基于線性數(shù)據(jù)重構(gòu)的天線動力學模型辨識方法*

侯曉拯 許 謙 李 琳 易樂天 薛 飛 王 惠 許多祥 何飛龍

(1 中國科學院新疆天文臺烏魯木齊830011)

(2 中國科學院射電天文重點實驗室烏魯木齊830011)

(3 新疆射電天體物理實驗室烏魯木齊830011)

(4 新疆大學物理科學與技術學院烏魯木齊830046)

(5 中國科學院大學北京100049)

1 引言

射電望遠鏡天線的俯仰、方位傳動鏈, 作為望遠鏡伺服控制系統(tǒng)的主要被控對象, 常利用天線開環(huán)條件下的激勵與響應采樣數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識與建模. 傳統(tǒng)系統(tǒng)辨識方法有最小二乘估計、Kalman觀測器辨識法、Hankel子空間法、N4SID(Numerical Subspace State Space System Identification)法等[1–4],此類方法受限于線性假設,但辨識原理簡單, 通過辨識模型可以進一步求解系統(tǒng)的各類穩(wěn)定性判定參數(shù)與控制參數(shù), 在辨識低階線性模型時使用廣泛. 而針對非線性模型, 以上方法辨識階次較高. 近年來隨著神經(jīng)網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展,利用神經(jīng)網(wǎng)絡可以任意擬合各類線性、非線性的函數(shù)特性, 常見的如: 自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡、支持向量機等[5–6]也被用于控制系統(tǒng)的建模. 此類方法雖然建模精度高, 但隨著網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)增加訓練計算量隨之變大, 使用時需要較高的硬件成本, 如用于大口徑射電望遠鏡天線的運動預測,則計算時間超出了控制器運行的最大指令間隔. 首先, 射電望遠鏡在實際建模過程中, 由于望遠鏡服役現(xiàn)場的工況較為復雜, 采樣數(shù)據(jù)常受到各類環(huán)境噪聲或采樣設備內(nèi)部擾動的影響. 其次, 辨識工作還受到采樣設備性能限制, 如采樣頻率不足導致的高頻采樣噪聲, 混疊、量程不足導致的采樣飽和等[7]. 針對這些噪聲與影響, 常使用各類濾波器, 降低采樣數(shù)據(jù)的高頻噪聲[8–9]. 最后, 摩擦與回差等非線性特性也會導致采樣出現(xiàn)畸變, 致使采樣數(shù)據(jù)中出現(xiàn)高頻分量[10], 增加了模型辨識難度. 為降低非線性特性影響, 需要測量非線性特性并補償, 這也增加了系統(tǒng)辨識的工作量[11–12]. 若通過更高的模型階次或更多的神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)直接擬合系統(tǒng)特性, 又會增加模型的辨識難度與計算時間, 降低模型適用性.

數(shù)據(jù)重構(gòu)的方法多用于傳感器采樣, 機械臂插值等領域, 可在損失少量采樣數(shù)據(jù)原始特性的前提下盡可能消除噪聲與擾動的影響[13–15]. 本研究采用這一思路, 通過數(shù)據(jù)重構(gòu), 降低天線傳動鏈建模采樣中非線性特性對被控對象的影響.

本研究首先分析伺服控制系統(tǒng)非線性特性受到系統(tǒng)開環(huán)正弦激勵信號后的畸變及各類擾動來源[16–17]. 之后, 計算系統(tǒng)響應矩陣的Hankel矩陣奇異值, 預估系統(tǒng)辨識復雜度[18]. 最后, 利用線性數(shù)據(jù)重構(gòu)法, 降低系統(tǒng)辨識難度. 通過構(gòu)建受到典型非線性摩擦力與遲滯影響的半實物實驗平臺, 模擬天線特性, 以平臺實際采樣數(shù)據(jù)為基礎, 利用數(shù)據(jù)重構(gòu)法, 降低非線性特性對模型辨識的負面影響,建立僅包含少量節(jié)點的自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡模型, 驗證線性數(shù)據(jù)重構(gòu)方法的有效性.

2 非線性特性影響

射電望遠鏡天線伺服控制系統(tǒng)從內(nèi)到外通常分為力矩環(huán)、速度環(huán)與位置環(huán), 內(nèi)外環(huán)之間為積分關系. 以天線傳動鏈中常見的摩擦死區(qū)與遲滯環(huán)為例, 這兩種非線性特性常見于負載軸與軸承、減速機齒輪間. 若傳動鏈中有使用螺栓進行連接與緊固, 則螺栓也可以等價為摩擦與間隙的結(jié)合. 圖1中實線為正弦信號經(jīng)過死區(qū)與遲滯環(huán)節(jié)并積分后的波形, 虛線為線性波形. 通過對比可知, 信號受到非線性影響后, 出現(xiàn)了波形畸變, 幅值下降, 且波形斜率出現(xiàn)變化, 為信號帶來其他頻率的分量.

