數(shù)學競賽中四點共圓問題的證明方法例析

揚州大學數(shù)學科學學院 (225002) 王洛川 濮安山

四點共圓問題通常通過構造輔助線與相似三角形等知識相結合，尋找邊角之間的數(shù)量關系，進行轉換，得到有效結論，利用對應的證明方法證明四點共圓.本文通過幾個典型例題總結分析數(shù)學競賽中四點共圓問題的不同證明方法，供參考.

一、利用三點確定一個圓

首先證明四點中的任意三點共圓，再證明第四個點在圓上.

圖1

例1 如圖1，設H為銳角三角形ABC的垂心，點D在直線AC上，HA=HD，四邊形ABEH為平行四邊形.證明：B,E,C,D,H五點共圓.

分析：本題雖然是一道證明五點共圓的問題，但是步驟、方法與四點共圓問題相同，可先證明B,C,D,H四點共圓，再證明第五個點E在此圓上，即證五點共圓.

圖2

證明：連接BH,HC,BD，如圖2.由BH⊥AD,HA=HD，BH為AD的垂直平分線.則∠HBD=∠HBA=90°-∠BAC=∠HCA.從而B,C,D,H四點共圓.再由AH⊥BC,AH∥BE，得BE⊥BC.由HC⊥AB,HE∥AB，得HE⊥HC.點B,E,C,H均在以EC為直徑的圓上.所以B,E,C,D,H五點共圓.

二、運用圓上點到圓心的距離相等

如果能證明四個點到某個點距離相等，可以確定這個點是一個圓的圓心，從而四點共圓.

圖3

例2 如圖3，給定一個銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊上的高線CC′及其延長線交于點M,N，以AC為直徑的圓與AC邊上的高線BB′及其延長線交于點P,Q.證明：M,N,P,Q四點共圓.

分析：本題利用射影定理和切割線定理，建立等量關系，證明了M,N,P,Q四點到點A的距離相等，則AM，AN,AP，AQ的長度為半徑，A為圓心，M,N,P,Q四點共圓.

圖4

證明：連接AM,BM，如圖4.由于AB,AC是兩圓的直徑，AB垂直平分MN，AC垂直平分PQ.故AM=AN,AP=AQ.在Rt△ABM中，MC′是斜邊上的高，由射影定理得AM2=AC′·AB，同理AP2=AB′·AC.因為∠BC′C=∠BB′C=90°，所以B,C,B′,C′四點共圓，由切割線定理得AC′·AB=AB′·AC，故AM2=AP2，即AM=AP.從而AM=AN=AP=AQ.故M,N,P,Q四點是在以A為圓心的圓上.

三、利用圓的性質：同弧所對的圓周角相等

若將所需證明的點連成共底邊的兩個三角形，頂角在同側且相等，則四點共圓.

圖5

分析：本題通過作輔助線構造平行四邊形得到邊的關系，利用圓周角的性質對角的關系進行等量變換，從而得到∠CDF=∠CBF，證明四點共圓.

圖6

四、利用圓內接四邊形性質定理的逆定理

若平面內四點連成的四邊形對角互補或者一個外角等于其內對角，則四點共圓.

圖7

例4 如圖7，AD,AH分別是△ABC(其中AB>AC)的角平分線、高線，點M是AD的中點，△MDH的外接圓交CM于點E.求證：∠AEB=90°.

分析：本題通過邊角關系證明三角形相似，利用等角的代換證明∠BHE與∠BAE互補，從而證明四點共圓.因為同弧所對的圓周角相等，即證∠AEB=90°.

圖8

五、利用相交弦的逆定理

相交弦定理的逆定理：把被證四點連成兩兩相交的線段，若它們各自被交點分成的兩線段之積相等，則四點共圓.

圖9

例5 如圖9，在△ABC中，已知AB≠AC，O為△ABC的外心，∠BAC的角平分線與BC交于點D，點E與D關于BC的中點對稱，作DX⊥BC交AO于X，EY⊥BC交AD的延長線于Y，求證：B,X,C,Y四點共圓.

分析：本題作Y對稱點Y′，構造出兩條相交弦BC和XY′，將證明B,X,C,Y四點共圓轉換為B,X,C,Y′四點共圓.利用圓周角的性質證明X,A,Y′,P四點共圓，再通過相交弦定理和等量代換，得到XD·DY′=BD·DC，證明四點共圓.

圖10

六、利用割線定理的逆定理

將四點兩兩連接并延長交于一點，若從交點出發(fā)至一條線段的兩個端點所成線段之積等于從交點出發(fā)至另一條線段的兩個端點所成線段之積，則四點共圓.

圖11

分析：本題的第二問要證∠BCF=∠BEF，這兩個角可以看作弦EF所對的圓周角，即證B,C,E,F四點共圓，利用第一問的結論和邊的等量關系證明AE·AC=AF·AB，證明四點共圓，得到結論.

七、利用托勒密定理的逆定理

托勒密定理的逆定理：對于任意一個凸四邊形ABCD，總有AB·CD+BC·AD≥AC·BD，等號成立的條件為ABCD四點共圓.利用此定理證明四點共圓通常需要找到邊與邊的數(shù)量關系.

圖12

例7 如圖12，設橢圓C的兩角點為F1,F2，兩準線為l1,l2，過橢圓上的一點P，作平行于F1F2的直線，分別交l1,l2于M1,M2，直線MF1與MF2交于點Q，證明：P,F1,Q,F2四點共圓.

分析：本題是橢圓中的四點共圓問題，利用托勒密定理，巧妙地得到所設參量和橢圓離心率的關系等式，再利用橢圓的性質進行帶參計算，化簡證明等式成立，即證四點共圓.