利用3次方位觀測天基初軌確定新方法*

趙柯昕 甘慶波 劉 靜

(1 中國科學(xué)院國家天文臺北京100101)

(2 國家航天局空間碎片監(jiān)測與應(yīng)用中心北京100101)

(3 中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

1 引言

天基空間目標(biāo)觀測具有全天候、全天時、靈活機(jī)動等優(yōu)勢, 受到了國內(nèi)外極大關(guān)注. 20世紀(jì)90年代至今, 已經(jīng)發(fā)射了十余顆天基觀測衛(wèi)星, 如天基監(jiān)測系統(tǒng)(Space-Based Surveillance System,SBSS)1、地球同步空間態(tài)勢感知計(jì)劃(Geosynchronous Space Situational Awareness Program,GSSAP)2和Sapphire衛(wèi)星[1]等. 現(xiàn)階段天基目標(biāo)觀測仍以光學(xué)載荷為主要觀測設(shè)備, 測角資料為主要觀測數(shù)據(jù), 獲得目標(biāo)軌道參數(shù)為主要任務(wù)目標(biāo), 而初始軌道確定是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的基礎(chǔ).

天基空間目標(biāo)光學(xué)觀測的初軌確定問題具有兩個基本特征, 光學(xué)短弧段導(dǎo)致的幾何約束不足問題和觀測平臺與空間目標(biāo)動力學(xué)特征相似導(dǎo)致的奇點(diǎn)(平凡解)問題. 前者是初軌確定中普遍存在的問題, 而天基觀測中由于相對運(yùn)動速度更快導(dǎo)致觀測弧段更短. 平凡解問題首先由甘慶波等人于2007年提出[2], 發(fā)現(xiàn)將類Laplace方法應(yīng)用于天基光學(xué)觀測的初軌確定中會出現(xiàn)計(jì)算結(jié)果收斂到觀測平臺自身軌道的問題, 并推導(dǎo)了平凡解存在的數(shù)學(xué)形式, 給出了初步解決方法. 2009年南京大學(xué)劉林等人確認(rèn)了改進(jìn)Laplace方法收斂到觀測平臺本身的問題[3]. 2018年, Doscher[4]指出針對近圓、共面軌道進(jìn)行定軌時更容易收斂到平凡解.

理論上可以通過求解由角度測量數(shù)據(jù)構(gòu)造的條件方程, 進(jìn)而計(jì)算軌道根數(shù). Gauss首次將初軌確定問題轉(zhuǎn)換為求解非線性方程的問題, 提出了使用多組測角數(shù)據(jù)的最小二乘(least square, LS)法[5].Escobal[6]于1976年提出了雙r迭代法(r為觀測時刻目標(biāo)地心距), 該方法可以適用于任何時間間隔的觀測數(shù)據(jù), 但存在收斂困難、魯棒性較差等問題.Gooding[7–8]在其對Lambert問題研究的基礎(chǔ)上, 提出了一種基于Lambert問題和Newton-Raphson法使用3次測角數(shù)據(jù)的初軌確定新方法, 通過迭代求解Lambert方程搜索探測目標(biāo)的斜距. Vallado[9]于2010年評估了Gooding方法應(yīng)用于天基空間目標(biāo)觀測任務(wù)中的性能, 發(fā)現(xiàn)該方法相當(dāng)穩(wěn)健, 可以解決大多數(shù)不同軌道構(gòu)型的情況. 從算例來看Gooding方法對斜距的計(jì)算已經(jīng)接近真實(shí)值. 1994年Dumoulin[10]提出了一種基于Stumpt函數(shù)和Lambert方程使用位置向量的迭代方法, 但該方法在傾角和斜距過小等特殊情況時會計(jì)算失敗. 2008年陳務(wù)深等人將天基初軌確定問題建模為求解不等式約束的非線性最小二乘問題, 由此將該問題轉(zhuǎn)換為計(jì)算最優(yōu)解的數(shù)學(xué)問題[11–12]. 2017年章品等人提出了一種基于距離搜索的天基空間目標(biāo)初軌確定方法[13]. Gooding[7–8]、Dumoulin[10]和章品等[13]的初軌計(jì)算方法都需要一個較合理的初始猜測值. 一旦猜測值與實(shí)際情況偏差過大, 通常會不收斂或收斂到觀測平臺軌道. 2010年Shefer[14]將利用兩個觀測時刻距離量進(jìn)行初軌確定的基本問題轉(zhuǎn)化為求解非線性方程的問題, 給出了橢圓、雙曲線和拋物線3種情況下方程具體形式和初值計(jì)算方法, 并使用Newton-Raphson法計(jì)算軌道根數(shù).2019年Kuznetsov[15]在Shefer[14]工作的基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步推導(dǎo)出從測角數(shù)據(jù)求解斜距的非線性方程組,利用小行星實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證, 取得了良好的效果.

