三角域上的3階P-Bézier曲面

熊 建

(安徽審計(jì)職業(yè)學(xué)院 綜合教育學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

曲面造型技術(shù)是計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)輔助制造和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的核心技術(shù)之一,曲面造型的一個(gè)最基本問題是對(duì)曲面的設(shè)計(jì)和表示[1-3]。作為應(yīng)用較為廣泛的Bézier曲面,主要包括矩形域上的張量積曲面和三角域上的非張量積形式的三角曲面[4-5]。三角域上的曲面造型設(shè)計(jì),更有利于解決構(gòu)型復(fù)雜、形狀和邊界不規(guī)則的幾何造型問題,已成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)輔助制造和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中造型技術(shù)研究的熱點(diǎn)。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中,對(duì)傳統(tǒng)多項(xiàng)式空間中的Bézier三角曲面進(jìn)行了較廣泛的研究[6-7]。但多項(xiàng)式空間中的Bernsten-Bézier基的非有理形式造型能力有限[8-10],而有理形式又因其復(fù)雜性[11],從而具有分母零點(diǎn)的奇異值、權(quán)因子調(diào)節(jié)困難、求導(dǎo)求微分的次數(shù)升高等缺陷[12-14]。人們嘗試尋找非多項(xiàng)式空間中的Bézier型基[15-17]。而如何把這些非多項(xiàng)式空間中的Bézier型基推廣到三角域上,從而完善這類Bézier型基的三角曲面造型理論，成為曲線曲面的研究方向之一[18-20]。沈莞薔等[18-19]將三角多項(xiàng)式空間中3階、5階P-Bézier基推廣到三角域上,魏永娟等[20]將4階C-Bézier基推廣到三角域上,陳素根等[21-22]將3階、4階T-Bézier基推廣到三角域上。三角域上的n次Bernsten-Bézier基包含了(n+1)(n+2)/2個(gè)基函數(shù),3階Bézier型基都是擬2次的[18,21],推廣到三角域上基函數(shù)為7個(gè),比三角域上的2次Bernsten-Bézier基函數(shù)個(gè)數(shù)多了1個(gè)。

本研究將3階P-Bézier基進(jìn)行非張量積形式的二元推廣,構(gòu)造出三角域上含6個(gè)函數(shù)的3階P-Bézier基函數(shù)組,其與三角域上的2次Bernsten-Bézier基函數(shù)組具備相似特性?；谠摶瘮?shù)組定義的3階P-Bézier三角曲面片,具備2次Bézier三角曲面片相似特性,如角點(diǎn)插值性、凸包性、對(duì)稱性、幾何不變性和仿射不變性等。本研究構(gòu)造的3階P-Bézier三角曲面片的控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)比文獻(xiàn)[18]少1個(gè),計(jì)算更簡便。尤其,當(dāng)α=π/2時(shí),為文獻(xiàn)[22]構(gòu)造的三角曲面。

1 三角域上3階P-Bézier基函數(shù)

1.1 回顧

文獻(xiàn)[9]在三角多項(xiàng)式空間Γ={1,sint,cost}上定義的3階P-Bézier基函數(shù)為:

(1)

1.2 三角域上基函數(shù)的定義及性質(zhì)

定義1 在D={(u,v,w)|0≤u,v,w≤α,u+v+w=α,α∈(0,π)}上,設(shè)

(2)

基函數(shù)組的性質(zhì):

性質(zhì)4:(端點(diǎn)性質(zhì))

證明:由式(2)經(jīng)計(jì)算易證性質(zhì)1,2,3,4成立,下證性質(zhì)5成立。

同理,令u=0,w=α-v可證a020=a002=a011=0;令v=0,u=α-w可證a200=a002=a101=0。

圖1 三角域上3階P-Bézier基函數(shù)部分圖形Fig.1 Partial graphics of the 3-order P-Bézier basis in triangular polynomial sapce

2 三角域上3階P-Bézier曲面

定義2:對(duì)任意(u,v,w)∈D及給定的控制頂點(diǎn)Pijk,i,j,k≥0,i+j+k=2,稱

(3)

此為三角域上3階P-Bézier三角曲面片。

3階P-Bézier三角曲面片的性質(zhì):

性質(zhì)6:(凸包性)3階P-Bézier曲面片位于控制頂點(diǎn)構(gòu)成的控制網(wǎng)格包圍中。

性質(zhì)7:(幾何不變性和仿射不變性)

曲面片S(u,v,w)的幾何形狀不依賴于坐標(biāo)系,與控制頂點(diǎn)有關(guān),對(duì)控制頂點(diǎn)作仿射變換就是對(duì)相應(yīng)的曲面片S(u,v,w)作同樣的仿射變換。

性質(zhì)8:(對(duì)稱性)

性質(zhì)9:(曲面片的邊界性質(zhì))

(1)邊界曲線:3階P-Bézier三角曲面片的邊界曲線是以控制網(wǎng)格的邊界作為控制多邊形生成的3階P-Bézier曲線;

(2)角點(diǎn)插值性質(zhì):S(α,0,0)=P200,S(0,α,0)=P020,S(0,0,α)=P002;

(3)角點(diǎn)處的切平面:3階P-Bézier三角曲面片S(u,v,w)在三個(gè)角點(diǎn)P200(α,0,0),P020(0,α,0),P002(0,0,α)處的切平面分別由P200P110P101,P020P011P110,P002P101P011所張成。

證明:由基函數(shù)組的性質(zhì)易證性質(zhì)6～8及性質(zhì)9之(1),(2),下面證明性質(zhì)9(3)成立。

令w=α-u-v,過S(u,v,w)上任意點(diǎn)(u,v,α-u-v)處的切平面如下:(其中β,γ∈R)

同理可證(u,v,w)=(0,α,0)與(u,v,w)=(0,0,α)處的情況。

3 應(yīng)用實(shí)例

例1:圖2分別給出參數(shù)α=0.25π、0.5π、0.75π、0.9π時(shí),三角域上的3階P-Bézier曲面片的圖例,其中控制頂點(diǎn)分別為P200(1,0,0),P110(0.7,0.7,0),P020(0,1,0),P011(0,0.7,0.7),P002(0,0,1),P101(0.7,0,0.7)。

圖2 三角域上3階P-Bézier曲面片F(xiàn)ig.2 The 3-order P-Bézier surface over triangular domain

圖3 3階P-Bézier曲面片近似表示1/8單位球面Fig.3 1/8 unit sphere in 3-order P-Bézier

4 結(jié)論與展望

本研究將三角多項(xiàng)式空間Γ={1,sint,cost}中的3階P-Bézier基函數(shù)進(jìn)行非張量積形式的二元推廣,提出了由6個(gè)三角多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的三角域上的基函數(shù)組,該基函數(shù)組具備3階Bézier基函數(shù)組的類似性質(zhì)。由這組基生成的三角曲面片與3階Bézier三角曲面片具備類似特性,例如凸包性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、幾何不變性質(zhì)和仿射不變性質(zhì)及角點(diǎn)插值性質(zhì)等。該三角曲面片能夠近似表示球面片,也能夠?qū)崿F(xiàn)三通管接口處的連續(xù)光滑拼接。應(yīng)用實(shí)例表明,運(yùn)用本文方法構(gòu)造的三角曲面造型是一種實(shí)用有效的曲面設(shè)計(jì)方法。

3階P-Bézier三角曲面片是否具有升階、細(xì)分等性質(zhì);曲面的拼接條件及保凸性要求等都是后續(xù)可以繼續(xù)研究的課題。