追求更加自然的數(shù)學(xué)教學(xué)*
——以“正、余弦定理”為例

江蘇省新沂市第一中學(xué) (221400) 吳玉章

力求“教學(xué)自然”、能夠“自然的教”早已成為了教育界的共識，但“自然”本身的內(nèi)涵就是一個需要逐漸明析和掌握的對象.雖然夸美紐斯在《大教學(xué)論》中也提出了教育要遵循知識的自然邏輯順序與學(xué)生的自然認知規(guī)律的觀點，但怎樣的邏輯順序與認知規(guī)律才算“自然”依舊在探究發(fā)展之中，實際教學(xué)中，“自然不自然”既要依賴于個體的主觀判斷，更需要廣大教師得法的“自然”實踐.

1.尊重教材意圖就是自然？

教材并不僅僅是知識的載體，更是教師開展教學(xué)的范本.教材中知識結(jié)構(gòu)、內(nèi)容分布、呈現(xiàn)方式等都是教育專家深思熟慮的結(jié)果，是教育智慧的結(jié)晶，承載著發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的育人功能.教材也在不斷的升級更新，其編寫細節(jié)處理也趨向完善，以人教A版數(shù)學(xué)教材來說，2019版在各方面的表現(xiàn)顯然超過了老版.因此，很多教師就以為，只要對照教材教，尊重教材的意圖，教學(xué)就會“自然”.

在人教A版(2019)中，正、余弦定理的引入是借助初中全等三角形判定定理引入的.因為，全等三角形判定定理中涉及到三角形的邊角關(guān)系，而正、余弦定理恰好是對邊角關(guān)系的定量刻畫，把這兩者聯(lián)系起來確實是“自然”的.在余弦定理的推導(dǎo)中，教材通過對“邊角邊”這個判定法則合理性的思考，提出如何把這個法則“代數(shù)化”“定量化”的問題；再通過類比向量數(shù)量積公式，發(fā)現(xiàn)“兩邊一夾角”的共同特征，從而想到了用數(shù)量積運算來推導(dǎo)余弦定理.不可否認這個過程也是“自然”的.在正弦定理推導(dǎo)中，教材先借助直角三角形的特殊性猜想出邊角關(guān)系，然后再構(gòu)造向量數(shù)量積去證明推導(dǎo)，這個過程看上去似乎也是“自然”的.眾所周知余弦定理與正弦定理是三角形邊角關(guān)系的兩種表征，其本質(zhì)是一致的，但兩個定理的推導(dǎo)過程沒有充分體現(xiàn)這一特性，余弦定理直接用數(shù)量積推導(dǎo)，而正弦定理卻先要借助直角三角形進行猜想，這種“雙標”的操作就顯得不是那么“自然”.

雖然，凸顯“自然”是教材編寫的一大原則，但并非是唯一原則.教材的編寫不僅要兼顧各方因素，不能做到十全十美，因此，照搬教材不可取，教師應(yīng)該堅持“用教材”的原則，通過自己的教學(xué)智慧彌補教材中的不足，也只有這樣才能確保教學(xué)“自然”.

2.學(xué)生聽得懂就是自然？

雖然說讓學(xué)生聽懂是數(shù)學(xué)教學(xué)的最基本要求，但由于數(shù)學(xué)具有高度抽象化及形式化的特征，學(xué)生要真正聽懂?dāng)?shù)學(xué)其實也并非易事.這需要教師想辦法把數(shù)學(xué)抽象的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生理解的教育形態(tài)，這就要求把數(shù)學(xué)以一種“自然”的方式呈現(xiàn)給學(xué)生.于是就有教師認為，只要學(xué)生聽懂了，“教學(xué)自然”就達成了.事實果真如此嗎？

為了凸顯正、余弦定理的一致性、統(tǒng)一性，有老師嘗試用新的方法來推導(dǎo)，從而實現(xiàn)“一箭雙雕”效果：

圖1

雖然推導(dǎo)方法簡單、簡潔，而且多數(shù)學(xué)生都能聽懂，但難就難在“圖形構(gòu)造”上.不僅學(xué)生很難想到，而且教師也很難給出相應(yīng)的解釋，比如，為什么這樣構(gòu)造？這樣構(gòu)造有什么好處？因此，這種證明方法并不那么“自然”.

其實，“自然”的教學(xué)過程有助于學(xué)生聽懂與理解，但若要讓學(xué)生是否聽懂并取決于教學(xué)是否“自然”.教師可以通過一些手段促使學(xué)生聽懂，比如講慢一點、設(shè)置一些鋪墊性的問題、多做點配套的練習(xí)等.不僅如此，有時學(xué)生聽懂了也并不意味著理解，“懂而不會”的現(xiàn)象也在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛存在.