本文分析了天基光學(xué)目標(biāo)觀測的初軌確定問題, 基于改進(jìn)的Gauss方程, 提出了一種適用于天基光學(xué)觀測數(shù)據(jù)的初軌確定新方法. 首先簡要比較了天基觀測和地基觀測在觀測構(gòu)型上的異同, 分析了天基初軌確定過程中計(jì)算收斂到平凡解的數(shù)學(xué)原理. 從利用空間目標(biāo)兩次觀測時刻的位置矢量求解半通徑的問題出發(fā), 通過改進(jìn)經(jīng)典Gauss方程, 將利用光學(xué)觀測數(shù)據(jù)的初軌確定問題轉(zhuǎn)換為了求解關(guān)于斜距的非線性方程組的問題, 推導(dǎo)了該方程組的解析形式. 而本質(zhì)上該方程組與觀測數(shù)據(jù)組數(shù)無關(guān), 同樣適用于多組觀測資料的情況. 利用軌道能量約束減小了解的搜索區(qū)域, 消除了方程組的奇點(diǎn). 使用天基目標(biāo)觀測的實(shí)測數(shù)據(jù)分析了本方法構(gòu)建的非線性條件方程組解的性質(zhì). 最后利用天基低軌觀測平臺對低、中、高軌目標(biāo)的仿真觀測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本方法具有良好的性能.

2 天基光學(xué)觀測的初軌確定問題

地基和天基光學(xué)觀測的初始軌道確定問題的幾何構(gòu)型如圖1所示. 圖1中空間目標(biāo)地心位置矢量r、觀測平臺地心位置矢量R以及空間目標(biāo)相對觀測平臺斜距矢量ρ可以組成一個三角形. 下標(biāo)S和G分別表示天基觀測和地基觀測的情況. 空間目標(biāo)的地心矢量r可表示為:

圖1 地基和天基光學(xué)觀測的幾何構(gòu)型Fig.1 The geometrical configuration of ground-based and space-based optical surveillance

式中,L為觀測視線方向的單位矢量,ρ為斜距. 觀測視線方向的單位矢量為:

式中(α,δ)分別為空間目標(biāo)在地心天球坐標(biāo)系下的赤經(jīng)和赤緯角度測量數(shù)據(jù).

對(1)式進(jìn)行求導(dǎo), 得到目標(biāo)地心位置矢量的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為:

地基觀測與天基觀測的幾何構(gòu)型基本相同, 不同之處在于觀測平臺的運(yùn)動特征. 當(dāng)觀測平臺位于地表時, 其遵循地表測站的運(yùn)動規(guī)律.

式中,RS是觀測平臺的地心距. 聯(lián)立(1)、(4)、(6)式后, 經(jīng)典Laplace方法或Gauss方法在計(jì)算八次方程時會出現(xiàn)一個公因子(r-RS). 由此會出現(xiàn)一個平凡解r=RS. 將平凡解代入(1)式, 得到觀測平臺的軌道根數(shù). 這是經(jīng)典初軌確定方法收斂到平凡解的數(shù)學(xué)本質(zhì), 是觀測平臺和空間目標(biāo)動力學(xué)相似造成的[2].

3 天基初軌確定新方法的原理和特點(diǎn)

定義在地心天球坐標(biāo)系下, 3次觀測時間tj=1,2,3, 對應(yīng)的3次赤經(jīng)、赤緯角度測量值(αj,δj)j=1,2,3、觀測平臺的地心位置矢量Rj=1,2,3、空間目標(biāo)的斜距ρj=1,2,3與地心位置矢量rj=1,2,3和空間目標(biāo)相對觀測平臺觀測視線方向的單位矢量Lj=1,2,3. 從求解軌道半通徑的問題出發(fā), 為了避免經(jīng)典Gauss方程出現(xiàn)奇點(diǎn), 對其進(jìn)行改進(jìn). 由此將使用天基光學(xué)測角數(shù)據(jù)的初軌確定問題轉(zhuǎn)換為求解觀測時刻斜距的非線性條件方程組的問題.

