例析“雙新”要求下高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略的轉(zhuǎn)變

廣東省東莞中學(xué)(523005)陳楚云

“雙新”(新課程、新教材)要求把對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的培育放在“前端”,注重教學(xué)設(shè)計(jì),注重學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的初次接受,給予其充分的探索余地.若脫離了最初的課堂教學(xué)之后,為了應(yīng)試提分而反復(fù)拉扯同一知識(shí)點(diǎn),不啻是走回老路,對(duì)學(xué)生和教師而言往往事倍功半.

比格斯(J.B.biggs)創(chuàng)設(shè)的“SOLO 分類理論”對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)啟發(fā)意義較大.“SOLO”的中文名是“可視的學(xué)習(xí)成果的結(jié)構(gòu)”(Structure of the Observed Learnning Outcome).比格斯認(rèn)為,與其先入為主地評(píng)估學(xué)生的“總體認(rèn)知結(jié)構(gòu)”,不如著眼于他解決某一具體問題的能力, 從學(xué)習(xí)結(jié)果加以評(píng)估.對(duì)于任一具體問題,不同學(xué)生展現(xiàn)出的思維層次,或者說學(xué)習(xí)的層次都是不一樣的.大體說來一個(gè)完整的學(xué)習(xí)結(jié)果有如下五個(gè)層次: (1)前結(jié)構(gòu)層次.學(xué)生基本無法理解和解決問題;(2)單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次.學(xué)生僅能找到一個(gè)解決問題的思路.(3)多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次.學(xué)生找到多個(gè)解決問題的思路,但這些思路間欠缺整合.(4)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次.在多個(gè)思路之間,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)他們的聯(lián)系.(5)抽象拓展層次.學(xué)生能夠從理論的高度概括和分析問題,使問題本身的意義得到拓展.這一理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟發(fā)是,倘若在教學(xué)設(shè)計(jì)中盡可能地創(chuàng)設(shè)問題解決的情境,并有意識(shí)地同時(shí)強(qiáng)化問題的基礎(chǔ)性和可延展性,讓不同層次的學(xué)生都能參與其中,那么課堂教學(xué)以及學(xué)生的課后自主學(xué)習(xí)有可能事半功倍.本文嘗試以“SOLO 分類理論”為切入口,探討“雙新”要求下高中數(shù)學(xué)教學(xué)如何體現(xiàn)新時(shí)代立德樹人的要求.

1 從“草木皆兵”到“庖丁解?！? 基于SOLO 理論,拆解學(xué)習(xí)內(nèi)容

強(qiáng)調(diào)問題導(dǎo)向,不代表忽視宏觀知識(shí)體系的建構(gòu).但是以往教師在理解知識(shí)體系時(shí)可能會(huì)有“草木皆兵”的心態(tài),沒有根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)設(shè)計(jì)問題講授次序,這就導(dǎo)致學(xué)生在初次學(xué)習(xí)時(shí)如墜五里霧中,不得其法.根據(jù)SOLO 理論,思維的發(fā)展有其客觀規(guī)律,不能“一口吃成大胖子”.那么“庖丁解?！钡淖龇ū愫苤档媒梃b.正如牛的身體有聯(lián)系緊密的骨架筋絡(luò),數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、以及其對(duì)應(yīng)的問題的類型也是一個(gè)有機(jī)聯(lián)系體.因此,如何在教學(xué)過程中精心設(shè)點(diǎn),讓學(xué)生得以“小試牛刀”,建立“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次”,進(jìn)而通過“一點(diǎn)”牽連到“多點(diǎn)”,最終做到“目無全?！?是教學(xué)設(shè)計(jì)的重中之重.

例如,在求二次函數(shù)的最值課堂教學(xué)中,教師給出了如下問題組:

(1)求出下列函數(shù)的最值: ①y = (x-1)2+1, ②y =-(x+1)2+1, ③y =(x-4)2+1.

