具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)行為研究1)

趙雨皓 杜敬濤 陳依林 劉楊

(哈爾濱工程大學(xué)動力與能源工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

引言

梁結(jié)構(gòu)作為一種基本結(jié)構(gòu)單元被廣泛應(yīng)用于建筑、航空、航天、船舶等工程領(lǐng)域.在船舶工程中,軸系結(jié)構(gòu)通常被簡化為軸向載荷梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動特性分析與減隔振設(shè)計.船舶軸系結(jié)構(gòu)的軸向載荷通常由安裝方式、推進(jìn)結(jié)構(gòu)引入.動力設(shè)備工作時產(chǎn)生的激勵載荷通過連接裝置向軸系結(jié)構(gòu)進(jìn)行傳遞,引起船舶軸系結(jié)構(gòu)的不利振動.為有效降低軸系結(jié)構(gòu)的振動水平,深刻理解梁結(jié)構(gòu)的振動特性、動力學(xué)行為顯得尤為重要.

國內(nèi)外學(xué)者針對彈性梁結(jié)構(gòu)的振動特性與動力學(xué)響應(yīng)開展了大量研究.Kang 和Kim[1]總結(jié)了關(guān)于梁結(jié)構(gòu)振動特性的研究并建立了彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)的振動特性分析模型,采用振動力學(xué)經(jīng)典分析方法預(yù)報了彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)的振動特性并研究了邊界條件對梁結(jié)構(gòu)振動特性的影響.為高效預(yù)報工程結(jié)構(gòu)的振動特性,文獻(xiàn)[2-3]采用傅里葉級數(shù)研究了具有特定邊界的梁結(jié)構(gòu)振動特性.工程中梁結(jié)構(gòu)通常具有彈性邊界支撐,傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)在邊界處的不連續(xù)性導(dǎo)致其難以準(zhǔn)確預(yù)報彈性邊界梁結(jié)構(gòu)的振動特性.為提高傅里葉級數(shù)的工程適用性,Li[4]在傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)的基礎(chǔ)上引入四項級數(shù)附加項,進(jìn)而有效改善傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)的邊界不連續(xù)性.上述改進(jìn)傅里葉級數(shù)具有邊界光滑的特性,亦被稱為邊界光滑傅里葉級數(shù).

眾多學(xué)者采用邊界光滑傅里葉級數(shù)開展了關(guān)于梁結(jié)構(gòu)振動特性的研究.Li 等[5]采用邊界光滑傅里葉級數(shù)研究了耦合梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的振動功率流.Wang 等[6]采用邊界光滑傅里葉級數(shù)研究了聲學(xué)黑洞梁結(jié)構(gòu)的振動功率流與結(jié)構(gòu)聲強.肖偉等[7]采用邊界光滑傅里葉級數(shù)研究了梁結(jié)構(gòu)的振動特性.文獻(xiàn)[8-9]采用光滑邊界傅里葉級數(shù)研究了多跨梁結(jié)構(gòu)的振動特性.趙雨皓等[10]采用邊界光滑傅里葉級數(shù)結(jié)合能量原理建立了軸向載荷條件下彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)的振動特性分析模型,研究了邊界條件對梁結(jié)構(gòu)振動特性的影響規(guī)律.Xu 等[11]采用邊界光滑傅里葉級數(shù)結(jié)合能量原理建立了具有非均勻彈性支撐的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動特性分析模型,研究了非均勻地基參數(shù)對梁結(jié)構(gòu)振動特性、動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.上述研究驗證了邊界光滑傅里葉級數(shù)在預(yù)報梁結(jié)構(gòu)振動特性時的準(zhǔn)確性與有效性,為工程中準(zhǔn)確預(yù)報具有彈性邊界約束的梁結(jié)構(gòu)的振動特性提供理論支撐.值得一提的是,在研究具有非線性因素的梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)時,具有彈性邊界約束的梁結(jié)構(gòu)振動模態(tài)函數(shù)能夠作為非線性振動分析方法中的試函數(shù)和權(quán)函數(shù).

