無軸承薄片電機位移剛度勢能懸浮控制策略研究

丁強，江瑩旭，倪拓成

（1.南京工業(yè)職業(yè)技術大學電氣工程學院，江蘇南京 210023；2.江蘇省風力發(fā)電工程技術中心，江蘇南京 210023；3.蘇州新智機電工業(yè)有限公司，江蘇蘇州 215000）

無軸承永磁薄片電機（bearingless permanent magnet slice motor，BPMSM）作為一種磁懸浮特種電機，具有無機械磨損、無需潤滑、壽命長的特點，在超潔凈場合（如半導體清洗、食品化工、生命醫(yī)療等）有著廣泛的應用前景[1-3]。

BPMSM的軸向尺寸較短，一般僅為轉(zhuǎn)子直徑的1/3～1/4，因此可以利用永磁體產(chǎn)生的磁阻力實現(xiàn)轉(zhuǎn)子在軸向平移方向和扭轉(zhuǎn)方向的被動穩(wěn)定懸浮。但其徑向自由度是被動不穩(wěn)定的，需要通過在繞組中注入懸浮電流主動控制徑向力，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子在徑向的二自由度懸浮[4]。因此，無軸承薄片電機懸浮控制對系統(tǒng)的魯棒性和安全性尤為關鍵。

針對無軸承電機懸浮系統(tǒng)的控制，不少學者基于現(xiàn)代控制理論、非線性控制理論等提出了各種優(yōu)化控制算法。文獻[5]針對懸浮控制磁鏈精度不足的缺陷，采用基于鎖相環(huán)原理的磁鏈觀測器算法。文獻[6]為解決轉(zhuǎn)矩和懸浮力之間的耦合問題，將神經(jīng)網(wǎng)絡的思想引入無軸承的控制中。除此以外，直接懸浮力控制[7-9]、自抗擾控制[10-12]也是學界研究的熱點。盡管如此，PID控制由于算法實現(xiàn)簡單，仍然是無軸承懸浮控制中應用最為廣泛的控制器。

然而在實際懸浮系統(tǒng)調(diào)試過程中，由于位移環(huán)PID參數(shù)整定過程缺乏理論指導，確定一組既能保證懸浮系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定，又能滿足動靜態(tài)懸浮性能需求的參數(shù)，通常需要較多時間嘗試。針對此問題，本文對懸浮控制PID參數(shù)的穩(wěn)定域范圍進行了理論探究。在此基礎上，本文進一步分析了微分環(huán)節(jié)濾波對懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響，指出PID控制所存在的問題，為工程實踐提供了指導。

為了進一步改善懸浮系統(tǒng)動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，本文提出一種基于轉(zhuǎn)子位移剛度勢能控制的算法，該算法使轉(zhuǎn)子處于低勢能位時可以以最快的速度向平衡位置運動，在高勢能位時，以無超調(diào)的運動狀態(tài)到達穩(wěn)定位置，兼顧了動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。本文用理論推導證明了方案的可行性，并通過仿真和實驗驗證了算法的有效性和魯棒性。

1 電機結構及徑向力模型

以圖1所示6齒1對極單繞組無軸承永磁薄片電機為例，推導建立電機徑向懸浮力數(shù)學模型。

圖1 單繞組無軸承永磁薄片電機Fig.1 Single-winding BPMSM

從產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的角度來看，此電機可以看成六相電機，假設各相轉(zhuǎn)矩電流為

式中：At，θt分別為轉(zhuǎn)矩電流的幅值和相位；n為繞組編號（n=1，2，…，6）。

若電機轉(zhuǎn)矩控制采用直軸電流id=0的矢量控制算法，則轉(zhuǎn)矩電流相位θt始終超前轉(zhuǎn)子相位90°。

基于式（1）轉(zhuǎn)矩電流表達式，為了滿足懸浮磁場與轉(zhuǎn)矩磁場極對數(shù)相差1對極的基本原理，各相繞組中懸浮電流可以表示為

式中：Al，θl分別為懸浮電流的幅值和相位。

利用磁場疊加原理，通過麥克斯韋力的方程可推導電機徑向懸浮力數(shù)學表達式為[13]

