對2022屆佛一模第21題的解法分析及背景探究

江蘇省白蒲高級中學(xué)(226500)沈建梅

在圓錐曲線的問題中,經(jīng)?？疾於c定值問題.面對此類問題時,可先利用特殊點或特殊值驗證出定點或定值,再進(jìn)行求解.求解的方法也主要是利用設(shè)而不求,根據(jù)題干表示出所有的信息量,再根據(jù)之前驗證的定點或定值猜想化簡的方向.佛山市2022 屆高三質(zhì)量檢測第21 題(以下簡稱22屆)便是一道雙曲線過定點的問題,筆者對其進(jìn)行了深入地分析,分別通過代數(shù)與幾何的視角對該問題進(jìn)行了分析,并獲得了一個一般性的結(jié)論.

1 題目及分析

(1)求C 的方程;

(2)點Q(1,0),直線x=t(t ∈R)不經(jīng)過P 點且與C 相交于A,B 兩點,若直線BQ 與C 交于另一點D,求證: 直線AD 過定點.

該模型與2018年全國1 卷第19 題(以下簡稱18年)以及2015年全國1 卷的第20 題(以下簡稱15年)的考察形式非常相似,其中18年的試題以橢圓為背景,15年的試題以拋物線為背景.具體題目如下:

(2015年全國1 卷,第20 題)在直角坐標(biāo)系xOy 中,曲線與直線y = kx+a(a ＞0)交與M,N 兩點.(I)當(dāng)k =0 時,分別求C 在點M 和N 處的切線方程;(II)y 軸上是否存在點P,使得當(dāng)k 變動時,總有∠OPM =∠OPN?說明理由.

在上一屆即2021 屆佛山市高三質(zhì)量檢測中,也出現(xiàn)了一道以該背景命制的試題,題目如下(以下簡稱21 屆):

(佛山市2021 屆高三一模第15 題)已知拋物線C :y2=2px(p ＞0)的焦點為F, 準(zhǔn)線l 交x 軸于點K, 過F 作傾斜角為α 的直線與C 交于A,B 兩點,若∠AKB = 60°,求sin α 的值.

所以筆者猜想命題老師可能是受到了兩道高考題的啟發(fā)而命制的該問題,對比下來我們可以發(fā)現(xiàn)18年的試題是已知兩個定點,證明兩個夾角相等;15年的試題是已知一個定點以及夾角相等求另一個定點;21 屆的試題中的隱藏考點與18年的試題相同是已知兩個定點,證明兩個夾角相等;22屆的試題與15年的試題相同也是已知一個定點以及夾角相等求另一個定點.

在上述幾個試題中,分別出現(xiàn)了拋物線、橢圓以及雙曲線,我們可以猜想上述模型對任意圓錐曲線都適用.在文[1]中,兩位老師對18年的試題進(jìn)行了詳細(xì)分析,并總結(jié)出如下相關(guān)定理:

定理1對于一般的二次曲線:Ax2+Cy2+F =0(AC0).對于該曲線的對稱軸上的點P(m,0)(除對稱中心外),過點P 的任意直線交該曲線有兩個交點M,N, 存在點使得直線QM、QN 的斜率互為相反數(shù).

定理2對于曲線Ax2+Ey+F = 0 的對稱軸上的點P(0,m)(除頂點外),過點P 的任意直線交該曲線有兩個交點M,N,存在點使得直線QM、QN 的斜率互為相反數(shù)[1].

接下來, 本文將對第22 屆的試題進(jìn)行證明與分析.為了體現(xiàn)出一般化, 筆者將原問題推廣為如下的一般模型: 已知雙曲線= 1(a ＞0, b ＞0), 點Q(m,0)(0 ＜m ＜a), 直線x = t 與C 相交于A, B 兩點, 若直線BQ 與C 交于另一點D, 則直線AD 過定點

2 解法呈現(xiàn)

2.1 基本量法

除了上述證明方法外,我們也可選擇構(gòu)建斜率方程[2],參數(shù)方程[1]等等方法進(jìn)行證明.但為了拓展至一般的圓錐曲線,接下來筆者將利用幾何法進(jìn)行證明.

2.2 利用極點極線進(jìn)行證明

關(guān)于極點極線的說明,極點極線的幾何定義[3]: 以橢圓為例, 如圖1, P 是不在圓錐曲線上的點, 過點P 引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG 交于N,連接EG,FH 交于M,則直線MN 為點P 對應(yīng)的極線.

圖1

注明所有的圓錐曲線都存在極點極線,讀者可自行將該概念延伸至其他圓錐曲線.

注明極點極線的兩種定義方式的本質(zhì)是相同的,對于本文研究的問題而言,利用代數(shù)定義進(jìn)行判斷,借助幾何定義進(jìn)行證明.

圖2-1

圖2-2