基于數(shù)學(xué)實驗的概念教學(xué)探索
——以“弧度制”教學(xué)設(shè)計為例

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631)彭如意

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基石,是基礎(chǔ)知識與基本技能教學(xué)的核心.但由于數(shù)學(xué)高度抽象和形式化的特征,很多數(shù)學(xué)概念往往不容易理解.數(shù)學(xué)實驗的實踐特點(diǎn)能將抽象理論直觀化、具體化,有利于揭示概念的本質(zhì),因此成為概念教學(xué)的有效途徑之一.

筆者曾經(jīng)開展過兩種關(guān)于“弧度制”的教學(xué)方法.方法一是運(yùn)用了概念同化的教學(xué)設(shè)計,主要依托于歐拉創(chuàng)造性提出弧度制的思路歷程,類比于角度制的定義方式,給出弧度制的定義.在實際的教學(xué)過程中,筆者發(fā)現(xiàn)這個方式的弧度制概念教學(xué)對于學(xué)生來說還是比較抽象的,并且過度依賴于邏輯的推理,使得學(xué)生難以認(rèn)識到弧度制的數(shù)學(xué)全貌,教學(xué)的難點(diǎn)仍然沒有突破.

方法二是基于數(shù)學(xué)實驗的弧度制教學(xué)設(shè)計,通過“動手實驗—探究討論—驗證猜想—生成概念”的過程,鼓勵學(xué)生探索新的度量角的方式,在實驗中自然地將角的度量問題轉(zhuǎn)化成長度的度量問題,體會弧度制的本質(zhì),為概念理解積累了數(shù)學(xué)體驗.通過實際教學(xué),筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的開展很好地為弧度制概念教學(xué)提供了知識結(jié)合點(diǎn)和技能生長點(diǎn).

1 數(shù)學(xué)實驗在概念教學(xué)的價值分析

數(shù)學(xué)實驗教學(xué)兼容了“教育”的鮮明特征,是一個“再創(chuàng)造”的過程.基于兩種弧度制概念教學(xué)的對比分析,筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗在概念教學(xué)中具有不可忽視的重要價值.

1.1 強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位,利于概念知識體系的構(gòu)建

心理學(xué)家布魯納強(qiáng)調(diào),學(xué)生不是被動的、消極的知識接受者,而是主動、積極的探究者[1].這一觀點(diǎn)與數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的特點(diǎn)不謀而合.數(shù)學(xué)實驗的開展離不開學(xué)生的主動探究,因此更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位.同時,教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者,更加注重學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力、探究能力以及實踐動手能力,從而在一定程度上可以避免“滿堂灌”的講授式教學(xué).在基于數(shù)學(xué)實驗的概念教學(xué)中,學(xué)生保持著主動探究、討論交流、學(xué)思并進(jìn)的狀態(tài),有利于建構(gòu)概念知識體系,并進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

1.2 經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過程,兼顧教學(xué)過程與結(jié)果

良好而完整的數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)兼顧結(jié)果性知識與過程性知識.但是概念教學(xué)往往人為地強(qiáng)化了邏輯的作用,更加注重結(jié)果的呈現(xiàn),忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程.數(shù)學(xué)實驗需要學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的特點(diǎn)恰好能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程落實到位,讓學(xué)生在有限的課堂教學(xué)中既獲得概念的結(jié)果性知識(即數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與基本技能),又獲得過程性知識(即揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程,積累數(shù)學(xué)活動體驗及相關(guān)經(jīng)驗).

1.3 通過“再創(chuàng)造”進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué),有助于概念本質(zhì)的理解

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說的“再創(chuàng)造”,其核心是數(shù)學(xué)過程的再現(xiàn).數(shù)學(xué)實驗在一定程度上可以還原數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展,在概念教學(xué)過程中可以作為一種認(rèn)知方法,幫助學(xué)生建立感性的認(rèn)知基礎(chǔ)[2],因此有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).此外,數(shù)學(xué)實驗還能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣,增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,形成應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識,從而達(dá)到素質(zhì)教育的目的.