受振動分析理論的限制,早期研究難以準(zhǔn)確預(yù)報具有非線性剛度的結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng).在工程中,大量研究致力于消除結(jié)構(gòu)的非線性剛度[12].隨著振動分析理論的不斷發(fā)展,Wagg 和Nield[13]嘗試?yán)梅蔷€性剛度降低結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的振動水平.Gatti 等[14]與Ding 和Chen[15]詳細(xì)總結(jié)了關(guān)于非線性剛度的研究,說明非線性剛度的合理利用對工程結(jié)構(gòu)的減振具有有益影響.

在船舶工程中,為保證船舶軸系的結(jié)構(gòu)剛度,通常在船舶軸系中引入中間支撐軸承.支撐軸承通常被簡化為等效支撐剛度.需要注意的是,當(dāng)支撐軸承油膜厚度、潤滑效果、配合間隙和安裝方式發(fā)生變化時,其等效支撐剛度不再呈現(xiàn)線性形式.此外,準(zhǔn)零剛度隔振器[16-17]、非線性隔振器[18-20]等非線性結(jié)構(gòu)被提出以提高傳統(tǒng)隔振器的隔振性能.因此,研究具有非線性支撐的梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)具有重要工程意義.

針對具有非線性支撐的梁結(jié)構(gòu),國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究.文獻(xiàn)[21-22]研究了具有非線性邊界條件的梁結(jié)構(gòu)控制微分方程解的存在性并通過數(shù)值方法求解了上述方程.?zhan 和Pakdemirli[23]研究了具有立方非線性剛度的梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的1/3 共振.Ghayesh 等[24-25]提出了一種針對具有三次非線性剛度和非線性/時變內(nèi)邊界的梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的通用解法并研究了梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性和非線性動力學(xué)響應(yīng).Kazemirad 等[26]研究了熱環(huán)境下具有非線性彈簧-質(zhì)量支撐的軸向運動梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的非線性振動.Mao 等[27]建立了具有非線性邊界的彈性梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)分析模型并通過多尺度法預(yù)報了梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng),發(fā)現(xiàn)非線性邊界使得梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值發(fā)生偏移.Tang 等[28]通過鎖相原理計算了具有非線性邊界的梁、桿結(jié)構(gòu)的固有頻率,為彈性結(jié)構(gòu)非線性振動的求解提供了一種新的思路.Ding 等[29]首次提出了一種可調(diào)剛度非線性邊界支撐單元,通過伽遼金截斷法與有限差分法預(yù)報了具有非線性支撐邊界的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng),研究了非線性邊界支撐單元結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.文獻(xiàn)[30]建立了具有非線性內(nèi)支撐與非線性邊界的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動特性分析模型并研究了非線性剛度對梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.上述文獻(xiàn)主要研究了具有非線性支撐剛度的梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)動力學(xué)響應(yīng).在采用數(shù)值方法預(yù)報梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)時,其計算初值保持恒定.在工程中,激勵頻率連續(xù)變化時,梁結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)將短暫保持激勵頻率變化前的狀態(tài),即梁結(jié)構(gòu)激勵頻率變化后的初始振動響應(yīng)為其激勵頻率變化前的振動響應(yīng).上述研究未充分考慮梁結(jié)構(gòu)激勵頻率連續(xù)變化的情況.此外,梁結(jié)構(gòu)的邊界條件在現(xiàn)有研究中通常為簡支邊界且非線性支撐的集中質(zhì)量、邊界旋轉(zhuǎn)約束剛度被大多數(shù)研究所忽略.

考慮到現(xiàn)有研究的不足,本研究建立具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動分析模型.采用伽遼金截斷法預(yù)報梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)并研究截斷數(shù)對梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)穩(wěn)定性的影響.采用諧波平衡法研究伽遼金截斷法的可靠性.在上述基礎(chǔ)上,研究諧波激勵掃頻方向?qū)α航Y(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)的影響.綜合考慮工程實際,研究非線性支撐參數(shù)對單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.

