挖掘橫向聯(lián)系 構(gòu)建研究型課堂
——以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630)周建鋒

1 問題的提出

情境認(rèn)識(shí)觀認(rèn)為,知識(shí)不是一件事情或一組表征,也不是事實(shí)和規(guī)則的集合,知識(shí)是一種動(dòng)態(tài)的建構(gòu)與組織.知識(shí)是個(gè)體與環(huán)境交互作用過程中建構(gòu)的一種交互狀態(tài),是一種人類協(xié)調(diào)一系列行為, 去適應(yīng)動(dòng)態(tài)變化發(fā)展的環(huán)境的能力.所以,我們需要構(gòu)建問題情境,在不斷變化的問題情境中去形成這種交互狀態(tài),營造研究型課堂的氛圍,在探索情境問題的過程中加深對(duì)概念的理解,提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

人教A 版選擇性必修一第三章“圓錐曲線”在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),一開始用一個(gè)平面去截圓錐側(cè)面,先讓學(xué)生直觀感知,當(dāng)截面轉(zhuǎn)動(dòng),會(huì)得到不同類型的截口曲線,分別是橢圓、拋物線、雙曲線(如圖1).接下來推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),突然話鋒一轉(zhuǎn),脫離圓錐截面模型,用平面上到兩定點(diǎn)距離和為定值(大于兩定點(diǎn)的距離)的點(diǎn)的軌跡模型展示橢圓,從而推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程.

圖1

客觀來講,從這個(gè)途徑引入橢圓,是許多教材采用的方法,淺顯易懂,容易建立坐標(biāo)系,導(dǎo)出方程.但這樣一來橢圓的定義和教材對(duì)圓錐曲線的引入造成了一個(gè)“脫節(jié)”,在學(xué)生心里必然會(huì)留下疑惑: 當(dāng)截面轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),截口曲線什么情況下是橢圓,什么情況下是拋物線,什么情況下是雙曲線? 對(duì)橢圓來講,這兩個(gè)模型之間到底有什么聯(lián)系? 是否還有其它定義的方法? 種種疑問需要我們?nèi)ソ鉀Q.

2 教學(xué)過程

2.1 研究截口曲線的規(guī)律

當(dāng)截面轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),截口曲線什么情況下是橢圓,什么情況下是拋物線,什么情況下是雙曲線?

設(shè)計(jì)意圖先利用多媒體技術(shù),讓學(xué)生觀察截面變化時(shí)截口曲線的規(guī)律,形成直觀認(rèn)識(shí).

為此,我們沿截面轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向作投影,觀察一下規(guī)律.

設(shè)圓錐母線與軸夾角為θ,截面與圓錐軸所成角為φ.

圖2

如圖2 中第II 種情形,當(dāng)φ = θ 時(shí),截面與下圓錐一條母線不相交,其余母線(射線)均相交,與上圓錐不相交,側(cè)面截口曲線是一條不封閉曲線;

如圖2 中第III 種情形,當(dāng)0 ≤φ ＜θ 時(shí),截面與上、下圓錐均相交,且上、下圓錐均有無數(shù)條母線(射線)與截面不相交,側(cè)面截口曲線是兩條不封閉曲線.

這三種曲線我們分別稱之為橢圓、拋物線、雙曲線,又統(tǒng)稱為圓錐曲線.

圓錐曲線與科研、生產(chǎn)及人類生活有著密切的關(guān)系,如行星繞太陽繞行的曲線是橢圓、廣州塔外形線是雙曲線、探照燈軸截面是拋物線等等.我們先來看橢圓相關(guān)定義.

2.2 橢圓定義及其與圓錐截口曲線的聯(lián)系

2.2.1 實(shí)驗(yàn)

如圖3, 取一條定長的細(xì)繩, 把細(xì)繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點(diǎn),套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,畫出的軌跡是什么曲線?

圖3

畫出的曲線是一條封閉的類似于圓錐封閉截口曲線的圖形.

設(shè)計(jì)意圖與教材鏈接,從平面作圖的角度引入橢圓.

2.2.2 橢圓的定義 平面上到兩定點(diǎn)F1,F2的距離和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的一半叫做半焦距.