3.1 半通徑計(jì)算方程

當(dāng)觀測時間間隔較小時, 可以認(rèn)為3次觀測時刻的空間目標(biāo)地心位置矢量位于同一平面內(nèi)[5]:

當(dāng)已知t1和t2時刻的空間目標(biāo)相對觀測平臺的斜距時, 可求出t2時刻的斜距ρ2:

各符號定義如下:

因此, 可以通過(1)式和角度測量數(shù)據(jù)得到空間目標(biāo)在觀測時刻的地心位置矢量(r1,r2,r3). 由于測量弧段較短, 地心位置矢量r1與r2、r1與r3、r2與r33者相互之間的夾角都小于π. 則半通徑p可通過下式得到:

式中,r1、r2和r3分別是地心位置矢量r1、r2和r3的模. 現(xiàn)在考慮由空間目標(biāo)在t1和t3時刻的地心位置矢量(r1,t1;r3,t3)求解半通徑的問題. 位置矢量r1和r3可以和橢圓軌道圍成一個扇形和一個三角形[6], 如圖2所示, 其中點(diǎn)A與B分別為t3與t1時刻目標(biāo)所在的位置, 角度ν1與ν3分別為t1與t3時刻目標(biāo)的真近點(diǎn)角,點(diǎn)O為地心.此時位置矢量r1、r3與弧?AB可組成一個扇形, 其面積為AS. 而兩次觀測時刻的位置矢量與線段AB可組成一個三角形, 其面積為AT. 由圖可知扇形與三角形的面積比是一個小值.

圖2 空間目標(biāo)位置矢量組成的扇形和三角形Fig.2 The triangle and sector formed by the position vectors of space target

引入輔助變量y表示扇形面積AS和三角形面積AT的比:

其中,τ13=t3-t1. 當(dāng)計(jì)算出面積比y后, 可以較為方便地計(jì)算半通徑. 為求解y引入經(jīng)典Gauss方程[6], 如下(11)–(12)式:

式中

對于橢圓軌道, 函數(shù)X和x可表示為:

式中, dE=E3-E1,E1、E3為t1、t3觀測時刻空間目標(biāo)的偏近點(diǎn)角. 將(11)式代入(12)式:

(11)和(12)式需要迭代計(jì)算,Escobal[6]于1965年給出了一種迭代計(jì)算方法. 當(dāng)?shù)匦奈恢檬噶?r1;r3)已知時, 可計(jì)算得到參數(shù)m和l. 第1次循環(huán)中, 可以定y= 1, 函數(shù)x和X使用(14)和(13)式依次求出. 再利用(15)式求出新面積比y. 重復(fù)上述計(jì)算過程, 直至達(dá)到預(yù)定精度. 對于觀測弧段較短, 即兩次觀測時刻的地心位置矢量(r1;r3)夾角較小時, 具有很快的收斂速度. 但當(dāng)夾角較大或夾角等于π時無法求出面積比.

3.2 改進(jìn)Gauss方程

為了避免除以零或無窮出現(xiàn)奇點(diǎn), 將經(jīng)典Gauss方程(11)式改寫為[15–16]:

式中

當(dāng)r1和r3重疊時,σ等于0, 但在天基觀測中是很罕見的情況. 因此可以排除σ= 0的情況. 聯(lián)立(11)和(12)式, 可得

式中

對于橢圓軌道, 函數(shù)X可表示為:

最終, 將求解半通徑的問題轉(zhuǎn)化為求解x的問題.

3.3 非線性條件方程

定義時間間隔τ12=t2-t1和τ23=t3-t2, 關(guān)于(t1,ρ1;t3,ρ3)的非線性條件方程可以將其代入(17)式得[15]:

式中

8

由(1)式和(9)式, 函數(shù)x12和x23可表示為:

由此構(gòu)造出了含有t1和t3時刻斜距(ρ1,ρ3)兩個未知數(shù)的兩個方程, 求解該方程經(jīng)過后續(xù)計(jì)算可得t2觀測時刻斜距,由此可通過觀測數(shù)據(jù)計(jì)算出3次觀測時刻空間目標(biāo)的地心位置矢量. 推導(dǎo)出的約束方程(21)式本質(zhì)上與觀測數(shù)據(jù)組數(shù)無關(guān), 同樣適用于多組觀測資料的情況.

