動(dòng)中探定 以定制動(dòng)
——一道2022年福建省高三質(zhì)檢題的探究

福建省仙游第一中學(xué) (351100) 林碧霞福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所 (351100) 蔡海濤

1 試題呈現(xiàn)

(2022年福建省高三診斷性測(cè)試第11題)正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別為棱AB，CC1，C1D1的中點(diǎn)，Q∈平面MNP,B1Q=AB，直線B1Q和直線MN所成角為θ，則( ).

C.A,M,N,P四點(diǎn)共面 D.PQ∥平面ACD1

2 試題分析

本題以正方體為載體，考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，線線所成的角、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證和空間想象等能力；考查邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).對(duì)于選項(xiàng)B，涉及立體幾何的中的動(dòng)態(tài)問題，因?yàn)閳D形的“不確定性”導(dǎo)致學(xué)生解題障礙.

3 多解探究

本題答案BD，選項(xiàng)A，C，D容易分析，限于篇幅本文僅對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行分析.

解法1：(向量法)過M，N，P做正方體ABCD-A1B1C1D1的截面，易得為正六邊形，設(shè)與線段AA1的交點(diǎn)為E，連接B1D，連接B1M，B1N,DN,DM，易得B1D⊥面PMN.設(shè)B1D交平面PMN于O點(diǎn).

圖1

4 方法歸納

立體幾何的動(dòng)態(tài)問題是高考的熱點(diǎn)，常見的立體動(dòng)態(tài)問題有動(dòng)點(diǎn)的變化和截面問題，還有平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影等.該類問題中的“不確定性”元素往往成為學(xué)生思考與求解的思維障礙.這類問題求解的關(guān)鍵是根據(jù)題意認(rèn)真分析“動(dòng)”的元素的變化特點(diǎn)，尋找在變化過程中蘊(yùn)含的靜態(tài)因素，再從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口.本題探尋變化過程中的不變關(guān)系，用向量法定平面，用軌跡法確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，這兩種方法都是解決立體幾何有關(guān)角度問題的常用策略.