式中：μ0為真空磁導率；r，h，leg分別為電機轉(zhuǎn)子的外半徑、軸向長度以及等效氣隙長度；α為電機定子齒的極弧寬度；APM為電機轉(zhuǎn)子永磁體的磁勢幅值；θr為電機轉(zhuǎn)子機械轉(zhuǎn)角；lpx，lpy分別為電機轉(zhuǎn)子在徑向x，y方向上的偏心距離。

分析電機徑向力模型可知，轉(zhuǎn)子的徑向受力由兩部分構成，第一部分與懸浮電流的幅值和相位有關，此部分是通過注入懸浮電流實現(xiàn)的主動控制部分。第二部分與轉(zhuǎn)子的偏心位置有關，由于leg通常變化較小并且APM＞＞At，因此系數(shù)kxx和kyy可近似認為是常數(shù)，后文中統(tǒng)一表示為ks。由此可以看出，第二部分徑向力正比于轉(zhuǎn)子的偏心位移，并且其作用方向總是指向偏離平衡位置的方向，因此該力是無軸承電機懸浮系統(tǒng)中的不穩(wěn)定因素，稱之為徑向被動剛度力。通常意義上，本文所述的懸浮力指的是第一項由懸浮電流產(chǎn)生的徑向力，只要控制懸浮電流的幅值即可控制懸浮力的大小、控制懸浮電流的相位，即可控制懸浮力在x，y軸上的分量，也即控制力的方向。

2 位移環(huán)PID參數(shù)整定及其問題

在不考慮徑向力負載或擾動的情況下，無軸承電機位移環(huán)結構如圖2所示，sref為參考位移，一般設定為零；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；ks為轉(zhuǎn)子的位移剛度系數(shù)；kp，ki，kd分別為PID控制參數(shù)；Td為微分環(huán)節(jié)的濾波時間。

圖2 無軸承電機位移環(huán)路傳遞函數(shù)Fig.2 Displacement loop transfer function of BPMSM

根據(jù)圖2可以寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

暫時不考慮微分項的濾波時間，則表達式可寫為

對應的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為

根據(jù)勞斯判據(jù)不難得出懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

式（10）給出的僅是無軸承電機懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件。為了能滿足一定的懸浮性能要求，需要對PID參數(shù)作進一步約束。從閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程可以看出該系統(tǒng)是三階系統(tǒng)，存在三個極點。為了兼顧動態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能，將其中一個極點分配在負實軸上，另外兩個為共軛的主導極點，則特征方程可寫成如下形式：

式中：z0為位于實軸的極點；ξ，ωn分別為二階環(huán)節(jié)的阻尼比和角頻率。

將式（11）對比式（9）可以得到：

考慮到共軛極點對性能起到主導作用，將非主導極點（-z0，0）到虛軸距離配置為共軛極點到虛軸距離3倍以上，則有：

式中：p為系數(shù)。

至此，可以根據(jù)式（12）、式（13）對PID參數(shù)進行約束。為了兼顧動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，ξ和p分別取0.707和5。由此可將三個參數(shù)的自由度約束為關于kp系數(shù)的整定。

圖3為kp不同取值時的階躍響應曲線。由圖3可以看出，kp系數(shù)越大，系統(tǒng)的動態(tài)性能越好。相應的，整定的kd也會越大。無軸承電機懸浮控制實踐表明微分環(huán)節(jié)會引入噪聲，導致系統(tǒng)穩(wěn)定裕度降低。因此需要根據(jù)位移反饋信號的噪聲條件，限制微分系數(shù)的大小，并且在微分環(huán)節(jié)上加入小濾波環(huán)節(jié)來改善信噪比。但是，濾波環(huán)節(jié)的引入對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響卻未能得到足夠的重視。