3.4 利用軌道能量約束縮小搜索范圍

利用迭代方法搜索f1(ρ1,ρ3) = 0和f3(ρ1,ρ3)= 0的根時計(jì)算效率較低, 可以使用軌道能量約束將搜索范圍控制在一個較小的區(qū)間. 空間目標(biāo)一般在橢圓軌道上運(yùn)行, 應(yīng)滿足由Milani等人提出的地心二體能量約束[17]:

式中,ε為軌道能量, ˙ρ是斜距ρ的一階導(dǎo)數(shù). 斜距ρ應(yīng)為正值. 同時因?yàn)楣鈱W(xué)望遠(yuǎn)鏡的能力限制,ρ應(yīng)存在最大值ρmax. 因此, 斜距應(yīng)滿足以下約束條件:

3.5 非線性條件方程的奇點(diǎn)問題

在求解f1(ρ1,ρ3) = 0和f3(ρ1,ρ3) = 0時, 當(dāng)p=0、f11= 0和f31= 0會導(dǎo)致方程(21)式無意義,從而導(dǎo)致計(jì)算失敗. 通過分析, 當(dāng)且僅當(dāng)r1=-r2和r2=-r3時, 會導(dǎo)致f11和f31等于0, 但這在天基短弧光學(xué)觀測時是不存在的. 僅剩下需要避免p=0這一種情況. 給定θ1、θ2分別作為地心位置矢量r1和r2、r2和r3的夾角, 由(9)式可得:

當(dāng)位置矢量r1、r2和r3滿足(25)式時會使p=0, 導(dǎo)致條件方程是奇異的, 該點(diǎn)需要去除.

3.6 利用Gibbs法或Herrick-Gibbs計(jì)算軌道根

數(shù)

迭代求解非線性條件方程(21)式, 得到t1和t3時刻的斜距ρ1、ρ3. 使用(8)式求得t2時刻的斜距ρ2.由此可得空間目標(biāo)在3次觀測時刻的位置矢量(t1,r1)、(t2,r2)、(t3,r3). 當(dāng)t1和t3時刻的觀測方向矢量夾角大于1°時, 采用Gibbs法計(jì)算初始軌道根數(shù).當(dāng)夾角小于1°時, Herrick-Gibbs方法具有較好的精度[6]. 得到了t2觀測時刻位置和速度矢量, 經(jīng)過轉(zhuǎn)換即可得到經(jīng)典Kepler軌道根數(shù).

3.7 初軌確定方法流程

針對天基光學(xué)觀測初軌確定問題, 提出了使用本文方法的初始軌道確定流程:

(1)根據(jù)先驗(yàn)信息給出t1和t3時刻的斜距初始猜測值ρ1和ρ3, 利用赤經(jīng)、赤緯角度觀測數(shù)據(jù), 結(jié)合(8)式得到t2時刻的斜距ρ2;

(2)利用(1)式求解3次觀測時刻空間目標(biāo)地心位置矢量r1、r2和r3, 利用(9)式計(jì)算軌道半通徑p;

(3)利用(23)式計(jì)算參數(shù)x12與x23, 由此構(gòu)建非線性條件方程組(22)式;

(4)重復(fù)步驟(1)至步驟(3), 更新ρ1和ρ3, 直至(22)式中的f1(ρ1,ρ3)=0和f3(ρ1,ρ3)=0同時成立,利用(8)式得到ρ2;

(5)計(jì)算3次觀測時刻的目標(biāo)位置矢量, 根據(jù)觀測視線矢量的夾角, 選擇使用Gibbs法或Herrick-Gibbs法確定t2觀測時刻目標(biāo)的速度矢量, 經(jīng)過轉(zhuǎn)換獲得目標(biāo)的Kepler軌道根數(shù).

4 數(shù)值驗(yàn)證

4.1 基于實(shí)測數(shù)據(jù)的定軌結(jié)果

使用光學(xué)觀測衛(wèi)星對空間目標(biāo)的角度實(shí)測數(shù)據(jù)來分析非線性條件方程組根的特性. 經(jīng)過平滑后, 得到了3次觀測時刻的赤經(jīng)α與赤緯δ角度測量數(shù)據(jù)和該觀測衛(wèi)星位置矢量(Rx,Ry,Rz), 如表1所示. 觀測時刻用簡化儒略日(Modified Julian Date,MJD)表示, 角度測量數(shù)據(jù)和衛(wèi)星地心位置矢量位于J2000地心天球坐標(biāo)系中, 測量精度為10′′.