2.2.3 兩者的聯(lián)系

這種方法作出的曲線與截圓錐的第I 種情形類似,都是橢圓,兩者之間有什么關(guān)聯(lián)呢?

設(shè)計(jì)意圖將平面作圖與課堂開始時(shí)的動(dòng)畫規(guī)律聯(lián)系,讓學(xué)生從中尋找兩者的聯(lián)系.

觀察圖4,在截面的上、下兩部分分別作一個(gè)內(nèi)切球,內(nèi)切球與截面的切點(diǎn)分別為F1,F2,猜想這兩個(gè)切點(diǎn)就是我們要尋找的“兩個(gè)定點(diǎn)”.

圖4

在截口曲線上任取一點(diǎn)P, P 點(diǎn)所在的母線V P 分別與上下兩個(gè)內(nèi)切球與圓錐側(cè)面的交線圓交于點(diǎn)A,B,則有PF1= PA,PF2= PB,所以PF1+PF2= PA+PB =AB,而截面固定后,上下兩個(gè)內(nèi)切球即固定,AB 為定值.所以圖1 中的封閉截口曲線滿足橢圓的定義,兩者是一致的.

2.3 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

觀察畫出的圖形,發(fā)現(xiàn)有明顯的對(duì)稱性,如果建立坐標(biāo)系,如何建系更有利?

以F1F2為x 軸,以F1F2中垂線為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),|MF1|+|MF2|=2a(a ＞c).請(qǐng)大家一起完成方程的推導(dǎo).

由于a2- c2＞0, 可令b2= a2- c2(b ＞0), 則有=1(a ＞b ＞0).這個(gè)方程稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,表示焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生建系,導(dǎo)出橢圓的代數(shù)特征,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

圖5

思考1這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的完備性如何,即每一步變形是否是同解變形?

設(shè)計(jì)意圖強(qiáng)化曲線方程的完備性.

整個(gè)變形過程有兩步做了平方( ②到③, ③到④),其它移項(xiàng)、同乘(除)非零數(shù)均是同解變形.而②③兩端均為非負(fù)數(shù),所以是同解變形.

思考2a,b,c 在圖中的幾何意義分別是什么?

設(shè)計(jì)意圖解讀橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的參數(shù)背景.

分析1c 是半焦距,在圖中是焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離;分別令y = 0,x = 0, 分別得到橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)(±a,0),(0,±b),所以a,b 分別是兩條對(duì)稱軸(線段)長度的一半.

分析2如圖6, 當(dāng)點(diǎn)M 運(yùn)動(dòng)到y(tǒng) 軸時(shí), |MF1| =|MF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,|OM|=b.

圖6

思考3若焦點(diǎn)在y 軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么?(學(xué)生自主完成)=1(a ＞b ＞0).

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生嘗試不同建系下橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.

2.4 再次挖掘新的發(fā)現(xiàn)

思考4觀察③式,它蘊(yùn)含了什么幾何意義?

設(shè)計(jì)意圖反思標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中隱藏的信息,導(dǎo)出橢圓的第二定義,完成概念的整體設(shè)計(jì)思路.

這是以后要學(xué)習(xí)的圓錐曲線第二定義,它將三種圓錐曲線統(tǒng)一起來.

思考5第二定義在圖1 的模型中能否體現(xiàn)呢?

設(shè)計(jì)意圖再次與截口曲線模型鏈接,尋求第二定義與截口曲線模型的內(nèi)在聯(lián)系.

分析如圖7, 按第二定義, 如何去找出其中的定點(diǎn)和定直線? 截面α 固定后, 與圓錐上部分有一內(nèi)切球, 內(nèi)切球與截面α 的切點(diǎn)為F.球與圓錐曲面交線為⊙O,⊙O 所在平面與平面α交于直線l, 猜想點(diǎn)F 與直線l 就是我們要找的定點(diǎn)與定直線.

圖7

連結(jié)V P,交⊙O 于C,則PF = PC(空間一點(diǎn)向球作的兩條切線長相等),設(shè)點(diǎn)P 到⊙O 所在平面距離為d0,到直線l 的距離為d,則cos θ =而二面角O-l-P的平面角易知為(定值).