分析: 根據(jù)拋物線的圖象,學(xué)生很快能得出函數(shù)的最大或最小值,接著教師又給出第二道題.

(2)求出下列函數(shù)的最值: ①y = x2-2x+2, ②y =-x2-2x, ③y =x2-8x+17.

學(xué)生掌握了要通過配方才能夠求出二次函數(shù)的最值,實(shí)際上第(2)題與第(1)題的各小題分別都是相同的題目,在這里讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵是對(duì)解析式進(jìn)行配方,題目在遞進(jìn)中.趁熱打鐵,教師分別對(duì)上面的題目加上限制條件,要求在相應(yīng)區(qū)間求出函數(shù)的最值.

(3)求出下列函數(shù)的最值: ①y = x2-2x+2,x ∈[2,3]和x ∈[0,3], ②y = -x2- 2x, x ∈[-2,3] 和x ∈[0,3],③y =x2-8x+17,x ∈[5,6]和x ∈[2,6].

給出的區(qū)間分別是包括對(duì)稱軸和不包括對(duì)稱軸,函數(shù)的最值需考慮函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性,問題更進(jìn)一步遞進(jìn).此時(shí),教師并沒有停止,而繼續(xù)給出題目.

(4)求函數(shù)y =x2-2ax+a2+2,x ∈[0,3]時(shí)的最小值.

(5)求函數(shù)y =x2-2x+2,x ∈[t,t+1]的最小值.

第(4)題的特點(diǎn)是“軸變區(qū)間定”,第(5)題的特點(diǎn)是“軸定區(qū)間變”.上述設(shè)計(jì)層層遞進(jìn),每做完一題,適時(shí)指出解決這類問題的要點(diǎn),大大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,提高了課堂效率,也遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性特點(diǎn).因此,給出的題目要循序漸進(jìn),從基礎(chǔ)到中等再到高層次,層層遞進(jìn),這樣才能照顧到學(xué)生認(rèn)知水平的個(gè)性差異,使學(xué)生有一種“跳一跳,就能摸到”的感覺,使學(xué)生的思維活動(dòng)處于最佳狀態(tài).

2 從“紙上談兵”到“格物致知”: 深挖學(xué)科特質(zhì),建立教學(xué)情境

數(shù)學(xué)是一門實(shí)踐的學(xué)問.近年來有學(xué)者指出要重視科學(xué)史的教學(xué).所謂科學(xué)史,就是既有知識(shí)得以產(chǎn)生的來龍去脈.通過再次“成為發(fā)現(xiàn)真理的人”,設(shè)身處地地領(lǐng)悟知識(shí)創(chuàng)生的情境,學(xué)生將知識(shí)“據(jù)為己有”.對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言,各種定理、法則和解題模式亦自有其來路,或出于解決某一前置問題的需要,或受到某一繁瑣思路的刺激而亟需“另辟蹊徑”.教師可嘗試搭建一個(gè)知識(shí)創(chuàng)生的情境,從知識(shí)的灌輸者變?yōu)橹R(shí)創(chuàng)生的引路人,力圖使得每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、每一種解題思路都是學(xué)生自主創(chuàng)生的成果而非老師的“給予”.

例如,在高二復(fù)習(xí)圓錐曲線時(shí),教師在課堂上提出問題:通過前面的學(xué)習(xí),能否說出橢圓的定義?

學(xué)生A(學(xué)力水平低的同學(xué)): 在平面內(nèi),到兩個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫橢圓.

學(xué)生B(學(xué)力水平高的同學(xué)): 課本橢圓的定義就這一個(gè),但是我發(fā)現(xiàn)課本有三處的軌跡求出后都是橢圓,但是不知它們是否有一般性.如果有一般性,則我們可以把它歸納為: (1)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡;(2)與兩定點(diǎn)連線斜率的積為常數(shù);(3)平面內(nèi)到一定點(diǎn)F 的距離和到定直線l(F 不在l 上)的距離的比是一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.