表1 天基光學(xué)觀測平臺對空間目標(biāo)3次觀測數(shù)據(jù)Table 1 Three observation measurements of space targets by space-based optical observation platform

將表中數(shù)據(jù)代入(22)式, 得到了關(guān)于(ρ1,ρ3)的非線性方程組. 將f1(ρ1,ρ3) = 0和f3(ρ1,ρ3) = 0的曲線繪制于以第1、3觀測時刻斜距(ρ1,ρ3)為橫軸和縱軸的圖中, 如圖3和圖4所示. 圖中虛線為f1(ρ1,ρ3) = 0, 實(shí)線為f3(ρ1,ρ3) = 0. 圖3為(22)式在8倍地球半徑(ρ1,ρ3)∈[0,8]的范圍內(nèi)圖像情況. 圖4為圖3中的交點(diǎn)在(ρ1,ρ3)∈[0,1]的放大情況. 地球半徑定義為REarth= 6378.14 km. 兩條曲線的交點(diǎn)認(rèn)為是研究范圍內(nèi)(22)式的解.

圖3 條件方程在8倍地球半徑下的交點(diǎn)Fig.3 The intersection points of condition equation under eight times Earth radius

圖4 條件方程在1倍地球半徑下的交點(diǎn)Fig.4 The intersection points of condition equation under one time Earth radius

由圖可以發(fā)現(xiàn)在8倍地球半徑的搜索區(qū)域內(nèi),方程組僅存在1個交點(diǎn), 即僅存在唯一解. 圖中的陰影部分為不滿足軌道能量約束的區(qū)域. 交點(diǎn)1所對應(yīng)的第1、3次觀測時刻的斜距量分別為0.274452REarth和0.258642REarth, 通過進(jìn)一步求解可得該目標(biāo)的Kepler軌道根數(shù)分別為:

其中,a、e、i、ω、Ω、M分別為軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、近地點(diǎn)俯角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和平近點(diǎn)角.

4.2 不同觀測情況的仿真驗(yàn)證與精度評估

為了進(jìn)一步比較本文提出的天基初軌確定方法的性能, 使用天基低軌觀測平臺對低軌近圓軌道目標(biāo)、中軌近圓軌道目標(biāo)、大橢圓軌道目標(biāo)和地球同步軌道目標(biāo)分別進(jìn)行仿真觀測. 使用本文方法和經(jīng)典Gauss法對仿真觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行初始軌道計(jì)算, 對比兩種方法在使用不同長度觀測弧段時的位置計(jì)算誤差Δr與速度計(jì)算誤差Δv. 表2展示了MJD = 59410.166667時刻下, 所使用的觀測平臺、低軌(Low Earth Orbit, LEO)、中軌(Middle Earth Orbit, MEO)、大橢圓軌道(Highly Elliptical Orbit, HEO)與同步軌道(Geostationary Earth Orbit, GEO)目標(biāo)的Kepler軌道根數(shù).

表2 觀測平臺與目標(biāo)的Kepler軌道根數(shù)Table 2 The Kepler orbit elements of observation platform and targets

觀測平臺和空間目標(biāo)的軌道外推考慮了由美國國家地理空間情報(bào)局(US National Geospatial-Intelligence Agency, NGA)發(fā)布的EGM 2008 40階×40階的地球重力場模型和太陽、月球三體引力.天基觀測平臺的觀測噪聲主要是觀測平臺自身軌道誤差、觀測系統(tǒng)自身誤差等因素引起的. 為了評估初軌確定方法, 觀測數(shù)據(jù)增加5′′的Gauss隨機(jī)噪聲. 將t1時刻仿真目標(biāo)的位置和速度矢量作為真值.

4.2.1 LEO平臺觀測LEO目標(biāo)的情況

圖5為兩種方法使用不同長度的LEO目標(biāo)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的初始軌道和該目標(biāo)位置、速度矢量的殘差. 觀測弧段長度從4 s至30 s, 每秒進(jìn)行一次計(jì)算. 圖中實(shí)線和虛線分別為本文方法和經(jīng)典Gauss方法初始軌道計(jì)算結(jié)果的殘差隨觀測弧段長度的變化趨勢. 從圖中可以發(fā)現(xiàn), 當(dāng)觀測弧段較短且小于10 s時本文方法依舊有良好的收斂性, 可以收斂到真解附近. 當(dāng)觀測弧長大于10 s時本文方法和經(jīng)典Gauss法具有相近的計(jì)算精度.

