M-矩陣Fan積最小特征值估計

李 華,李亞杰

(河南城建學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 平頂山 467036)

1 預(yù)備知識

記N={1，2，…，n},Cn×n(Rn×n)表示n階復(fù)(實)矩陣集.設(shè)A={aij}∈Rn×n，若aij≥0(aij>0)，則A為非負(fù)(正)矩陣,記Zn={A=(aij)|aij≤0,i≠j},設(shè)A=(aij)∈Zn,若A=sI-B,B>0,s≥ρ(B),則稱A為M-矩陣.若s>ρ(B),稱A為非奇異M-矩陣.非奇異M-矩陣的集合記為Mn.稱τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)}為矩陣A的最小特征值,其中σ(A)表示矩陣A的譜集合.

對于兩個M-矩陣A=(aij)與B=(bij)的Fan積的最小特征值τ(A*B)估計,前人已經(jīng)做了很多研究,文獻(xiàn)[1]給出了一個經(jīng)典結(jié)果：

τ(A*B)≥τ(A)τ(B)

(1)

文獻(xiàn)[2-7]分別得到如下結(jié)果：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

本文繼續(xù)對M-矩陣A與B的Fan積的最小特征值估計進(jìn)行深入研究,得到新的估計式,且精度有所提高.

2 主要結(jié)果

引理1[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,則矩陣A的所有特征值位于下列區(qū)域之中：

引理2[8]設(shè)a=(a1,a2,…,an)T≥0,b=(b1,b2,…,bn)T≥0,則有：

引理3[9]設(shè)Q∈Mn且不可約，若存在不等于零的非負(fù)向量Z使得Qz≥kz,則τ(Q)≥k.

定理1 設(shè)A=(aij),B={bij}∈Mn則有

2.假設(shè)A*B為可約矩陣,則A和B中至少有一個是可約的.設(shè)P=(pij)是n階置換矩陣,則p12=p23=…=pn-1,n=pn,1=1,其余的pij都為零.對任意的ε>0,讓ε→0使得A-εP,B-εP是不可約非奇異M-矩陣,用A-εP,B-εP分別代替A和B,讓ε→0,由連續(xù)性,可知結(jié)果成立.

定理2 設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn,則有

γij=αiαjβiβj(aii-τ(A))(ajj-τ(A))(bii-τ(B))(bjj-τ(B)).

設(shè)λ=τ(A*B)，由引理1知

|λ-aiibii||λ-ajjbjj|≤Ri[W-1(A*B)W]Rj[W-1(A*B)W]

其中γij=αiαjβiβj(aii-τ(A))(ajj-τ(A))(bii-τ(B))(bjj-τ(B)).

2.假設(shè)A*B為可約矩陣,則A和B中至少有一個是可約的.設(shè)P=(pij)是n階置換矩陣,則p12=p23=…=pn-1,n=pn,1=1,其余的pij都為零.對任意的ε>0,讓ε→0使得A-εP,B-εP是不可約非奇異M-矩陣,用A-εP,B-εP分別代替A和B,讓ε→0,由連續(xù)性,可知結(jié)果成立.

定理3 設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn則有

證明:不失一般性，假設(shè)對任意的正整數(shù)對i,j∈N,i≠j,有

則有：

則有：

注1：定理3說明定理2改進(jìn)了定理1的結(jié)果.

3 數(shù)值例子

給出數(shù)值例子驗證本文結(jié)果的優(yōu)越性.

由公式(1)得：τ(A*B)≥0.191 0.由公式(2)得：τ(A*B)≥1.523 9.由公式(3)得：τ(A*B)≥1.523 9.由公式(4)得：τ(A*B)≥2.983 3.由公式(5)得：τ(A*B)≥3.188 5.令α=0,利用公式(6)得,τ(A*B)≥3.由公式(7)得：τ(A*B)≥3.016 0.應(yīng)用本文定理1,τ(A*B)≥3.201 1.應(yīng)用本文定理2,τ(A*B)≥3.205 8.實際上,τ(A*B)=3.229 6.

注2：從數(shù)值例子的結(jié)果可知,本文定理1和定理2的結(jié)果在一定條件下優(yōu)于一些已知結(jié)果,可作為該研究領(lǐng)域的一個補充.