依托數(shù)學(xué)文化 玩轉(zhuǎn)平面向量

湖北省襄陽(yáng)市第四中學(xué) (441021) 范 娜湖北省襄陽(yáng)市第一中學(xué) (441000) 王 勇

數(shù)學(xué)文化是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中，以數(shù)學(xué)文化為命題背景的試題立意深遠(yuǎn)、構(gòu)思精巧、內(nèi)涵豐富，既能考查數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、思想和方法，又能加深對(duì)中外數(shù)學(xué)文明的了解，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷，提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，豐厚數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn).融入對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查已成為新一輪高考命題改革的一個(gè)顯著特征.下面精選以數(shù)學(xué)文化為依托的平面向量問題七例并分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、以“八卦模型圖”為依托

圖1 圖2

A.4 B.3 C.2 D.1

點(diǎn)評(píng)：本題中八卦模型圖只是為了引出八邊形ABCDEFGH的一個(gè)載體，重要的是理解平面圖形，即正八邊形ABCDEFGH所包含的幾何性質(zhì)，在正八邊形ABCDEFGH中，通過對(duì)幾何圖形性質(zhì)的理解，利用向量的和差運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算等，逐一驗(yàn)證給出的四個(gè)結(jié)論是否正確而得解.

二、以“趙爽弦圖”為依托

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：本題借用“趙爽弦圖”考查平面向量的線性運(yùn)算，具體推理時(shí)有一定的難度.

圖5

圖6

點(diǎn)評(píng)：本題以“趙爽弦圖”的類比圖為背景命制，新穎別致，韻味十足.主要考查平面向量的線性運(yùn)算，具體推理時(shí)，需添加輔助線，極富思考性和挑戰(zhàn)性，是一道難得的好題.

三、以“黃金分割”為依托

圖7

點(diǎn)評(píng)：本題以黃金分割數(shù)及黃金分割點(diǎn)為載體命制，主要考查平面向量的線性運(yùn)算，對(duì)運(yùn)算求解能力要求較高.

四、以“勾股定理”為依托

圖8

點(diǎn)評(píng)：本題首先通過已知確定三角形的三邊長(zhǎng)，然后利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

五、以“歐拉線”為依托

例6 (2021·深圳市調(diào)考題)著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心的距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O,H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則( ).

圖9

圖10

點(diǎn)評(píng)：本題以三角形的歐拉線及歐拉線定理為背景命制，主要考查平面向量的線性運(yùn)算，具體推理時(shí)，有一定的難度.解法2利用特殊圖形法可輕松獲解，敬請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)品味和充分借鑒.

六、以“六芒星”為依托

圖11 圖12

A．-6 B.1 C.5 D.9

圖13

點(diǎn)評(píng)：本題是以“六芒星”為背景命制的多選題，圖形美觀大氣，主要考查平面向量的線性運(yùn)算，分類討論思想考查充分，借助圖形的結(jié)構(gòu)特征求出的取值范圍，進(jìn)而求出的可能取值.

縱觀以上各例，我們發(fā)現(xiàn)，此類平面向量題一般是從中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中挖掘素材，將數(shù)學(xué)文化與平面向量知識(shí)有機(jī)結(jié)合，要求考生對(duì)試題所提供的數(shù)學(xué)文化信息材料進(jìn)行整理和分析，在試題營(yíng)造的數(shù)學(xué)文化氛圍中，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的思維方式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神.