時(shí)滯反饋下高速磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

鄭 凱

（1.中國(guó)航發(fā)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)研究所，2.中國(guó)航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán)航空發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力傳輸重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室：沈陽(yáng) 110015）

0 引言

磁懸浮軸承具有轉(zhuǎn)速高、無(wú)需潤(rùn)滑、工作溫度范圍廣、可測(cè)可控性好等諸多優(yōu)點(diǎn)。作為航空多電發(fā)動(dòng)機(jī)的重要組成部分，各國(guó)研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者對(duì)其高度關(guān)注，并在其控制方法、動(dòng)力學(xué)分析和試驗(yàn)應(yīng)用等方面開(kāi)展了大量研究工作。最近的研究發(fā)現(xiàn)，一些在機(jī)電系統(tǒng)中常被忽略的微小時(shí)滯可能對(duì)高速運(yùn)轉(zhuǎn)的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生很大影響。這些時(shí)滯包括位移信號(hào)的采集、處理、轉(zhuǎn)換、控制算法在CPU中的運(yùn)算等過(guò)程所消耗的時(shí)間，以及執(zhí)行單元中功率放大器的飽和效應(yīng)和電磁鐵線圈中的渦流損耗和磁滯特性所產(chǎn)生的滯后效應(yīng)等，其量級(jí)為幾十微秒，在系統(tǒng)相對(duì)簡(jiǎn)單、時(shí)滯環(huán)節(jié)不多且對(duì)于系統(tǒng)動(dòng)力行為無(wú)嚴(yán)格限制的情況下，忽略其產(chǎn)生的效應(yīng)并無(wú)不妥。但考慮到航空發(fā)動(dòng)機(jī)等重要設(shè)備的高可靠性要求，對(duì)于工作在苛刻條件下的復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)，其設(shè)計(jì)技術(shù)和控制理論研究必須構(gòu)筑在更加嚴(yán)密的體系框架之下，進(jìn)一步的探索也必須認(rèn)真考慮時(shí)滯的作用。

目前對(duì)于磁懸浮軸承時(shí)滯問(wèn)題的研究已經(jīng)引起了一些關(guān)注。Wang等討論了1個(gè)含有輸入時(shí)滯的單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分岔問(wèn)題，利用中心流形約化和范式方法討論了Hopf分岔的方向及分岔周期解的穩(wěn)定性；Jiang等在其基礎(chǔ)上著重研究了當(dāng)系統(tǒng)特征方程有1個(gè)零特征根和1對(duì)純虛根的情形，給出了完整的穩(wěn)定性分岔分析；Ji等研究了由PD反饋控制的簡(jiǎn)單Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時(shí)滯問(wèn)題，證明了較小的時(shí)滯依然可以影響系統(tǒng)的非線性響應(yīng)，又將研究擴(kuò)展到較復(fù)雜的2自由度徑向轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。上述研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)滯超過(guò)1個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)，會(huì)發(fā)生Hopf分叉，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)由平衡點(diǎn)解轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的周期解；而當(dāng)時(shí)滯未達(dá)到關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)，其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響可以忽略。值得注意的是，以往的研究大多關(guān)注于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)靜止或低速轉(zhuǎn)動(dòng)下的平衡點(diǎn)解，對(duì)其產(chǎn)生影響的時(shí)滯數(shù)量級(jí)可能在毫秒級(jí)，對(duì)于機(jī)電控制系統(tǒng)的時(shí)滯一般是在微秒級(jí)，如此小的時(shí)滯對(duì)平衡點(diǎn)解的影響幾乎可以忽略不計(jì)。而在實(shí)際應(yīng)用中，電磁軸承所支撐的轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)于高速狀態(tài)下，且由于轉(zhuǎn)子偏心的存在，其運(yùn)動(dòng)的固有解為受迫振動(dòng)的周期解，即使是微秒級(jí)時(shí)滯，也可能與轉(zhuǎn)子高速渦動(dòng)的周期數(shù)量級(jí)接近，進(jìn)而可能對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響。

本文著重分析了微小時(shí)滯對(duì)于高速轉(zhuǎn)子受迫振動(dòng)周期解的影響，利用數(shù)值方法討論了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期解隨時(shí)滯的變化規(guī)律以及穩(wěn)定性切換問(wèn)題。