2 弧度制概念教學(xué)設(shè)計案例分析

弧度制作為三角函數(shù)一章的基石,為三角函數(shù)體系提供了理論上的準(zhǔn)備和計算上的支撐作用,但學(xué)生常不知其所以然.首先,弧度制是使用“長度”來度量“角”,這一點(diǎn)超越了學(xué)生以往對度量的認(rèn)知;其次是弧度制中,度量單位的直觀意義并不明顯,1 弧度角概念難以引入.因此弧度制概念教學(xué)一直是高中教學(xué)的一大難點(diǎn).

本節(jié)課的授課對象是高一學(xué)生,在認(rèn)知基礎(chǔ)方面,他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了角度制的相關(guān)知識,有用不同單位進(jìn)行度量的生活經(jīng)驗,具有一定的探究能力和邏輯思維能力.因此筆者從概念同化和實驗探究兩個角度對弧度制概念教學(xué)進(jìn)行了設(shè)計.

2.1 基于概念同化的弧度制教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)過程是通過對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類和比較,提煉出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性,學(xué)生再利用已有的知識和觀念理解其意義,從而獲得新概念.運(yùn)用概念同化的教學(xué)設(shè)計主要依托于弧度制產(chǎn)生的數(shù)學(xué)史背景: 歐拉創(chuàng)造性地提出,可以以半徑為單位來度量弧長,那么每一個圓都可以被自身的半徑分成2π 份,從而定義出1 弧度的角.

在課堂教學(xué)中,教師通過引導(dǎo)同學(xué)們發(fā)現(xiàn):“任何一個圓都可以被自身的半徑分成2π 份”這一關(guān)鍵點(diǎn),類比于角度制中:“任何一個圓都可以被分成360 份”,兩種方式都可以將一個圓分成固定的份數(shù).因此類比于角度制中1 度角的定義,給出弧度制中1 弧度角的概念,從而獲得一個新的度量角的單位制——弧度制.該教學(xué)設(shè)計主要運(yùn)用了類比的思想方法,采用概念同化的教學(xué)模式來學(xué)習(xí)弧度制概念.

2.2 基于數(shù)學(xué)實驗的弧度制教學(xué)設(shè)計

基于數(shù)學(xué)實驗的弧度制教學(xué)在引入新知時,首先設(shè)計了一個動手實驗.

實驗教學(xué)用具: 一張半圓紙板、一把刻度直尺、若干細(xì)線

實驗教學(xué)過程:

[動手實驗]

師: 請同學(xué)們通過小組合作,運(yùn)用現(xiàn)有的實驗用具,在這張半圓紙板上標(biāo)出36 度的角.

師: 想一想如果沒有量角器,我們可以完成這個實驗嗎?(融入到各小組的動手實驗中,并與學(xué)生互動討論)

(待到各組基本完成實驗)請小組分享實驗做法.

生(1 組): 先用細(xì)線度量了半圓弧長,然后再用刻度尺將細(xì)線分成5 份,其中一份弧長所對的角就是36°的角.

評析“36 度角”不能通過尺規(guī)作圖直接得到,而實驗用具又未提供量角器,該動手實驗旨在引導(dǎo)學(xué)生探索新的度量角的方式,將角的度量問題轉(zhuǎn)化為長度的度量問題,從而體會到弧度制的本質(zhì),即“用線段長度度量角的大小”,為理解弧度制概念積累數(shù)學(xué)體驗.

[探究討論]

師: 這個想法真的是太棒了!在這個過程中大家發(fā)現(xiàn)了什么?

生: 可以用弧長來衡量角的大小.

師(追問1): 那我們可以直接用弧長來衡量角的大小嗎? (投影展示兩個扇形的圖片)

師(追問2): 我們先來看看這兩個扇形,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么?

生1: 同一個角在不同的圓中,所對的弧長是不一樣的.

生2(搶著回答): 所以不能直接用弧長來衡量角的大小.

[驗證猜想]

師(追問3): 我們再來觀察一下這兩個扇形,除了弧長變化之外,還有什么也發(fā)生了變化?

生(立馬回答): 半徑.半徑越大,弧長也變得越長.

