一般，為推導(dǎo)橢圓的標準方程做一個鋪墊，降低了推導(dǎo)橢圓的標準方程的難度而且整章圓錐曲線的探究路徑基本保持一致，充分體現(xiàn)了單元整體設(shè)計的思想

六、引導(dǎo)學生深度學習的深度化教學策略

在高中數(shù)學課堂中真正引導(dǎo)學生深度學習的深度化教學設(shè)計，應(yīng)注重三個方面：

1聚焦關(guān)鍵問題——讓學生深理解

在實際教學中，教師應(yīng)該圍繞數(shù)學概念，進行深度分析教學要素，聚焦關(guān)鍵問題，有目的、有方向地進行設(shè)計，引導(dǎo)學生展開學習，從而提高學生自主學習的能力例如，筆者在設(shè)計“任意角”一課時，通過設(shè)計問題串，讓學生明白對角進行推廣的必要性

問1：若時鐘慢了5分鐘，該如何校準？

問2：若時鐘快了兩個小時，將它校準應(yīng)如何撥動分針？

問3：初中我們都學過哪些角？

問4：與我們分針轉(zhuǎn)動所形成的角有什么不同？

問5：720°是怎樣的一個角呢？現(xiàn)實生活中還有沒有這樣的角？

問6：解說員說的跳水運動員向內(nèi)翻騰三周半，旋轉(zhuǎn)的角度大小是多少?

2創(chuàng)設(shè)一定情境，激發(fā)學生的學習樂趣——讓學生深投入

要想揭示數(shù)學的本質(zhì)，教師就要努力設(shè)計符合學生認知的數(shù)學真問題，這是實現(xiàn)數(shù)學深度學習的標志

如“弧度制”一課中，筆者為了讓學生理解引入弧度制的必要性和合理性，設(shè)計了以下5個問題：

問題1：任意的°圓心角，弧長如何計算？

問題2：建立一個新的單位制，我們首先要做什么？(聯(lián)想角度制)

圖6

問題3：如圖6，∠是多少弧度？

問題3-1：弧度制下，如何求圓心角？

問題3-2：半徑的大小不同，∠的弧度數(shù)會改變嗎？

3概念課學習的基本思路——讓學生進行深遷移

橢圓概念的教學中，其基本思路就是畫圖—抽象—歸納—概括這個研究路徑同樣可以遷移到雙曲線和拋物線的學習中思考框架是一個大體思路，在這個思維框架下，學生能夠從最初的模仿，到嘗試理解和應(yīng)用，再逐步內(nèi)化，使學生掌握這個曲線學習的基本研究路徑，明確其思維方向，最終能夠提出問題，研究探討，解決問題，從而學會學習，能夠較好地自主學習，提高數(shù)學思維能力

新高考就是新課程教學的風向標，同時對數(shù)學教學提出了新要求直觀想象和數(shù)學抽象兩大核心素養(yǎng)的落實教會學生用數(shù)學的眼光看世界，邏輯推理和數(shù)學運算兩大核心素養(yǎng)教會學生用數(shù)學的思維分析世界，數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析兩大核心素養(yǎng)教會學生用數(shù)學的語言表達世界進行深度的概念教學設(shè)計如何將概念教學的五個方面緊密結(jié)合，有機滲透，真正讓數(shù)學六大核心素養(yǎng)落地，仍需要我們廣大一線教師去學習，去實踐，去探索，去研究