圖5 觀測弧長為4–30 s時LEO目標(biāo)初軌計(jì)算結(jié)果Fig.5 The IOD (initial orbit determination) result of the LEO target with observational time intervals from 4 to 30 s

4.2.2 LEO平臺觀測MEO目標(biāo)的情況

圖6為兩種方法使用不同長度的MEO目標(biāo)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的初始軌道和該目標(biāo)位置、速度矢量的殘差. 觀測弧段長度由30 s至300 s, 每間隔5 s進(jìn)行一次計(jì)算. 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)觀測弧段長度小于60 s時本文方法具有更好的精度. 觀測弧段較長時本文方法擁有和Gauss法相似的精度.

圖6 觀測弧長為30–300 s時MEO目標(biāo)初軌計(jì)算結(jié)果Fig.6 The IOD result of the MEO target with observational time intervals from 30 to 300 s

4.2.3 LEO平臺觀測HEO目標(biāo)的情況

圖7為兩種方法使用不同長度的HEO目標(biāo)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的初始軌道和該目標(biāo)位置、速度矢量的殘差. 觀測弧段長度由90 s至300 s, 每間隔5 s進(jìn)行一次計(jì)算. 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)觀測弧段較短且小于100 s或觀測弧段長度大于250 s時, 相比于經(jīng)典Gauss法本文方法具有更好的精度.

圖7 觀測弧長為90–300 s時HEO目標(biāo)初軌計(jì)算結(jié)果Fig.7 The IOD result of the HEO target with observational time intervals from 90 to 300 s

4.2.4 LEO平臺觀測GEO目標(biāo)的情況

圖8為兩種方法使用不同長度的GEO目標(biāo)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的初始軌道和該目標(biāo)位置、速度矢量的殘差. 使用觀測弧段長度為60–360 s, 每間隔10 s進(jìn)行一次計(jì)算. 可以發(fā)現(xiàn)此時對于GEO目標(biāo)本文方法和經(jīng)典Gauss法具有相似的精度.

圖8 觀測弧長為60–360 s時GEO目標(biāo)初軌計(jì)算結(jié)果Fig.8 The IOD result of the GEO target with observational time intervals from 60 to 360 s

4.2.5 軌道根數(shù)計(jì)算結(jié)果

選取不同目標(biāo)不同長度的觀測數(shù)據(jù), 使用本文方法進(jìn)行軌道確定, 并計(jì)算經(jīng)典軌道根數(shù). LEO目標(biāo)的觀測弧長為15 s, MEO目標(biāo)的觀測弧長為120 s, HEO目標(biāo)的觀測弧長為160 s, GEO目標(biāo)的觀測弧長為180 s時, 并對觀測數(shù)據(jù)增加5′′的隨機(jī)誤差后, 使用本方法計(jì)算得到的不同目標(biāo)軌道根數(shù)如表3所示. 觀測弧長沒有特殊選擇, 僅是典型的觀測值. 將表3中的計(jì)算結(jié)果與表2中的真值進(jìn)行比較可知, 在不同的觀測弧長下, LEO目標(biāo)、MEO目標(biāo)、HEO目標(biāo)和GEO目標(biāo)的半長軸誤差分別約為50 km、15 km、55 km和2 km.

表3 空間目標(biāo)初軌確定計(jì)算結(jié)果Table 3 The IOD results of space targets

5 總結(jié)與討論

天基空間目標(biāo)觀測是未來空間態(tài)勢感知領(lǐng)域的一個重要發(fā)展方向. 本文研究了天基觀測數(shù)據(jù)的初始軌道確定問題, 并提出了一種基于改進(jìn)Gauss方程的初軌確定計(jì)算方法. 與其他方法相比, 本方法的關(guān)鍵是構(gòu)造觀測時刻空間目標(biāo)斜距量的非線性方程組. 文中利用3組角度測量數(shù)據(jù)推導(dǎo)了該方程組的解析形式,也可適用于多組觀測資料的情況.使用天基光學(xué)觀測衛(wèi)星對LEO目標(biāo)的實(shí)際測量數(shù)據(jù)分析了方程組解的形式. 最后利用天基光學(xué)觀測平臺分別對低、中、高軌和大橢圓軌道目標(biāo)進(jìn)行了仿真觀測, 得到不同長度的角度測量數(shù)據(jù). 通過該仿真測量數(shù)據(jù), 分析了本文方法與經(jīng)典Gauss方法對不同弧長數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果, 發(fā)現(xiàn)對于較短的觀測弧段, 本文方法具有更好的精度, 由此表明了本文提出的天基空間目標(biāo)光學(xué)觀測初軌確定方法具有一定的優(yōu)越性.