切線法“三用”證明一類不等式

湖北省荊州市監(jiān)利市職教中心 (433300) 張 琴

導數(shù)進入高中數(shù)學教材，為我們研究函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性，極值與最值增加了強有力的工具，為高中數(shù)學解題注入了新的活力．在各層次的數(shù)學測試與競賽中，常有一些整式、分式、無理不等式的證明，這些不等式的結(jié)構(gòu)對稱、形式優(yōu)美，其證法構(gòu)思精巧，異彩紛呈，讓人觀而嘆止．其實，不等式的證明可以看作是函數(shù)載體下的最值或極值問題，因此，導數(shù)為我們研究不等式的證明提供了一種新途徑和方法——以直代曲，即利用函數(shù)圖象在某點處的切線來逼近曲線，以證明一類對稱和不等式．

1．切線法的解釋

對于定義在區(qū)間D上的可導函數(shù)y=f(x)，若記y=f(x)的圖像在x0(非拐點)處的切線方程為y=g(x)，且在區(qū)間(x0-δ,x0+δ)?D內(nèi),恒有f(x)≤g(x)(或f(x)≥g(x))，則在區(qū)間(x0-δ,x0+δ)內(nèi)，用直線y=g(x)替代曲線y=f(x)對不等式進行放縮，雖然這種替代是近似的，但它的優(yōu)點在于，將復雜的運算變形化成一次整式計算，避免高超的變形運算．下面舉例說明切線法的應用．

2．觀其形，直接應用切線法

若所需證明的不等式為多變量的對稱和形式，即，若∑x=A，則∑f(x)≥C(或≤C)(其中A,C為常數(shù)，Σ表示循環(huán)求和)，則可研究函數(shù)y=f(x)與其在等號成立的點處的切線方程y=g(x)的之間所具備的不等關(guān)系進行放縮，直接應用切線逼近曲線，達到證明命題之目的．

例1 若實數(shù)a,b,c>0，且a+b+c=1，則

評注：直接利用切線方程證明不等式，看似計算繁瑣，特別是證明f(x)-g(x)≥0(或≤0)時需要進行因式分解，但由于我們已經(jīng)確定等號成立的平衡點x0，因此，只需利用多項式除法，用x-x0除f(x)-g(x)即可將其分解完全．

3．辨其式，變形應用切線法

如果所證不等式為關(guān)于變量的輪換對稱式，但條件(或結(jié)論)不符合切線法使用之結(jié)構(gòu)，可以考慮變化條件(或結(jié)論)，再證明之．

評注：對于齊次不等式,我們可以通過有效增設(shè)∑x=1，使之滿足切線法使用條件．另外，利用切線法證明不等式,要求所證不等式的一邊為和式且每一項只含有一個變量．若不等式不符合要求,可對不等式適當變形，以實現(xiàn)之．

分析：此不等式雖然是關(guān)于a,b,c的對稱式，但不等式的左端貌似不是∑f(x)的形式，因此利用均值不等式將和a+b轉(zhuǎn)化為積ab，使待證不等式得到加強，并變形為對稱和形式．

分析一：考慮到待證不等式的形式為∑f(x)≥C，但題設(shè)中的變量的關(guān)系為平方和，不符合∑x=A，故對條件作適當換元，替換為一次變量的和后，再用切線法證明．

有時，在約束條件下，所研究的曲線與切線所對應的函數(shù)的大小關(guān)系并不恒成立，則需要我們對關(guān)系成立與不成立的變量區(qū)間分而治之，各個擊破，對兩類區(qū)間內(nèi)的不等關(guān)系分類討論．

4．品其意，升維應用切線法

對于形如∑x=A，則∑f(x,y,z)≥C(或≤C)(其中A,C為常數(shù)，∑f(x,y,z)為x,y,z的輪換對稱式)，若將f(x,y,z)難以放縮為單變量函數(shù)式，可將函數(shù)f(x,y,z)看作曲面f(x,y,z)=0，利用偏導求出約束條件∑x=A下的平衡點(x0,y0,z0)處的切平面g(x,y,z)=0，利用切平面逼近曲面，再驗證f(x,y,z)與g(x,y,z)之間的大小關(guān)系，從而證明命題．下面升維再證明例3．

從上面例題，可以看出，切線法為我們提供了證明一類和式不等式的新方法，其證題思路清晰，易于操作，可以避開讓人嘆止的高超構(gòu)造、拆分組合與鬼斧神工的變形技巧；但我們也應注意，運用切線法解題時，應確保原不等式中等號成立的條件一致．