生: 弧長與半徑之間應(yīng)該具有某種關(guān)系.

師: 請同學(xué)們試著找找看.結(jié)合角度、半徑還有弧長,大家可以聯(lián)想到我們學(xué)過的哪個公式? (融入小組討論中)

生: 把變化的量移到一邊,不變的量移到另一邊,就可以得到

師: 我們可以看到,當(dāng)角度固定的時候,弧長與半徑的比值是一定的.(觀察幾何畫板的動態(tài)演示: 計算兩個扇形的弧長與對應(yīng)半徑的比值;改變弧長和半徑的長度,觀察比值的變化)

評析通過思辨討論,引導(dǎo)學(xué)生探究角的大小與弧長、半徑的關(guān)系,并結(jié)合角度制下的弧長公式進(jìn)行公式推導(dǎo),由此獲得啟發(fā),可以用弧長與半徑的比值來度量角的大小.這個過程中,學(xué)生主動、積極地對實驗獲得和教師提供的信息進(jìn)行選擇與加工,通過新舊知識經(jīng)驗間反復(fù)、雙向的互動過程來構(gòu)建弧度制的新知識.幾何畫板的動態(tài)演示可以幫助學(xué)生加深對弧度制概念的直觀理解.

[生成概念]

師: 因此這也就啟發(fā)著我們,可以用弧長與半徑的比值來度量角的大小.

因此,我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做“1 弧度的角”,以弧度為單位來度量角的單位制叫做弧度制.

評析對于1 弧度角的理解,學(xué)生通過前面的動手實驗,已經(jīng)體會到“用線段長度度量角”的本質(zhì),積累了感性的數(shù)學(xué)體驗;之后通過探究討論,發(fā)現(xiàn)可以用弧長與半徑的比值來度量角的大小.在這個過程中,學(xué)生的思維從感性上升到了理性.此時教師指出當(dāng)l = r 的時候,比值為1,接著引入1弧度角的定義,水到渠成.

3 兩種弧度制概念教學(xué)反思

運(yùn)用概念同化的教學(xué)設(shè)計希望通過直接類比角度制的定義方式,讓學(xué)生以自然方式接受概念.但是在實際的教學(xué)過程中,筆者發(fā)現(xiàn)這個方式的弧度制概念教學(xué)對于學(xué)生來說還是比較抽象的,并且過度依賴于邏輯的推理,使得學(xué)生難以認(rèn)識到弧度制的數(shù)學(xué)全貌,概念教學(xué)的難點(diǎn)仍然沒有突破.

而基于數(shù)學(xué)實驗的弧度制概念教學(xué)設(shè)計本質(zhì)上是為學(xué)生提供一個“再創(chuàng)造”的實踐機(jī)會.教師根據(jù)學(xué)情分析和教學(xué)需要,有目的地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)積極的思維背景,讓已經(jīng)存在于學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)經(jīng)驗上升發(fā)展為新的知識.在實驗過程中,學(xué)生已經(jīng)自然地將角的度量問題轉(zhuǎn)化為長度的度量問題,形成“可以用線段長度來度量角的大小”這一認(rèn)知上的轉(zhuǎn)變,體會到弧度制的本質(zhì),為理解弧度制的概念做好了鋪墊.除此之外,人們對于自身發(fā)現(xiàn)的事物總能更容易地接受.通過實驗探究,學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了“可以用弧長與半徑的比值來度量角的大小”這一關(guān)鍵點(diǎn),可以幫助學(xué)生更好地接受新的度量方式.

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)概念歸根結(jié)底是現(xiàn)實世界的抽象反映,而數(shù)學(xué)實驗的實踐形式能夠為概念教學(xué)提供知識結(jié)合點(diǎn)和技能生長點(diǎn).基于數(shù)學(xué)實驗的弧度制概念教學(xué)中,學(xué)生通過實驗探究,探索新的度量角的方式并體會到弧度制的本質(zhì),為概念理解積累了數(shù)學(xué)體驗.數(shù)學(xué)實驗讓概念教學(xué)變得更加生動、自然.