教師感到“驚訝”,就連其他同學(xué)都把“異樣”的眼光投向該同學(xué),他們開始議論紛紛,上面的結(jié)論是真的嗎? 有沒有什么限制條件? 三個(gè)是相互獨(dú)立呢還是能夠聯(lián)系在一起? 學(xué)生的探究活動(dòng)就在這樣的問題情境下展開了.

學(xué)生C(學(xué)力水平低的同學(xué)): 第一種情況是課本的定義,軌跡是橢圓,不過要注意定長要大于兩定點(diǎn)的距離.(教師給予肯定和表揚(yáng))

學(xué)生D(學(xué)力水平中等的同學(xué)): 第二種情況只有在常數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)才是橢圓.

教師: 請(qǐng)你說說原因.

學(xué)生D:我從課本(P35 和P48)中橢圓和雙曲線的兩個(gè)例題歸納出來的.

同學(xué)們笑了.顯然,學(xué)生D 的歸納有一定的道理,但是我們對(duì)待知識(shí)不能只停留在表面上,一定要掌握它的實(shí)質(zhì).教師繼續(xù)讓他們探究.

學(xué)生E(學(xué)力水平中等的同學(xué)): 可以建立直角坐標(biāo)系,設(shè)兩定點(diǎn)為A、B, 它們所在直線為軸, 它們的中點(diǎn)為原點(diǎn).可設(shè)A(-a,0),B(a,0), 常數(shù)為m, 動(dòng)點(diǎn)P(x,y), 根據(jù)題意kPA·kPB= m,代入坐標(biāo)得= m 化簡可得:-mx2+y2= -ma2(x±a),這個(gè)方程要表示橢圓(除去橢圓長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)),只有m ＜0 且m-1.

學(xué)生F(學(xué)力水平高的同學(xué)): 老師, 我還發(fā)現(xiàn)當(dāng)常數(shù)為-1 時(shí),軌跡是圓去掉兩個(gè)點(diǎn);當(dāng)m ＞0 時(shí),軌跡是雙曲線去掉頂點(diǎn),常數(shù)為零時(shí)是一條直線挖掉兩個(gè)點(diǎn).

教師: 太棒了! 看看大家還有沒有其他發(fā)現(xiàn)?

學(xué)生G(學(xué)力水平高的同學(xué)): 對(duì)于第三種情況,設(shè)定點(diǎn)為原點(diǎn),定直線x = d,常數(shù)為e,則有= e,化簡為(1-e2)x2+2e2dx+y2-e2d2=0,當(dāng)0 ＜e ＜1 時(shí),表示橢圓;當(dāng)e ＞1 時(shí),表示雙曲線;當(dāng)e=1 時(shí),表示拋物線.

教師: 很好! 三種情況是統(tǒng)一的,它們的聯(lián)系可從推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程式子探討.

學(xué)生反響熱烈,有茅塞頓開、趣味盎然之感.

學(xué)生課堂上最好能有可見可測(cè)的學(xué)習(xí)成果的呈現(xiàn),比如完成一個(gè)回答、一個(gè)結(jié)論、建構(gòu)一個(gè)內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖等.它們最好是思考、探討的成果,是“創(chuàng)生”的,而不是老師“給”的,而不是哪里“抄”的.上述案例的教學(xué)過程全部由一個(gè)一個(gè)的問題向前推進(jìn),學(xué)生不是被動(dòng)地接受,而是沿著問題的線索自主學(xué)習(xí)、自主探究、自主發(fā)現(xiàn),學(xué)生親歷知識(shí)形成的全過程,學(xué)會(huì)了怎樣學(xué)習(xí)、怎樣發(fā)現(xiàn)問題和解決問題這一程序性知識(shí),而這也是核心素養(yǎng)熏陶的題中之義.

