“二次函數(shù)與面積總復(fù)習(xí)”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析*

內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 程雪蓮 趙思林四川省成都市石室中學(xué) (610015) 李賢江

1 引言

二次函數(shù)與面積綜合問題是初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生總復(fù)習(xí)和中考的難點(diǎn).二次函數(shù)可以聯(lián)系一次函數(shù)、反比例函數(shù)、方程、不等式、平面幾何(含距離、角度、面積等)、最優(yōu)化等知識(shí)或?qū)嶋H問題而形成有一定難度的面積綜合問題，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)去分析和解決問題有一定幫助.對(duì)一堂初三“二次函數(shù)與面積總復(fù)習(xí)”教學(xué)觀摩課作了實(shí)錄，并介紹了一線教師和學(xué)科專家的評(píng)課.

2 課堂實(shí)錄

讓學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，引入新課.

例已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A(-1,0)、B(0,5)，C(2,9).

問題1 求過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式.

師：我們可以怎樣求二次函數(shù)的解析式？

生1：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，然后將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到一個(gè)三元一次方程組，從而解得a=-1,b=4,c=5.故y=-x2+4x+5.

師：這里用了什么數(shù)學(xué)方法？

生1：待定系數(shù)法.

師：很好.解析式還有其他設(shè)法嗎？(必要時(shí)提示：點(diǎn)B(0,5)的特點(diǎn))

生2：由拋物線在y軸上的截距是5，所以可設(shè)其解析式為y=ax2+bx+5.以下從略.

問題2 求△ABC的面積.

師：求解思路是什么？

圖1

生3：如圖1所示，AC與y軸于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ABD+S△DBC=BD·(CG+OA)÷2=BD·(|xA|+xC)÷2.因?yàn)锽D的長(zhǎng)度可以通過確定點(diǎn)D的坐標(biāo)得到，所以可設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A、C的坐標(biāo)代入后可求得y=3x+3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3)，所以BD=|yB-yD|=2，故S△ABC=3.

師：還有沒有其他方法？

師：非常好.這些方法總是要用到“割”“補(bǔ)”的思想方法，這是處理面積(體積)問題的通性通法.

評(píng)析：該問題是一個(gè)具有思維價(jià)值的問題，能激活學(xué)生思維的發(fā)散性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.老師的總結(jié)很必要、很到位.

問題3 在x軸上是否存在點(diǎn)K，使得B、C、K三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形？如果存在，請(qǐng)算出這個(gè)三角形的面積；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

生7：可以先假設(shè)點(diǎn)K存在，并設(shè)點(diǎn)K(a,0)，再利用勾股定理解答.

師：?jiǎn)栴}是沒有明確哪一個(gè)角是直角，因此需要分類討論.

圖2

生8：如圖2，可以分三種情況，再利用勾股定理：

(1)若∠CBK=90°，

BC2+BK2=CK2；

(2)若∠BCK=90°，

BC2+CK2=BK2；

(3)若∠BKC=90°，BE′2+CK2=BC2.

師：對(duì).現(xiàn)在的問題是，如何用坐標(biāo)把線段BC、BK、CK的長(zhǎng)表示出來？(類比問題2的解答)

師：很好.解出來的答案是什么？

(3)無實(shí)數(shù)解.

評(píng)析：該問題的難處在于，需要先構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理，最后用坐標(biāo)表示出兩點(diǎn)之間的距離.

問題4 設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為L(zhǎng)，點(diǎn)Q在拋物線上且在直線BL上方.在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以B、L、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，并求該平行四邊形的面積；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

生9：不存在.因?yàn)楫?dāng)BL∥PQ且BL=PQ時(shí)，四邊形BLQP才是平行四邊形.而點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q拋物線上且在直線BL上方.因此，從圖形觀察可知，同時(shí)滿足BL∥PQ且BL=PQ的情況不存在.

師：在這種情況下P、Q的確不存在.但還有沒有其他可能的情況？比如，BL不是平行四邊形的一邊.

生10：當(dāng)BL是BPLQ的對(duì)角線時(shí)，就有可能了.設(shè)P(2,m)，Q(n,-n2+4n+5)，可用平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)解決.

圖3

.

E

F

.

生11：觀察發(fā)現(xiàn)，E′F′中點(diǎn)坐標(biāo)是1.

師：還有沒有其他方法？

圖4

現(xiàn)在如何由中點(diǎn)O′的坐標(biāo)來求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)？

師：對(duì).怎樣求平行四邊形的面積？

生11：可以以BP為底邊，過點(diǎn)L向BP作垂線，從而得到BP邊的高，不過高的長(zhǎng)度不知道怎么求.

師：這個(gè)思路比較自然，但高就是點(diǎn)到直線的距離，我們現(xiàn)在還不容易求出來.這時(shí)需要同學(xué)們另外想辦法方法.比如，可否嘗試用問題2的思路即“割補(bǔ)”的方法解決呢？

師：對(duì).這里我們?cè)俅误w會(huì)到“割補(bǔ)”方法的巧妙.還需注意在分析時(shí)要善于分類討論，并做到不重不漏.

