一道雙曲線定點(diǎn)問題的深度思考

江蘇省海門中學(xué) (226100) 姜敏華

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)的重要課型，解題教學(xué)要選好題，用好題.做一道好題可以提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力.利用好一道好題可以調(diào)動學(xué)生的積極性，提高學(xué)生思維活躍度，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn).本文從一道2022年深圳市第一次調(diào)研測試題的解法出發(fā)，給出問題的深度思考與聯(lián)想，談如何用好題.

1.題目

(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)(4，0)作斜率不為0的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線x=4分別交直線AM，AN于點(diǎn)E，F(xiàn).試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；反之，請說明理由.

2.解法展示

分析：判斷圓是否過定點(diǎn)，首先要寫出圓的方程，利用圓的直徑式方程.其次，由對稱性，若存在定點(diǎn)必在x軸上，令圓的方程中y=0，利用設(shè)而不求，韋達(dá)定理，判斷x是否為定值.

②當(dāng)直線l的斜率不存在時，E，F(xiàn)坐標(biāo)分別為(4，3)，(4，-3)，所以以EF為直徑的圓為(x-4)2+(y-3)(y+3)=0過點(diǎn)(1，0)，(7，0).

綜上，以EF為直徑的圓過點(diǎn)(1，0)，(7，0).

3.思考聯(lián)想

思考1：點(diǎn)(4，0)與點(diǎn)A，直線x=4之間存在怎樣的關(guān)系？將問題一般化可以發(fā)現(xiàn)背后的隱藏的規(guī)律.

4.結(jié)語

一道好題包含著命題者的深度思考，作為教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目背后所隱藏的“寶藏”，帶領(lǐng)學(xué)生用直覺大膽的猜想，用邏輯小心的論證.數(shù)學(xué)探究活動要融入課堂，要給學(xué)生探究的機(jī)會，帶領(lǐng)學(xué)生用好身邊的好題，在聯(lián)想中發(fā)散思維，在思考中提升能力.