例析函數(shù)對稱性質及其應用

福建省廈門實驗中學 (361100) 沈振軍

在近年高考數(shù)學試題中，以抽象函數(shù)或具體函數(shù)為載體考查函數(shù)的對稱性題型是?？己蛣?chuàng)新題型，此類題型突出對轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想的考查與應用；要求學生具備獨立分析問題，解決問題的重要能力；同時體現(xiàn)了對數(shù)學抽象，邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)考查.本文從關于軸對稱的函數(shù)、關于點成中心對稱的函數(shù)、關于直線y=x對稱的兩個函數(shù)、函數(shù)與導函數(shù)的對稱性關系、利用函數(shù)的對稱性找不等關系等五個方面的性質例析其應用.

1.關于軸對稱的函數(shù)

性質1 函數(shù)y=f(x)關于直線x=a軸對稱等價于f(a+x)=f(a-x)(或f(2a-x)=f(x)).

例1 若函數(shù)f(x)=2|x-a|(a∈R)滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在區(qū)間[m,+∞)上單調遞增，則m的最小值等于.

解析：由函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1-x)，可得其關于x=1對稱，故a=1，則f(x)=2|x-1|，利用復合函數(shù)單調性的判斷方法，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)遞增，所以m的最小值為1.

性質2 若函數(shù)y=f(x)同時關于直線x=a與x=b軸對稱，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期T=2|a-b|.

A．f(2)

C．f(-2)

性質3 若函數(shù)y=f(x)關于直線x=a軸對稱，且在x=a處可導，則f′(a)=0.

2.關于點中心對稱的函數(shù)

性質4 函數(shù)y=f(x)關于點(a,b)中心對稱等價于f(a-x)+f(a+x)=2b(或f(2a-x)+f(x)=2b).

性質5 (1)若函數(shù)y=f(x)同時關于點(a,0)和點(b,0)中心對稱，則函數(shù)f(x)是一個周期函數(shù)，且周期T=2|a-b|；(2)若函數(shù)y=f(x)既關于直線x=b對稱，又關于點(a,0)成中心對稱，則函數(shù)f(x)是一個周期函數(shù)，且周期T=4|a-b|.

例7 若函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則( ).

A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數(shù)

解析：f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)關于(1,0)和(-1,0)中心對稱，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期T=4，則f(x+3)=f(x+3-4)=f(x-1)，則f(x+3)是奇函數(shù)，故選D.

3.關于直線y=x對稱的兩個函數(shù)

性質6 若兩個函數(shù)f(x)和g(x)互為反函數(shù)，則這兩個函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱.

4.函數(shù)與導函數(shù)的對稱關系

性質7y=f(x)是可導函數(shù)，若y=f(x)的圖像關于點(m,n)對稱，則y=f′(x)圖像關于直線x=m對稱；若y=f(x)圖像關于直線x=m對稱，則y=f′(x)圖像關于點(m,0)對稱.

5.利用函數(shù)的對稱性找不等關系

性質8 (1)已知函數(shù)f(x)關于點(m,n)成中心對稱，且f(x)為增函數(shù).若x1+x2>2m，則有f(x1)+f(x2)>2n.若x1+x2<2m，則有f(x1)+f(x2)<2n，反之亦然;(2)已知函數(shù)f(x)關于點(m,n)成中心對稱，且f(x)為減函數(shù).若x1+x2>2m，則有f(x1)+f(x2)<2n.若x1+x2<2m，則有f(x1)+f(x2)>2n，反之亦然.

例13 定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x+4)，當x>2時，f(x)單調遞增，若x1+x2>4且(x1-2)(x2-2)<0，則f(x1)+f(x2)和0的大小關系為.

解法一(代數(shù)方法)：由x1+x2>4且(x1-2)(x2-2)<0，則可假設x1<2，可得x2>4-x1>2，利用函數(shù)f(x)在x>2單調遞增，可得f(x2)>f(4-x1),利用f(-x)=-f(x+4)，可得f(4-x1)=-f(x1)，則可得f(x1)+f(x2)>0.

解法二(對稱函數(shù)的方法)：由f(x)滿足f(-x)=-f(x+4)，可知函數(shù)f(x)關于點(2,0)成中心對稱，連續(xù)函數(shù)f(x)在x>2單調遞增，可得f(x)在整個定義域上單調遞增，由x1+x2>4,則可得f(x1)+f(x2)>0.

綜上實例可以看出，函數(shù)的對稱性與函數(shù)的奇偶性、單調性、最值、周期性、方程的根及圖像的交點等性質結合，即考查從特殊(奇偶性)到一般(軸對稱和點對稱)的推理能力，又考查了化歸轉化能力.此類題靈活性強，條件較隱蔽，能較較好地考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的要求.