圓鋸片球-平面阻尼接頭的法向振動接觸特性分析

張明松，付少將，王宏

1三峽大學機械與動力學院；2水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室

1 引言

圓鋸片具有加工效率高和材料損耗率小等特點，被廣泛應用于各行各業(yè)中，是石材、木材和金屬等材料重要的加工工具。為追求更小的材料損耗率和更高的加工效率，圓鋸片的厚度越來越薄，轉(zhuǎn)速越來越高，從而降低了圓鋸片的穩(wěn)定性，進一步加劇了圓鋸片在鋸縫之間的振動，造成圓鋸片在切割工作時的噪聲顯著提高。噪聲來源于振動，研究圓鋸片的消音降噪機理就是研究其振動問題，因此研究圓鋸片的法向振動接觸特性具有重要意義。

國內(nèi)外學者對粗糙表面接觸特性進行了大量研究。Hertz H.[1]對兩個曲率半徑很小的彈性體的無黏著法向接觸問題進行了分析求解；Greenwood J.A.等[2]基于粗糙表面輪廓高度服從高斯分布的觀點，提出了統(tǒng)計分析平面的G-W接觸模型；Johnson K.L.等[3]推導出彈性體之間的黏著接觸理論——JKR理論；張學良等[4]以接觸分形理論為基礎，提出了機械結合面的法向接觸剛度分形模型；溫淑花等[5]建立了結合面切向接觸阻尼損耗因子的模型和等效黏性阻尼的分形模型，揭示了結合面切向接觸阻尼與法向接觸載荷等因素之間的非線性關系；田紅亮等[6]基于赫茲彈性理論和分形理論，根據(jù)微凸體變形特點以及嚴格區(qū)分彈、塑性變形，建立了一種微動結合部法向接觸修正加載分形模型。

基于以上研究現(xiàn)狀，本文以Hertz接觸理論為基礎，建立球-平面阻尼接頭法向振動接觸模型，從介觀角度對球-平面阻尼接頭的法向接觸特性進行分析研究，為具有類阻尼消音降噪特性的復合薄板圓鋸片的設計研究提供一定的理論基礎。

2 粗糙接觸界面分析

在實際接觸界面，由于加工精度的影響，阻尼接頭球-平面界面的接觸并非完全光滑，而是具有一定粗糙度，即球形微凸體表面和平面彈性薄板上有一系列高低不平的微凸體，表面形貌輪廓曲線如圖1a所示。當兩個粗糙表面接觸時，由于材料表面輪廓的粗糙不平度，阻尼接頭球形微凸體和平面彈性薄板的接觸面積僅占宏觀接觸面積的一小部分，且接觸點處易于發(fā)生應力集中，使應力值高于微凸體的屈服應力而引起微凸體的塑性變形。根據(jù)文獻[7]，可以將球-平面阻尼接頭界面接觸等效為一個光滑剛性球體與粗糙平面彈性薄板的接觸(見圖1b)。

(a)表面形貌輪廓曲線

在法向預加載荷的作用下，從宏觀角度來看，是整個平面彈性模板發(fā)生了變形；從介觀角度來看，是粗糙接觸界面上的微凸體發(fā)生了變形，微凸體發(fā)生的變形不盡相同，表現(xiàn)為彈性、彈塑性和塑性變形三態(tài)共存。如圖2所示，由于剛性球形微凸體的半徑遠大于粗糙表面上微凸體的曲率半徑，則可將阻尼接頭球形微凸體與平面彈性薄板的接觸面等效為剛性平面，將微凸體的頂部形狀等效為理想的球體，構建介觀尺度下微凸體與剛性平面的球-平面接觸模型。

圖2 介觀尺度下的微凸體-剛性平面接觸模型

用V-M函數(shù)表示接觸變形前的單個微凸體形貌[8]，有

z(x)=GD-1l2-Dcos(πx/l)

(1)

式中，G為分形粗糙度系數(shù)，決定著表面輪廓高度；D為分形維數(shù)，描述表面輪廓在所有尺度上的不規(guī)則和復雜程度，1

3 微凸體變形特性分析

3.1 彈性變形

單個微凸體的變形量δ在z(0)處求得，有

δ=GD-1l2-D=GD-1A′(2-D)/2

(2)

式中，A′為接觸微面積。

由圖2可得

(3)

式中，r為微凸體的曲率半徑。

微凸體的曲率半徑的幾何尺寸r遠大于微凸體頂端的變形量δ，則

(4)

將式(2)代入到式(4)中，可得

(5)

微凸體的曲率半徑與接觸微面積、材料表面的分形粗糙度系數(shù)和材料表面的分形維數(shù)有關，不能簡單地定為常數(shù)。微凸體的彈性臨界變形量δec為[9]

(6)

式中，k為最大接觸載荷因子，k=0.454+0.41v，v為泊松比；H為平面薄板的硬度；E′為等效彈性模量。

(7)

