一道解幾壓軸題的推廣與拓展

福建省福清第一中學(xué) (350300) 葉誠(chéng)理 林品玲

探索性的問題歷來倍受高考親睞，它有利于考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能；有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)．一個(gè)探索性問題，往往蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)、性質(zhì)，常是學(xué)習(xí)者探求一類問題的“窗戶”.本文以一道某地質(zhì)檢解幾壓軸題為例，它的背后隱藏著圓錐曲線的一個(gè)美妙性質(zhì)，以下是筆者對(duì)此問題的推廣與拓展.

1 試題引思，探尋問題本質(zhì)

圖1

(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l:x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上.

經(jīng)驗(yàn)證，直線l恰為橢圓C的右準(zhǔn)線，且點(diǎn)M恒在橢圓C上的性質(zhì)不受橢圓方程中a,b取值的影響．

2 縱向推廣，歸納一般結(jié)論

上述試題研究的是一特殊橢圓的性質(zhì)，根據(jù)特殊到一般的思想，可得：

3 逆向思考，猜想新的性質(zhì)

根據(jù)探求猜想1的思路，可逆向思考，交換條件與結(jié)論，得：

其他圓錐曲線是否也具有類似猜想1、2的性質(zhì)呢？

4 橫向聯(lián)系，類比相似性質(zhì)

類比在解題中具有啟迪思維、搭建橋梁的重要作用，正如波利亞所說：“類比是一個(gè)偉大的引路人.”

猜想4 拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)N(準(zhǔn)點(diǎn))，若AB為垂直于x軸的一條動(dòng)弦，則直線AF與BN的交點(diǎn)M必在拋物線C上．

在動(dòng)弦不過焦點(diǎn)時(shí)，猜想3、4的逆命題也成立．其證明同猜想1、2，留給讀者完成．