由此可見,圖1 的模型中既有第一定義的幾何背景,也有第二定義的幾何背景,它是圓錐曲線統(tǒng)一定義的經(jīng)典模型.

思考6如何利用圓錐截面模型制定三種圓錐曲線區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)?

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步將第二定義對(duì)三種圓錐曲線的分類細(xì)化.

2.5 橢圓的其它模型

設(shè)計(jì)意圖利用教材例題,進(jìn)一步拓展橢圓的生成途徑,拓展學(xué)生視野.

例1如圖8,在圓x2+y2=4 上任取一點(diǎn)P,過P 作x軸的垂線段,垂足為D,PD 中點(diǎn)為M,當(dāng)P 點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)M 的軌跡是什么?

圖8

圖9

3 教學(xué)反思

通過本堂課對(duì)橢圓的深入剖析,從圓錐曲線統(tǒng)一定義的角度,充分挖掘其中的關(guān)聯(lián),讓學(xué)生大開眼界.

首先,對(duì)圓錐側(cè)面截口曲線有較為深入的分析,從直觀感知到找出分類標(biāo)準(zhǔn),對(duì)三類圓錐曲線有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),從中體會(huì)到從定性分析到定量分析的一個(gè)提升過程.

其次,在傳統(tǒng)的模型引入橢圓后,與最初的模型“脫節(jié)”,這是一個(gè)缺憾,如果不及時(shí)彌補(bǔ),學(xué)生的認(rèn)知會(huì)受到阻斷.所以,在圓錐截口曲線為橢圓時(shí),如何將它與“兩定點(diǎn)”的模型建立聯(lián)系,尋找兩個(gè)定點(diǎn)成了關(guān)鍵.此時(shí)構(gòu)造出上下兩個(gè)內(nèi)切球,它與截面的切點(diǎn)是兩個(gè)定點(diǎn),再利用球外一點(diǎn)向球引的切線長相等,從而證出截口曲線上任一點(diǎn)到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離和為定值,必為橢圓.這樣就揭示出了兩個(gè)模型的內(nèi)在聯(lián)系,學(xué)生豁然開朗,顯得十分興奮.

第三,推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程本是一個(gè)平淡無奇的過程,但在代數(shù)變形過程中,有了一個(gè)重大發(fā)現(xiàn),到兩定點(diǎn)距離為定值,還可以轉(zhuǎn)化為到一個(gè)定點(diǎn)距離與到一條定直線距離之比為常數(shù),直接引出了圓錐曲線第二定義,學(xué)生的求知欲再次被點(diǎn)燃.不光于此,一個(gè)問題再次被引出: 它與圓錐截口曲線又有什么聯(lián)系? 又重新回到對(duì)圓錐模型的構(gòu)造,與上次不同,這次是尋找一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線.定點(diǎn)由前面的經(jīng)驗(yàn)易得,是上部分的內(nèi)切球與截面的切點(diǎn),而定直線又在哪里? 圖中除了截面,還要有一個(gè)平面才能和截面相交成線.此時(shí)內(nèi)切球與圓錐側(cè)面的切點(diǎn)圓所在的平面“浮出水面”,大膽猜測(cè)它與截面的交線就是那條定直線.事實(shí)上,經(jīng)過證明,截口曲線上的任一點(diǎn)到切點(diǎn)的距離與到定直線的距離比確為常數(shù),學(xué)生的興奮點(diǎn)達(dá)到了高峰!

最后,利用教材上兩道例題,讓學(xué)生體會(huì)到橢圓乃至圓錐曲線,有許多途徑可以給出定義,從而進(jìn)一步拓展學(xué)生的視野,激發(fā)他們進(jìn)一步探索的熱情.

數(shù)學(xué)的概念課經(jīng)常讓學(xué)生覺得枯燥乏味,是因?yàn)闆]有充分挖掘潛在的元素,沒有激發(fā)出學(xué)生的求知熱情.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是做題,還要充分理解概念,理解數(shù)學(xué),了解每一個(gè)概念背景、涵義,以及蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想,把概念講“活”.深刻理解了概念,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解才會(huì)更上一個(gè)層次,對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的意義.