式中，E1，E2分別為平面彈性薄板與剛性球體的彈性模量。

將式(5)代入式(6)，可得微凸體的彈性臨界變形量為

(8)

式(2)除以式(8)，得

(9)

(10)

微凸體的實際彈性臨界面積Aec可以表示為

(11)

將式(10)代入式(9)，可得

(12)

當δ<δec時，微凸體的變形為彈性變形，根據(jù)Hertz接觸理論，可知微凸體的真實接觸面積Ae、法向接觸力PNe與微凸體的變形量δ的關系分別為

Ae=πrδ

(13)

(14)

將式(13)代入式(14)，可得微凸體彈性變形階段的法向接觸力與真實接觸面積的關系為

(15)

(16)

將式(5)和(16)代入式(15)，可得到微凸體彈性變形階段的法向接觸力與材料表面的分形粗糙度系數(shù)和材料表面的分形維數(shù)的關系為

(17)

3.2 彈塑性變形

微凸體的塑性臨界變形量δpc為[10]

δpc=110δec

(18)

將式(8)代入式(18)，可得

(19)

式(2)除以式(19)，得

(20)

(21)

微凸體實際塑性臨界面積Apc為

(22)

將式(21)代入式(20)，可得

(23)

當δec<δ<δpc時，微凸體發(fā)生彈塑性變形，既有彈性變形，又有塑性變形。當δ=δec時，微凸體逐漸屈服，塑性變形區(qū)域處在接觸面中心外的較小范圍內(nèi)，且被更大范圍的彈性變形區(qū)域包圍；當δ=δpc時，接觸面內(nèi)的彈性變形極少，絕大部分發(fā)生的是塑性變形。為了反映微凸體接觸的彈塑性變形階段的幾何形狀變化，引入極限平均壓強HG(A)[12]

(24)

式中，Aep為微凸體彈塑性變形階段真實接觸面積；σy為較軟材料的屈服強度。

ζ可表示為

(25)

(26)

微凸體彈塑性變形階段的法向接觸力PNep可表示為

PNep=HG(Aep)×Aep

(27)

將式(24)代入式(27)，可得

(28)

微凸體在彈塑性變形階段的接觸面積Aep可表示為[13]

(29)

將式(5)和式(26)代入式(29)，可得

(30)

將式(30)代入式(28)，可得

(31)

3.3 塑性變形

當δ>δpc時，微凸體的變形為塑性變形，微凸體的法向接觸力PNp、接觸面積Ap與微凸體的變形量δ的關系分別為

PNp=2πrδH

(32)

Ap=2πrδ

(33)

將式(2)和式(5)代入式(32)，可得到微凸體塑性變形階段的法向接觸力與材料表面的分形粗糙度系數(shù)和材料表面的分形維數(shù)的關系為

PNp=HAp=HA

(34)

可以看出，微凸體塑性變形階段接觸力與材料表面的分形粗糙度系數(shù)和材料表面的分形維數(shù)無關，只與材料的硬度和接觸的面積有關。

4 界面結合部的介觀靜態(tài)接觸特性

將微凸體接觸面的分布規(guī)律類比海洋島嶼的分布規(guī)律，可知[14]

(35)

式中，Am為微凸體最大的接觸面積。

作用于阻尼接頭球-平面接觸界面的法向總載荷FN由彈性總載荷FNe、彈塑性總載荷FNep和塑性總載荷共同組成，即

FN=FNe+FNep+FNp

(36)

由單個微凸體的法向接觸力和微凸體接觸面積的分布規(guī)律可得球-平面接觸界面法向接觸載荷的分布規(guī)律。當A>Aec時，球-平面界面接觸彈性總載荷為

(37)

將式(17)和式(35)代入式(37)，可得

(38)

當Apc

(39)

將式(31)和式(35)代入式(39)，可得

(40)

當A

(41)

式中，As為微凸體最小的接觸面積。

將式(34)和式(35)代入式(41)，可得

(42)

將式(38)、式(40)和式(42)代入式(36)，可得

(43)

(44)

(45)

(46)

5 介觀靜態(tài)接觸特性仿真

圖3 微凸體的三種變形區(qū)域分布

(a)

(a)

(a)

6 結語

基于Hertz接觸理論構建了微凸體-剛性平面法向振動接觸模型，推導出界面結合部淺表層力學特性的計算方法，并探究微凸體法向接觸載荷與接觸變形之間的關系，仿真分析了不同影響因素對法向接觸特性的影響規(guī)律，為圓鋸片的降噪研究提供了一定的理論基礎。

整個球-平面接觸載荷隨著接觸面積的增加而增加；接觸面積一定時，球-平面界面結合部的彈性載荷隨著分形粗糙度的增大呈非線性增大，并隨著分形維數(shù)的增大呈非線性減??；彈塑性載荷隨著分形維數(shù)的增大先減小后增大；塑性載荷隨著分形維數(shù)的增大而增大。