圖3 不同kp取值下的階躍響應Fig.3 Step response of different kp

圖4為kp取5倍ks的情況下，根據(jù)上述的參數(shù)整定結果，選取不同的Td繪制波特圖。當Td=0時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性較強，相角裕度有90°。加了濾波環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的相角裕度顯著減小，即便Td取值僅有10-5，相角裕度也已經(jīng)降低到20°以內(nèi)，當Td取值超過5×10-4時，相角裕度已經(jīng)非常接近零，此時系統(tǒng)已經(jīng)瀕臨不穩(wěn)定。顯然，在存在Td的情況下，原整定的參數(shù)已經(jīng)較難穩(wěn)定，則需要再一次進行調(diào)整，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

圖4 不同Td取值下的波特圖Fig.4 Bode diagram of different Td

圖5為濾波系數(shù)Td取0.001時，在初始整定參數(shù)的基礎上調(diào)整微分系數(shù)繪制波特圖?？梢钥吹?，微分系數(shù)可以提高相角裕度，但微分系數(shù)減小會犧牲系統(tǒng)的響應帶寬。當kd降低到初始值kd0的0.01時，相角裕度反而出現(xiàn)了輕微的下降，此時降低微分系數(shù)不僅犧牲了帶寬，還降低了穩(wěn)定性能。

圖5 不同kd取值下的波特圖Fig.5 Bode diagram with different kd

綜合上述分析，可以歸納無軸承電機懸浮系統(tǒng)位移環(huán)PID控制存在如下問題：

1）懸浮系統(tǒng)動態(tài)性與穩(wěn)定性的矛盾。kp越大系統(tǒng)動態(tài)性能越好，但同時需要的kd越大，則導致信噪比降低，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性受到影響。

2）懸浮系統(tǒng)信噪比與穩(wěn)定性的矛盾。增加慣性濾波環(huán)節(jié)Td可提高信噪比，但會降低系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。同樣，減小kd也可以提高信噪比，但同樣降低穩(wěn)定裕度。

考慮到微分環(huán)節(jié)濾波的影響，應根據(jù)實際信號的信噪比，選取盡可能小的微分濾波系數(shù)，并在此基礎上適當調(diào)整微分系數(shù)以獲得更好的穩(wěn)定裕度。

3 位移剛度勢能懸浮控制

上一節(jié)分析了無軸承電機懸浮系統(tǒng)位移環(huán)PID參數(shù)整定及其存在的固有問題。由于PID算法是基于線性調(diào)節(jié)器理論進行設計的，在無軸承電機懸浮系統(tǒng)控制實踐中，由于噪聲、濾波環(huán)節(jié)等因素的存在，轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定裕度和實際的位移響應并非如預期的理想，實際中總是存在震蕩超調(diào)等問題。

無軸承電機懸浮控制的基本目標為，當電機轉(zhuǎn)子偏離中心時，系統(tǒng)可以有較快的速度回到中心平衡位置，并且位移控制的超調(diào)量要盡可能小。同時，懸浮系統(tǒng)需要對給定量有著較好的跟蹤性能，在轉(zhuǎn)子受到擾動偏離中心平衡位置時具有較好的魯棒性?，F(xiàn)代控制理論已經(jīng)證明，采用開關控制，也即Bang-Bang控制，是一種時間最優(yōu)的控制方案。當偏電機轉(zhuǎn)子位移偏離中心平衡位置時，轉(zhuǎn)子回復到平衡狀態(tài)的時間最短、動態(tài)性能最優(yōu)。但是，當轉(zhuǎn)子處于中心平衡位置或者中心平衡位置附近時，傳統(tǒng)Bang-Bang控制的機理決定其所輸出的懸浮力在限幅邊界處來回切換，導致轉(zhuǎn)子始終處于振動狀態(tài)。為解決上述問題，本文提出了基于位移剛度力場勢能的懸浮控制算法。

當電機轉(zhuǎn)子處于自由狀態(tài)時，也即沒有可控懸浮力和其他外力作用時，轉(zhuǎn)子僅受到位移剛度力的作用。如式（3）所示，該力正比于轉(zhuǎn)子偏離平衡位置的位移。類比于重力勢能的概念，轉(zhuǎn)子在位移剛度力場的作用下，也具有對應的勢能，稱之為位移剛度勢能。如果將平衡位置的勢能定義為0，則位移剛度力勢能Es和位移s之間的關系滿足式（14），其曲線如圖6所示。

