由一道課本習(xí)題說起

廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué) (527300) 黃梅娟

人教版必修1課本第82頁有這樣一道題：“比較log67與log76的大小”.本習(xí)題是學(xué)生學(xué)完基本初等函數(shù)之后的復(fù)習(xí)參考題，編者意圖是希望學(xué)生能用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)并借助中間值1來比較兩個(gè)數(shù)大小的關(guān)系，并希望學(xué)生通過這個(gè)題目掌握比較兩個(gè)數(shù)大小的基本方法. 筆者在教學(xué)中思考這樣一個(gè)問題，這兩個(gè)對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)之間有一定的聯(lián)系，能否一般化？即能否比較logn(n+1)與log(n+1)n(n∈N*)大小?更一般化，能否比較loga(a+1)和log(a+1)a(a>0且a≠1)大小? 本文用函數(shù)觀點(diǎn)探究其解法并推廣.

1 解題思路與方法

很明顯，當(dāng)a>1時(shí)，loga(a+1)>logaa>log(a+1)a，所以loga(a+1)>log(a+1)a.但當(dāng)0

(1)作商比較

(2)作差比較

2 探究并推廣

對數(shù)與指數(shù)是一對孿生兄妹，對數(shù)函數(shù)中具有的一般性質(zhì)在指數(shù)函數(shù)中是否也具有同樣性質(zhì)? 即當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，能否比較aa+1與(a+1)a大??？

①當(dāng)a∈(0,x0)時(shí)，lny1-lny2=f(a)<0， 所以aa+1<(a+1)a；②當(dāng)a∈(x0，+∞)時(shí)，lny1-lny2=f(a)>0， 所以aa+1>(a+1)a；③當(dāng)a=x0時(shí)，lny1-lny2=f(a)=0， 所以aa+1=(a+1)a.

3 應(yīng)用

例1 (2018年全國Ⅲ卷12)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3，則( ).

A.a+b

C.a+b<0

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的換底公式，學(xué)生對觀察能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力要求較高.

例2 (2017年全國Ⅰ卷11)設(shè)x,y為正實(shí)數(shù)，且2x=3y=5z，則( ).

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

A.a

C.b