一道平面向量題的解法探究

重慶市銅梁二中 (402560) 李 波 周渝川

在浙江省的高考和模擬考試中，平面向量往往作為填空壓軸題出現(xiàn).這類題目雖短小精干，卻解法豐富多樣、不失經(jīng)典.

一 解法探究

圖1

評(píng)注：解法2運(yùn)用輔助線，簡化運(yùn)算.

評(píng)注：先將目標(biāo)平方，把問題轉(zhuǎn)化成求數(shù)量積的范圍，再把數(shù)量積用函數(shù)表示，最后用柯西-布捏科夫斯基不等式放縮求解.“見模平方”是處理向量的模有關(guān)問題的常見方法.

圖2

評(píng)注：建立直角坐標(biāo)系，首先將目標(biāo)轉(zhuǎn)化成動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，解法4充分利用“點(diǎn)A,B在圓x2+y2=25上”及消元法，求得P的軌跡，運(yùn)算量偏大；解法5用到了這樣一個(gè)圓的模型：平面上到兩定點(diǎn)的距離的平方和為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，十分簡潔.

圖3

評(píng)注：解法6和解法4、解法5的共同點(diǎn)在于利用“隱圓”的性質(zhì)解題，計(jì)算量較小，關(guān)鍵是利用了矩形的一個(gè)性質(zhì).

由解法6，我們?nèi)菀椎玫揭话阋?guī)律，即：

進(jìn)一步可得：

向量兼有幾何和代數(shù)特征，是聯(lián)系三角、幾何、代數(shù)的紐帶.處理向量問題所用的技巧和方法十分豐富，如：轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、不等式等，幾乎涵蓋了整個(gè)高中數(shù)學(xué)的思想方法，這有利于從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí).因此，在處理向量問題時(shí)往往要將幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算結(jié)合使用，充分聯(lián)想，多方位考慮問題，提高思維品質(zhì)，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.