圖6 位移剛度力場下的轉(zhuǎn)子勢能Fig.6 Rotor potential energy in stiffness force field

由圖6勢能曲線可以看出，當懸浮系統(tǒng)無可控懸浮力作用時，無軸承電機轉(zhuǎn)子徑向自由度為不穩(wěn)定系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子在中心平衡位置O的勢能最大，因此當電機轉(zhuǎn)子受到外部擾動便會向勢能低的位置運動且無法自發(fā)的回到穩(wěn)定位置。

電機轉(zhuǎn)子機械能可以表示為剛度勢能和動能EV之和，即

式中：s0，v0分別為初始時刻轉(zhuǎn)子的位置和速度。

由于無軸承電機懸浮控制目標是將轉(zhuǎn)子控制在中心位置并且靜止，從能量角度需要滿足：

假設k時刻轉(zhuǎn)子的位置和速度狀態(tài)分別為sk和vk，其總機械能為ET0。系統(tǒng)的末狀態(tài)的速度和位移均為零，根據(jù)能量守恒定律：

式中：F為懸浮力。

寫成離散的形式即為

受懸浮繞組載流量的限制，控制量懸浮力的作用邊界如下：

式中：Fmax為懸浮力的最大值。

剛度勢能控制過程如圖7所示。

由圖7可知，在k時刻需要計算懸浮力輸入給轉(zhuǎn)子的能量，也即懸浮力Fk與位移差值Δsk+1（Δsk+1=sk+1-sk）的乘積。為使得系統(tǒng)的能量盡快歸零，每拍輸入的能量應盡可能多，但當轉(zhuǎn)子的能量滿足：

表明k時刻懸浮力即使作用到最大，也無法令轉(zhuǎn)子等效勢能立即歸零。

因此當轉(zhuǎn)子能量較低時，可以讓懸浮力處于作用域[-Fmax，F(xiàn)max]的邊界上，此時等效勢能便會以最快的速度增加，其控制效果和Bang-Bang控制等同。當電機轉(zhuǎn)子能量增加，較為接近零勢能點時，如圖7中k+n時刻，計算需要給定的懸浮力滿足：

表明此時需要輸出的懸浮力處于作用域內(nèi)，經(jīng)過該力一拍的作用，系統(tǒng)能量可精確歸零，不存在超調(diào)，解決了Bang-Bang控制在平衡位置附近造成的控制量變化巨大引起轉(zhuǎn)子震動的問題。

可以看出，上述每個時刻計算輸出懸浮力時均需知道在該懸浮力作用下的位移Δsk+1，從而計算出在該時間段內(nèi)輸入給轉(zhuǎn)子的能量。電機的運動狀態(tài)方程如下：

式中：Ts為控制周期。

可以根據(jù)本拍轉(zhuǎn)子狀態(tài)預測出下一拍轉(zhuǎn)子位移sk+1。將其與本拍位移sk作差后可計算出Δsk+1。

4 徑向負載觀測器

以上基于位移剛度勢能的控制算法避免了傳統(tǒng)PID控制中參數(shù)整定困難的問題，在繼承Bang-Bang控制動態(tài)性能優(yōu)勢的基礎上，提升了電機轉(zhuǎn)子在中心平衡位置附近的控制性能。然而，以上推導均基于無其他徑向力的前提。實際上，無軸承電機懸浮系統(tǒng)中除了位移剛度力和可控懸浮力之外，往往還存在徑向的負載力、轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡引起的偏心力等，這些徑向力的作用將使得每個控制周期內(nèi)輸入到轉(zhuǎn)子的能量產(chǎn)生偏差，導致轉(zhuǎn)子無法穩(wěn)定在能量最高處。針對此問題，有必要對轉(zhuǎn)子受到的徑向負載進行觀測并補償，以此消除其對中心平衡點的影響。