1 磁懸浮軸承系統(tǒng)時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型

在實(shí)際中磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為2自由度剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如圖1所示，、方向上2對(duì)磁極對(duì)稱安裝。

圖1 2自由度電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

當(dāng)轉(zhuǎn)子處于幾何中心時(shí)，到電磁鐵的氣隙都為。為了建立磁場(chǎng)，同一自由度上兩側(cè)的電磁鐵線圈中通有相等的電流，稱為偏磁電流。以方向?yàn)槔?dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生偏移，則轉(zhuǎn)子與左側(cè)磁鐵之間的距離為+，與右側(cè)電磁鐵之間的氣隙為-。此時(shí)控制器輸出的控制電流為，依照差動(dòng)模式驅(qū)動(dòng)電磁鐵，則兩側(cè)磁極中的電流分別為+和-，保證將轉(zhuǎn)子拉回到平衡位置，在方向上2個(gè)磁極產(chǎn)生的電磁力F 為

式中：為電磁力常數(shù)；、分別為、方向上的位移。

將、方向自由度之間的幾何耦合效應(yīng)考慮在內(nèi)，則轉(zhuǎn)子在、方向上的動(dòng)態(tài)方程分別為

式中：為幾何耦合系數(shù)；為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；f 、f 分別為、方向上的偏心力，=sin（），=cos（）。

若控制器選用PD控制器，假設(shè)2個(gè)自由度控制回路中的時(shí)滯大小皆為，即控制器實(shí)際依照時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)來(lái)施加控制，則控制電流i和i可表示為

式中：為比例控制系數(shù)；為微分控制系數(shù)。

由于多尺度法等近似解析方法推導(dǎo)過(guò)程冗繁，所能處理問(wèn)題的維數(shù)較小，對(duì)于自由度較多且各自由度之間存在耦合的系統(tǒng)分析起來(lái)比較困難，因此本文采用厚度為時(shí)滯的龐加萊板打靶法，以考慮了極間耦合效應(yīng)的2自由度剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)其時(shí)滯動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究。

2 數(shù)值分析方法

本文借助文獻(xiàn)[14]中改進(jìn)打靶法的思想對(duì)磁懸浮軸承系統(tǒng)周期解的時(shí)滯問(wèn)題進(jìn)行研究，將求解系統(tǒng)周期解的過(guò)程轉(zhuǎn)化為求取“厚度為”的龐加萊板上的不動(dòng)弧，如圖2所示。

圖2 龐加萊板上的不動(dòng)弧

將時(shí)間區(qū)間[-,]分為-1個(gè)等距小區(qū)間，系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間[-,]內(nèi)的運(yùn)行弧線上可以分為個(gè)節(jié)點(diǎn)：

u =(+t ),t =-+(-1)/(-1),=1,2,,，取=[...u ]，定義為龐加萊映射算子，則系統(tǒng)可表示為龐加萊映射的形式

其中（）表示系統(tǒng)以（）為初始值經(jīng)歷1個(gè)龐加萊映射周期后的狀態(tài)，而求解系統(tǒng)（5）的周期解可以轉(zhuǎn)化為求取“厚度為”的龐加萊板上的不動(dòng)弧，不動(dòng)弧上的節(jié)點(diǎn)滿足*=(*)。

選取龐加萊板初始弧線上節(jié)點(diǎn)，對(duì)式（6）采用牛頓-拉普森迭代公式有

式中：為新的迭代節(jié)點(diǎn)；為單位方陣；()為龐加萊算子在處的雅可比矩陣。

取,分別為(),(-)的偏微分算子，式（7）中((),())可以通過(guò)微分方程組

采用數(shù)值積分法對(duì)1個(gè)龐加萊周期求積分獲得，即

將所求得的(),()代入式（7）計(jì)算出新的迭代點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代得到系統(tǒng)的周期解，迭代過(guò)程的流程如圖3所示。

圖3 迭代流程

經(jīng)過(guò)上述迭代過(guò)程，最終得到系統(tǒng)的周期解不動(dòng)弧上的1組節(jié)點(diǎn)*，同時(shí)求得龐加萊算子在*處的雅可比矩陣(*)。根據(jù)Floquet理論，矩陣(u *)的特征值即為所得周期解的Floquet乘子，且有：