圖1 多種非線性特性Fig.1 Multiple nonlinear characteristics

為辨識系統(tǒng)模型, 常利用正弦掃頻信號作為激勵, 激發(fā)系統(tǒng)特性. 理想線性系統(tǒng)受迫振動的穩(wěn)定響應與激勵信號頻率相同, 若系統(tǒng)受到非線性特性影響, 根據(jù)非線性系統(tǒng)的受迫振動特性: (1)非線性受迫振動的響應為激勵頻率和次頻率的組合頻率;(2)幅值對應頻率的響應出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象, 可得出推論, 非線性系統(tǒng)激勵響應的幅頻關系將不再一一對應, 低頻響應將疊加高頻分量. 而此類分量, 并不源自系統(tǒng)外部擾動, 不應作為噪聲被濾除, 而應當作為動力學特性保留. 因此, 非線性特性不僅會影響天線伺服控制系統(tǒng)性能、降低系統(tǒng)精度、延長調(diào)節(jié)時間, 在對系統(tǒng)進行動力學模型辨識時, 若辨識方法基于開環(huán)激勵與響應數(shù)據(jù), 非線性特性對系統(tǒng)的辨識同樣具有負面影響. 根據(jù)模型辨識方法不同, 非線性特性會提高模型的辨識階次或網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)量, 增加模型辨識難度. 系統(tǒng)辨識模型的階次, 可通過計算系統(tǒng)激勵響應信號的Hankel矩陣奇異值預先評估. 計算公式如下:

其中矩陣A為通過系統(tǒng)響應序列重構(gòu)的Hankel矩陣, 每一條逆對角線上的元素都相等,U和V均為單位正交陣,Σ矩陣僅在主對角線上有非零值, 即為系統(tǒng)激勵響應奇異值. 可根據(jù)奇異值拐點, 預估模型階次[18].

若要降低采樣信號中的高頻分量, 需要測量系統(tǒng)中導致高頻分量的非線性特性并補償, 這將會較大地增加系統(tǒng)建模工作量. 與無人機、倒立擺等強非線性系統(tǒng)不同, 射電望遠鏡天線傳動鏈中的非線性特性來源主要為軸承、齒輪間的摩擦力死區(qū)、大慣量與負載形變導致的少量遲滯環(huán)節(jié), 在系統(tǒng)特性中不占主導地位. 因此, 可采用線性數(shù)據(jù)重構(gòu)的方式, 損失少量系統(tǒng)模型精度, 削弱非線性影響.

3 數(shù)據(jù)重構(gòu)

數(shù)據(jù)重構(gòu)是根據(jù)已有少量原始采樣數(shù)據(jù), 通過插值、擬合等方法, 增加可用數(shù)據(jù)的過程. 非線性特性會使模型階次的增加, 主要是由于改變了系統(tǒng)響應曲線的斜率. 非線性數(shù)據(jù)的線性重構(gòu), 即根據(jù)非線性系統(tǒng)響應信號的幅值、相位,重構(gòu)線性信號.

信號的幅值可通過取包絡的方式獲得. 包絡線是與目標曲線的每個頂點都有至少一點相切的曲線.

假設離散曲線為f(x,t), 則通過聯(lián)立以下的方程, 可求得曲線的包絡:

x為曲線某點的值,t為采樣時間. 然后構(gòu)造采樣頻率與實際激勵信號一致的單位正弦信號. 重構(gòu)正弦信號與實際采樣信號會存在相位差, 相位差可通過補零對齊. 最后, 將重構(gòu)正弦信號與包絡值逐點相乘, 獲得與原系統(tǒng)響應具有相同幅值、相位的線性重構(gòu)信號. 利用重構(gòu)的線性數(shù)據(jù), 可以通過較低的階次或較少的神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點辨識系統(tǒng)模型.

4 驗證實驗

通過搭建半實物實驗平臺, 模擬天線俯仰軸特性, 驗證線性重構(gòu)法的有效性, 該平臺受典型摩擦死區(qū)與遲滯影響. 如圖2所示, 平臺由伺服電機、81倍減速機、螺栓螺母緊固連接的桁架負載及安裝在負載一端的陀螺儀構(gòu)成. 電機轉(zhuǎn)速為0–1000 rpm, 可通過激勵信號控制電機轉(zhuǎn)速帶動負載旋轉(zhuǎn). 陀螺儀可測量負載一端的角速度, 量程±2000° ·s-1. 激勵信號為0–25 Hz的正弦掃頻信號,幅值為±1000 rpm, 陀螺儀采樣頻率為200 Hz.

圖2 半實物實驗平臺Fig.2 Semi-physical experiment platform

在電機驅(qū)動器輸入正弦掃頻激勵信號后, 利用陀螺儀測得的負載末端響應曲線, 如圖3所示. 由于掃頻信號的頻率最大值為0–25 Hz, 為抑制噪聲,利用零相位濾波器低通濾除25 Hz以上信號. 藍色曲線為濾波信號, 紅色曲線為原響應采樣信號. 由于系統(tǒng)采樣頻率為200 Hz, 通過圖3的采樣數(shù)據(jù)估算可得, 響應信號在10 Hz與16 Hz左右的諧振點處,采樣信號有大量的高頻分量被濾除, 諧振點處的動力學特性受到了極大的削弱.