考慮徑向負載力時，無軸承電機轉(zhuǎn)子的徑向運動學狀態(tài)方程可以寫成：

式中：fd為徑向負載力。

根據(jù)現(xiàn)代控制理論，可在控制器中構建一個與式（23）相同的狀態(tài)觀測器。但受到參數(shù)失配和擾動的影響，實際系統(tǒng)的輸出和觀測器的輸出并不完全相同，因此可以將實際系統(tǒng)和觀測器的輸出量作差后，反饋到觀測器的輸入端，由此觀測器的輸出和實際系統(tǒng)輸出間的誤差將收斂至零。當觀測器帶寬足夠高時，收斂速度便足夠快，此時可將觀測器中的狀態(tài)作為實際系統(tǒng)的狀態(tài)用于狀態(tài)反饋，觀測器結構如圖8所示，其中H為反饋矩陣。

圖8 狀態(tài)觀測器結構框圖Fig.8 Block diagram of state observer

根據(jù)上述原理，可寫出狀態(tài)觀測器表達式：

依據(jù)式（24）并按照圖8觀測器結構，可以得到適用于無軸承電機懸浮系統(tǒng)徑向負載力的觀測器。在此基礎上，圖9給出位移剛度勢能懸浮控制的結構框圖。

圖9 位移剛度勢能懸浮控制結構框圖Fig.9 Block diagram of the displacement stiffness potential energy suspension control system structure

5 仿真與實驗

為了驗證本文所提的位移剛度勢能懸浮控制算法的有效性，本文在Matlab/Simulink中搭建的仿真模型并編寫實驗控制程序，通過和傳統(tǒng)PID控制對比，驗證該懸浮控制算法的有效性。依據(jù)圖9所示，懸浮系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子能量給定量設為0，由式（15）計算轉(zhuǎn)子實際能量并于轉(zhuǎn)子能量給定量做差后，經(jīng)剛度勢能控制算法調(diào)節(jié)得到懸浮力給定值。將懸浮力給定值減去由徑向負載觀測器觀測得到的徑向負載力后，對轉(zhuǎn)子施加實際控制作用。

仿真與實驗中電機的主要參數(shù)如下：定子外徑146 mm，定子內(nèi)徑84 mm，定子齒極弧40°，轉(zhuǎn)子外徑78 mm，轉(zhuǎn)子質(zhì)量192 g，軸向長度10 mm，永磁體厚度3 mm，徑向剛度23 N/mm。

圖10對比了沒有徑向外加負載力的情況下，轉(zhuǎn)子從偏心1 mm位置從靜止狀態(tài)起浮波形。由圖10可知，初始時由于轉(zhuǎn)子位移s偏心較大、能量較低，此時等效為Bang-Bang控制，相比PID控制，其動態(tài)響應更快；當轉(zhuǎn)子位移靠近平衡位置時，電機轉(zhuǎn)子位移剛度勢能接近零，此時控制量輸出變小，因此犧牲了一定的動態(tài)性能，以獲得較優(yōu)的穩(wěn)態(tài)性能，整個過程中位移無超調(diào)?？傮w而言，剛度勢能控制算法在動態(tài)性能上仍優(yōu)于PID控制。

圖10 無徑向負載力靜止起浮位移仿真波形Fig.10 Simulation waveforms of start-up displacement without radial load force

圖11對比了在徑向階躍負載工況下的位移剛度勢能控制和傳統(tǒng)PID控制。

圖11 有徑向負載力靜止起浮位移仿真波形Fig.11 Start-up displacement simulation waveforms with radial load force

由圖11b可知，負載觀測器在3.5 ms跟蹤上了實際徑向力，經(jīng)過補償后，位移剛度勢能控制對負載力有了較好的響應，由圖11a可知其位移僅波動20 μm。相比之下，PID控制器需要經(jīng)過25 ms的調(diào)節(jié)時間才能穩(wěn)定并且在徑向負載力作用下位移波動達到了42 μm。