3 從“授人以魚”到“授人以漁”: 陶冶核心素養(yǎng),鍛煉自主學(xué)習(xí)

以上兩個(gè)部分其實(shí)主要重在SOLO 理論前三個(gè)層次(前結(jié)構(gòu)—單點(diǎn)結(jié)構(gòu)—多點(diǎn)結(jié)構(gòu))的漸進(jìn)式熏陶.在教師的隱性期待下,學(xué)生通過獨(dú)立思考而非被動(dòng)接受達(dá)到教學(xué)既定目標(biāo).更進(jìn)一步的育人,是在教師的期待之外取得意想不到的突破,從而進(jìn)入SOLO 理論的后兩個(gè)層次——自主探索和發(fā)覆問題,它是知識(shí)學(xué)習(xí)的必然延伸,也是立德樹人的必然要求.那么在這一解決問題的高級(jí)階段,教師應(yīng)該發(fā)揮怎樣的作用?具體到高中數(shù)學(xué)教與學(xué),應(yīng)要在學(xué)生腦海里“種樹”.當(dāng)學(xué)生希望“扶搖直上九萬里”,探索新的具體問題時(shí),要適時(shí)提醒學(xué)生不要舍棄“老問題”,反復(fù)從根深葉茂的“舊知”中,汲取求索“新知”的養(yǎng)分,不斷回到問題的概念層面、聯(lián)系最基礎(chǔ)的知識(shí),作螺旋式上升的循環(huán)思考.

例如,在求軌跡方程中,會(huì)碰到這幾個(gè)題目:

(1)已知?jiǎng)訄AC 和定圓C1:x2+(y-4)2=64 內(nèi)切,而和定圓C2:x2+(y+4)2=4 外切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;

(2)已知?jiǎng)訄AC 和定圓C1:x2+(y-4)2=64 外切,和定圓C2:x2+(y+4)2=4 也外切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;(類似可得|PC1|-|PC2|=6,方程是=1(y ＜0)).

(3)若動(dòng)圓過定點(diǎn)A(0,4)和定圓C2:x2+(y+4)2=4外切,求動(dòng)圓圓心P 的軌跡方程;(類似可得|PC2|-|PA|=2,方程是=1(y ＜0)).

(4)若動(dòng)圓過定點(diǎn)A(0,-4)和定圓C2:x2+(y-4)2=100 內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心P 的軌跡方程;(軌跡方程為橢圓方程

(5)求與圓(x-3)2+y2= 9 外切,且與y 軸相切的圓的圓心的軌跡方程;(結(jié)果圓心的軌跡是以(3,0)為焦點(diǎn),開口向右的拋物線)

奧蘇伯爾認(rèn)為: 學(xué)生是否能吸取到新的信息與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的有關(guān)概念和經(jīng)驗(yàn)有很大關(guān)系.因此教師要注重把著力點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用先前學(xué)過的知識(shí)去探索新知,通過提問、啟發(fā)、點(diǎn)撥的方法,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、思考,緊緊抓住新舊知識(shí)的連接點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生積極利用新舊知識(shí)之間的聯(lián)系,找出問題的共同點(diǎn),回到問題的根基.

總而言之,“雙新”歸根結(jié)底是教學(xué)理念的更新、教學(xué)策略的改變.通過在實(shí)踐中運(yùn)用SOLO 理念,教師從灌輸者變?yōu)橐龑?dǎo)者,首先在系統(tǒng)理解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系后,尋找引導(dǎo)式教學(xué)的切入口,牽一發(fā)而動(dòng)全身,為有機(jī)的知識(shí)講授鋪路;其次應(yīng)該創(chuàng)設(shè)問題解決的情境,讓學(xué)生在探索之中領(lǐng)悟知識(shí);最后,要在鼓勵(lì)學(xué)生自主探索的同時(shí),引導(dǎo)他們多對(duì)問題作理論思考,構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)同原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系,進(jìn)而形成屬于自己的知識(shí)系譜和問題解決模式,為終身發(fā)展奠定良好基礎(chǔ).