圖5

問題5 如圖5，一次函數(shù)y=x+2的圖象與拋物線交于T、R點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)W，與y軸交于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)S是拋物線弧BR上的一點(diǎn)(不與B、R點(diǎn)重合)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m取何值時(shí)△WNS的面積取得最大值？并求出最大值.

師：這個(gè)最值問題怎樣解決？

師：這思路很好.但WN邊上高用什么方法求呢？

生14：沒有.

圖6

生15：如圖6，可以過點(diǎn)S向x軸作垂線交直線TR于點(diǎn)S′，交x軸于點(diǎn)V，其中S′(m,m+2)，利用S△WNS=S△WSS′-S△NSS′可以求得.

師：△WSS′和△NSS′的面積如何求？

生15：以SS′為底，再找到△WSS′和△NSS′在SS′上的高即可.

師：如何找到SS′上的高？是否可以構(gòu)造直角三角形？

師：這個(gè)題目雖較難，但只要善于采用“構(gòu)造(直角三角形)”“數(shù)形結(jié)合”“割補(bǔ)”“面積變換”等思想方法，問題就會(huì)迎刃而解.因此，“構(gòu)造”“割補(bǔ)”“數(shù)形結(jié)合”“面積變換”是解決二次函數(shù)與面積綜合問題的幾個(gè)關(guān)鍵詞.

師：本課運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)方法？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？

生16：本課運(yùn)用了觀察法、待定系數(shù)法、割補(bǔ)法、假設(shè)法、反證法等數(shù)學(xué)基本方法，還用了數(shù)學(xué)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

評(píng)析：歸納總結(jié)有利于開發(fā)元認(rèn)知，有利于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

3 教學(xué)評(píng)價(jià)

初三復(fù)習(xí)課應(yīng)以問題串為載體，體現(xiàn)問題性、綜合性、探究性和銜接性.本課師生從問題出發(fā)，重視“四能”的培養(yǎng)，師生互動(dòng)比較充分，學(xué)生思維活躍，是一堂成功的探究型復(fù)習(xí)課.一線教師和學(xué)科專家普遍認(rèn)為本課具有以下特點(diǎn)：

問題性：基于“問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題是教學(xué)的心臟，問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的心臟[1]”和“問題是思維的土壤”，本課圍繞“二次函數(shù)和面積”設(shè)置問題串，體現(xiàn)了“為問題而教”“為問題而學(xué)”“為問題解決而教”“為問題解決而學(xué)”的教學(xué)理念.問題串的解決需依托數(shù)學(xué)的核心知識(shí)和思想方法，問題之間層層遞進(jìn)，讓學(xué)生思維經(jīng)歷“由淺到深”“由單一到發(fā)散”“由固定到開放”等思維過程.

綜合性：綜合性問題是學(xué)生發(fā)展“四能”和核心素養(yǎng)的重要載體.本課幫助學(xué)生比較系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形、平行四邊形等基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)習(xí)了待定系數(shù)法、觀察法、割補(bǔ)法、反證法等數(shù)學(xué)基本方法，運(yùn)用和領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.5個(gè)新穎的典型問題，對(duì)學(xué)生而言是沒有做過的，問題的難度逐步加大，具有較好的區(qū)分度，能夠使不同層次的學(xué)生在問題分析、問題探究與問題解決過程中得到不同的發(fā)展.綜合情境才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

探究性：本課注重通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一個(gè)個(gè)問題“抽絲剝繭”，探究如何構(gòu)造垂線、構(gòu)造直角三角形，靈活運(yùn)用分割法求三角形、平行四邊形的面積.問題2通過構(gòu)造三角形，解決面積問題；問題3本身是一個(gè)非常典型的探究性問題，通過構(gòu)造直角三角形、利用勾股定理，用坐標(biāo)表示兩點(diǎn)之間的距離；問題4意在引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會(huì)探究線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式；問題5是一個(gè)需要構(gòu)造二次函數(shù)，并探究其最值的問題.

銜接性：培養(yǎng)學(xué)生的持續(xù)學(xué)習(xí)能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).本課探索的兩點(diǎn)之間的距離公式、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，既培養(yǎng)學(xué)生的全腦思維有好處(因?yàn)檫@兩個(gè)公式的發(fā)現(xiàn)，需要學(xué)生直觀的幾何思維(右腦)與精確的代數(shù)思維(左腦)的結(jié)合與轉(zhuǎn)換)，又有利于學(xué)生為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

需要說明的是，本課存在容量大、難度高的問題.本課適合安排2課時(shí).問題3和問題4都有與高中解析幾何接軌的意圖，這是很好的，但要控制難度和運(yùn)算量，否則讓學(xué)生吃“夾生飯”就得不償失了.這種初三復(fù)習(xí)綜合課的設(shè)計(jì)與實(shí)施，需要教師提升MPCK素養(yǎng)和教研創(chuàng)新素養(yǎng)[2].