在仿真驗證的基礎上，本文搭建了無軸承薄片永磁電機的實驗平臺進一步對算法有效性進行驗證。圖12為實驗中所用無軸承薄片永磁電機原理樣機。

圖12 無軸承薄片永磁電機原理樣機Fig.12 Prototype of BPMSM

為了驗證微分環(huán)節(jié)中濾波系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，圖13對比了在相同PID參數(shù)下，不同的濾波時間常數(shù)下的起浮波形。

圖13 轉(zhuǎn)子起浮的位移波形Fig.13 Rotor displacement waveforms when start-up

由圖13a可知，當無濾波環(huán)節(jié)時，起浮的動態(tài)過程中，轉(zhuǎn)子位移表現(xiàn)出了良好的阻尼特性。然而由于位移反饋信號在處理環(huán)節(jié)中不可避免會引入噪音，穩(wěn)態(tài)時，轉(zhuǎn)子仍然存在抖動。由圖13b可知，加入了1 ms的濾波環(huán)節(jié)后，起浮的動態(tài)過程中，雖然出現(xiàn)了小幅的超調(diào)，但穩(wěn)態(tài)波形較無濾波環(huán)節(jié)時有了顯著改善。由圖13c可知，當濾波時間增加到5 ms后，由于濾波環(huán)節(jié)產(chǎn)生的信號延遲，轉(zhuǎn)子震蕩時間明顯增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度減小。因此綜合考慮，PID控制的微分濾波時間取1 ms較為合適。

為了對比PID控制和位移剛度勢能控制在動態(tài)性能上的差異，圖14對比了在相同的徑向沖擊擾動下的轉(zhuǎn)子位移波形，徑向擾動力主要施加在y的正方向。

圖14 轉(zhuǎn)子沖擊擾動下的位移波形Fig.14 Rotor displacement waveforms under impact loads

由圖14a可知，PID控制下，兩個自由度的位移的波動達到了0.20 mm和0.55 mm，調(diào)節(jié)時間大約為68 ms。由圖14b可知，采用了位移剛度勢能控制時，由于引入了較強帶寬的負載觀測器，并且在大位移時，懸浮力等效為Bang-Bang控制，位移波動僅為0.15 mm和0.35 mm，大大改善了徑向位移環(huán)路的魯棒性。除此之外，由于控制器實時計算了轉(zhuǎn)子的剛度勢能，本質(zhì)上對轉(zhuǎn)子的運動狀態(tài)有了一定的預測作用，因此調(diào)節(jié)之間大大縮短，僅有32 ms。同時圖14c給出外部沖擊擾動作用時徑向負載觀測器的輸出信號。

圖15為電機在3 000 r/min情況下PID控制和位移剛度勢能控制的穩(wěn)態(tài)位移波形。由圖15a可知，PID控制下x軸的位移波動約為±45 μm，y軸的位移波動約為±50 μm；由圖15b可知，剛度位移勢能控制下x軸的位移波動約為±25 μm，y軸的位移波動約為±30 μm。

圖15 3 000 r/min時轉(zhuǎn)子的位移波形Fig.15 Rotor displacement waveform when 3 000 r/min

6 結論

本文針對無軸承薄片永磁電機懸浮系統(tǒng)位移環(huán)PID控制參數(shù)問題進行理論推導和分析并指出其PID控制的固有問題。結果表明，PID三個參數(shù)需要滿足特定的約束關系懸浮系統(tǒng)才能穩(wěn)定，其中微分系數(shù)是系統(tǒng)穩(wěn)定的重要環(huán)節(jié)。但微分環(huán)節(jié)中的濾波對系統(tǒng)穩(wěn)定性是不利的因素，需要根據(jù)信號的噪聲情況，適當犧牲帶寬來換取較高的穩(wěn)定裕度。為克服PID控制的不足，文章提出了轉(zhuǎn)子位移剛度勢能的非線性懸浮控制算法，該算法兼顧轉(zhuǎn)子勢能較低處的動態(tài)性能和勢能較高處的穩(wěn)態(tài)性能，并通過負載觀測器補償了其他徑向力對轉(zhuǎn)子勢能的干擾，可快速將轉(zhuǎn)子控制在平衡位置。最后，通過仿真和實驗分別驗證了該算法的可行性和有效性。