圖3 原始采樣數(shù)據(jù)與濾波后數(shù)據(jù)的系統(tǒng)掃頻響應對比Fig.3 System sweep response comparison of original sampling data and filtered data

諧振點處的響應信號與非諧振區(qū)間相比, 噪聲頻率與對應的掃頻信號不同, 為低頻信號與高頻信號的疊加. 非諧振區(qū)間并無與幅值等比的高頻噪聲出現(xiàn), 噪聲主要集中在諧振點處, 排除外部擾動的可能.陀螺儀采樣頻率200 Hz遠大于激勵信號上限,滿足香農(nóng)采樣定律, 因此排除共振頻段的高頻噪聲為欠采樣高頻混疊的可能. 根據(jù)非線性系統(tǒng)受迫振動特性, 可以確認該噪聲為非線性特性對系統(tǒng)響應的畸變, 應當被保留, 不應被濾除.

根據(jù)系統(tǒng)掃頻響應信號, 繪制原始采樣信號與重構(gòu)信號的伯德圖, 圖4是伯德圖中的幅值部分, 其中藍色是原始采樣信號, 紅色是重構(gòu)信號. 然后, 計算響應信號前100階的奇異值, 采樣信號與重構(gòu)信號前100階奇異值對比結(jié)果如圖5所示, 圖中藍色是原始采樣信號, 紅色是重構(gòu)信號, 縱坐標為奇異值.由伯德圖的幅值部分與奇異值分布圖可知, 系統(tǒng)中因非線性特性的影響, 響應信號存在大量的高頻分量, 10 Hz與16 Hz處的諧振幅值被高頻分量明顯削弱, 且前100階奇異值未見明顯拐點. 因此, 若根據(jù)此采樣信號直接辨識模型, 則需要較高階次的函數(shù)或較多的神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點以擬合高頻特性, 且模型中前兩階的諧振特性將與實際系統(tǒng)出現(xiàn)較大的差異.

圖4 采樣信號與重構(gòu)信號伯德圖幅值部分Fig.4 Bode plot amplitude part of sampled signal and reconstructed signal

圖5 采樣信號與重構(gòu)信號前100階奇異值Fig.5 The first 100 orders singular values of the sampled signal and the reconstructed signal

以系統(tǒng)實際響應為基礎重構(gòu)線性信號, 并使用零相位濾波器濾除25 Hz以上高頻噪聲, 可獲得線性重構(gòu)信號, 并可繪制線性重構(gòu)信號與原始采樣信號對比圖, 如圖6所示, 圖中藍色曲線為線性重構(gòu)信號. 與原始采樣信號相比, 線性重構(gòu)信號的奇異值在40階左右出現(xiàn)了明顯的拐點. 伯德圖中10 Hz與16 Hz的諧振得到清晰保留, 25 Hz以上無高頻分量.因此可以用較低階次的擬合函數(shù)或較少的神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點辨識系統(tǒng)模型.

圖6 線性重構(gòu)信號與原始采樣信號Fig.6 Linear reconstructed signal and original sampled signal

為驗證系統(tǒng)辨識的簡化效果, 使用僅包含10個節(jié)點的自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡辨識系統(tǒng)模型. 訓練獲得模型后, 向模型輸入0–25 Hz掃頻信號, 獲得相應的響應信號, 如圖7所示. 紅色曲線為線性重構(gòu)信號, 藍色曲線為模型輸出響應. 圖8為該模型擬合的殘差(Mean Squared Error, MSE), 可見殘差在訓練過程中迅速下降, 在200次訓練后保持穩(wěn)定, 殘差最終約為1.65. 由此對比可以得出結(jié)論, 利用線性重構(gòu)的數(shù)據(jù)替代含有非線性畸變的采樣數(shù)據(jù)建模, 可以降低模型辨識的難度與模型的復雜程度, 提高模型辨識效率.

圖7 線性重構(gòu)信號與模型輸出響應Fig.7 Linear reconstruction signal and model output response

圖8 辨識模型擬合殘差Fig.8 Identification model fitting residuals

5 結(jié)論

為降低受到非線性影響的伺服控制模型辨識復雜程度, 采用線性數(shù)據(jù)重構(gòu)與零相位濾波方法降低高頻采樣噪聲與非線性畸變對采樣數(shù)據(jù)的影響.通過半實物實驗平臺驗證可知, 建模數(shù)據(jù)奇異值拐點從100階下降至40階, 僅用10個神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點200次訓練即實現(xiàn)了模型辨識, 在確保辨識精度的同時, 省去了系統(tǒng)非線性辨識與補償?shù)墓ぷ髁? 降低了系統(tǒng)高頻分量, 簡化了辨識模型.