3.揭示知識本質(zhì)就是自然？

數(shù)學(xué)本質(zhì)宏觀上指的是數(shù)學(xué)觀,即數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神，微觀指的是具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義,也就是我們所教知識的本質(zhì)意義.數(shù)學(xué)本質(zhì)作為數(shù)學(xué)的核心價值，是數(shù)學(xué)課程標準中強調(diào)需要加深認識和理解的關(guān)鍵內(nèi)容.數(shù)學(xué)知識往往都有多重表征，變化多端，但數(shù)學(xué)本質(zhì)相對穩(wěn)定，掌握了數(shù)學(xué)本質(zhì)不僅有助于更好的理解知識，而且對數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，有助于學(xué)生表達現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系、規(guī)律和結(jié)構(gòu)，從而為核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ).因此，那么是不是揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)就“自然”呢？

圖2

三角函數(shù)所以被稱為“圓函數(shù)”因為它本質(zhì)上就是圓性質(zhì)的三角表征，這就是為什么對于三角函數(shù)的研究都是借助單位圓模型來完成的.其實，正、余弦定理也不例外，它們的背后也隱藏著圓的幾何屬性.對于正弦定理，顯然它所對應(yīng)的幾何意義就是“圓的直徑”，這也是正弦定理的幾何本質(zhì).對于余弦定理，它對應(yīng)的幾何本質(zhì)實際上就是“圓冪定理”，即余弦定理是“圓冪定理”的幾何表征.如圖2，△ABC在中，以C為圓心，較短腰CB為半徑作圓，交AC及其延長線于F、E，交AB于G.由圓冪定理得|AG||AB|=|AE||AF|，即(|AB|-|GB|)|AB|=(|AC|+|BC|)|(|AC|-|BC|)，c2-2accosB=b2-a2，即b2=a2+c2-2accosB，同理可以得到余弦定理的另外兩種形式.

上述定理的推導(dǎo)過程看上去“自然”，并且揭示了余弦定理的幾何本質(zhì)，但遺憾的是沒有體現(xiàn)向量的工具作用.當(dāng)下的教材中，正、余弦定理從三角函數(shù)單元中剝離出來，編排于“向量的應(yīng)用”之中，其意圖是通過這兩個定理的推導(dǎo)，來進一步凸顯向量在研究平面幾何問題中的工具作用.而以上定理推導(dǎo)不符合教材的意圖，因此就很“不自然”.

4.到底怎樣才是自然？

用“自然”理念來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要求數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、數(shù)學(xué)問題提出與解決是數(shù)學(xué)知識邏輯發(fā)展所自然產(chǎn)生的，或者是學(xué)生在學(xué)習(xí)中能自然感悟到的，是基于他們原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的自然發(fā)展與完善，而且還要把“自然”貫穿到教學(xué)的全過程，在尊重知識前后的連續(xù)性、一致性及聯(lián)系性的基礎(chǔ)上，自然的呈現(xiàn)知識、自然的產(chǎn)生問題、自然形成的方法、自然的環(huán)節(jié)過渡.比如說，上述提及的余弦定理是用數(shù)量積直接推導(dǎo)，而正弦定理是借助直角三角形先發(fā)現(xiàn)后證明，即兩個定理推導(dǎo)思路不一致的問題，我們可以這樣去解決，即在余弦定理推導(dǎo)中不妨也借用一下“直角三角形”.

問題1 三角形中有關(guān)于邊的等量關(guān)系嗎？(直角三角形中的勾股定理，即b2=a2+c2)

問題2 如果這個三角形不是直角三角形，勾股定理還滿足嗎？(不滿足)

問題3 如果是銳角或鈍角三角形，那么它們?nèi)龡l邊的平方滿足什么關(guān)系？(借助特殊值進行驗證，發(fā)現(xiàn)銳角b2a2+c2)

問題4 如果要把三條邊平方的不等關(guān)系變?yōu)橄嗟汝P(guān)系，應(yīng)該怎么做？(左右一個數(shù)，這個數(shù)跟對應(yīng)的角有關(guān)，相當(dāng)于已知兩邊一夾角求第三邊)

通過上述問題引導(dǎo)，學(xué)生不僅能回到推導(dǎo)余弦定理的正軌上，而且經(jīng)歷了借助直角三角形去發(fā)現(xiàn)定理的過程，這為正弦定理的“自然”推導(dǎo)積累了經(jīng)驗.

由于“向量的工具作用”貫穿本章的始終，因此，在兩個定理的推導(dǎo)中要始終圍繞著向量研究幾何問題的一般步驟來設(shè)計教學(xué)流程，即幾何關(guān)系向量化——向量運算——運算結(jié)果“翻譯”為幾何關(guān)系.這樣才能保持教學(xué)的一致性與連貫性，從而確保了整個單元的教學(xué)“自然”.

當(dāng)然，教學(xué)不可追求人為的“自然”而生搬硬套、矯情造作，而是在于引導(dǎo)學(xué)生自然的去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造，使學(xué)生在不知不覺中完成了學(xué)習(xí)任務(wù)、發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).