（1）若Floquet乘子模的最大值小于1，系統(tǒng)周期解是穩(wěn)定的；

（2）若Floquet乘子模的最大值大于1，系統(tǒng)周期解是不穩(wěn)定的；

（3）若Floquet乘子模的最大值等于1，系統(tǒng)周期解處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

由此對(duì)所得周期解的穩(wěn)定性進(jìn)行判定。

3 數(shù)值分析結(jié)果

選取1個(gè)實(shí)際的電磁軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為研究對(duì)象，系統(tǒng)參數(shù)如下。

（1）轉(zhuǎn)子：質(zhì)量=9.6 kg，偏心距=0.02 mm。

（2）電磁軸承：=4 A，=0.4 mm，=8.63×10Nm/A，=0.16/。

（3）控制器參數(shù)：k =89280A/m，k =5A·s/m。

設(shè)定轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為25000 r/min，利用第2章中所描述的算法在不同時(shí)滯下進(jìn)行計(jì)算分析，系統(tǒng)周期解的振幅隨時(shí)滯的變化如圖4所示。從圖中可見(jiàn)，隨著時(shí)滯的延長(zhǎng)，振幅緩慢增大，時(shí)滯對(duì)于穩(wěn)定周期解振幅的影響并不明顯。

圖4 周期解振幅隨時(shí)滯的變化

不同時(shí)滯下計(jì)算出的模最大的Floquet乘子如圖5所示。從圖中可見(jiàn)，隨著時(shí)滯的延長(zhǎng)，F(xiàn)loquet乘子逐漸接近單位圓，當(dāng)時(shí)滯達(dá)到43μs時(shí)，以共軛復(fù)數(shù)方式穿出單位圓，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不再具有穩(wěn)定的周期解。

圖5 模最大的Floquet乘子

時(shí)滯分別為0、40.0、43.2、44.0μs時(shí)轉(zhuǎn)子的軸心軌跡如圖6所示。從圖中可見(jiàn)，隨著時(shí)滯的延長(zhǎng)，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)從穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)（圖6（a）、（b））轉(zhuǎn)變?yōu)楦胖芷谶\(yùn)動(dòng)（圖6（c）），而當(dāng)時(shí)滯達(dá)到44μs時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)（圖6（d））。

圖6 不同時(shí)滯下轉(zhuǎn)子的軸心軌跡

對(duì)于時(shí)滯在不同轉(zhuǎn)速下對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響的進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)速較低的情況下，引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)的時(shí)滯大小都在毫秒級(jí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于一般機(jī)電控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的時(shí)滯，而當(dāng)轉(zhuǎn)速升高至約18000 r/min時(shí)，失穩(wěn)時(shí)滯縮短至只有60μs。各轉(zhuǎn)速下的失穩(wěn)時(shí)滯如圖7所示。從圖中可見(jiàn)，隨轉(zhuǎn)速升高，能夠使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期解失穩(wěn)的時(shí)滯明顯縮短，說(shuō)明隨轉(zhuǎn)速的升高，微小時(shí)滯對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響也更為顯著。當(dāng)轉(zhuǎn)速升高到60000 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在時(shí)滯約為19μs的情況下就可能失穩(wěn)（如圖8所示），而如此短的時(shí)滯對(duì)于采用數(shù)字控制器的電磁軸承系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是難以避免的。

圖7 各轉(zhuǎn)速下的失穩(wěn)時(shí)滯

圖8 轉(zhuǎn)子軸心軌跡（ω=60000 r/min、τ=19μs）

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了時(shí)滯對(duì)于不平衡擾動(dòng)下磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子周期解的影響，結(jié)果表明，對(duì)于高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在控制反饋回路中即使存在微秒級(jí)的微小時(shí)滯，也可能對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響，使得動(dòng)態(tài)性能降低甚至失穩(wěn)；并且隨著轉(zhuǎn)速升高，時(shí)滯的影響更為顯著。

因此進(jìn)行高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)和控制時(shí)，需要考慮時(shí)滯的影響。目前對(duì)類(lèi)似于電磁軸承等復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)的時(shí)滯問(wèn)題的研究在國(guó)內(nèi)外均尚處于初級(jí)階段，對(duì)系統(tǒng)時(shí)滯的精確測(cè)算以及時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制等問(wèn)題還有待進(jìn)一步研究。