1 理論模型

本文研究具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng).圖1 為具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的物理模型.如圖1 所示,在梁結(jié)構(gòu)兩端引入平動約束彈簧與旋轉(zhuǎn)約束彈簧模擬彈性邊界條件.kL與kR分別為梁結(jié)構(gòu)兩端平動約束彈簧的剛度系數(shù);KL與KR分別為梁結(jié)構(gòu)兩端旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度系數(shù).通過設(shè)置邊界約束彈簧的剛度系數(shù)能夠準(zhǔn)確模擬經(jīng)典邊界、線彈性邊界條件.本文所研究的梁結(jié)構(gòu)模型為Euler-Bernoulli 梁,其中E,L,ρ,CB,S與I分別為梁結(jié)構(gòu)的楊氏模量、長度、密度、黏性阻尼、橫截面積以及慣性矩;P為梁結(jié)構(gòu)受到的軸向載荷;u(x,t)為梁結(jié)構(gòu)的橫向振動位移;F(x,t)為作用在梁結(jié)構(gòu)上的外部激勵載荷.在本研究中,F(x,t)為諧波激勵,其具體形式為

圖1 具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)物理模型Fig.1 Physical model of the axially loaded beam structure with the nonlinear spring-mass system and elastic boundary restraints

式中,δ(·)為Dirac 函數(shù);xF為諧波激勵作用位置;F0為諧波激勵幅值;ω為諧波激勵角頻率.

本文所研究的非線性支撐由集中質(zhì)量mI、線性剛度kI、非線性剛度knI與黏性阻尼CI組成;xI為非線性支撐的作用位置.需要注意的時,由非線性支撐引入的非線性恢復(fù)力FI的表達(dá)式為

根據(jù)牛頓第二定律與振動力學(xué)推導(dǎo)具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的振動控制方程與彈性邊界條件.梁結(jié)構(gòu)振動控制方程的具體表達(dá)式為

梁結(jié)構(gòu)x=0 處邊界條件的具體表達(dá)式為

梁結(jié)構(gòu)x=L處邊界條件的具體表達(dá)式為

本研究采用伽遼金截斷法預(yù)報具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng).在伽遼金截斷法中,試函數(shù)被用于展開梁結(jié)構(gòu)的橫向振動位移,權(quán)函數(shù)被用于離散梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的控制方程.伽遼金截斷法中的權(quán)函數(shù)和試函數(shù)應(yīng)滿足梁結(jié)構(gòu)邊界條件.值得注意的是,非線性支撐不存在時,具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型函數(shù)滿足方程(4)與(5)中的彈性邊界條件.因此,本研究選取具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型函數(shù)作為伽遼金截斷法的權(quán)函數(shù)與試函數(shù).

2 模型求解

本研究采用伽遼金截斷法預(yù)報具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng).具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型函數(shù)作為伽遼金截斷法的權(quán)函數(shù)與試函數(shù).具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型函數(shù)可通過邊界光滑傅里葉級數(shù)與能量原理準(zhǔn)確預(yù)報[10].

根據(jù)模態(tài)疊加原理,將梁結(jié)構(gòu)的橫向振動位移展開為

其中,φi(x) 為梁結(jié)構(gòu)橫向振動位移的第i階試函數(shù),即具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)振型函數(shù);qi(t)為對應(yīng)的第i階時間項;N為位移截斷數(shù).

將方程(6)代入方程(3)中,利用伽遼金離散條件,建立梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的殘差方程.在本研究中,梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的殘差方程截斷數(shù)為M.梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的第j階殘差方程的具體表達(dá)式如下

將梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的殘差方程簡化為

方程(8)中各殘差項的具體表達(dá)形式為

考慮到方程(9c)與(9g)含有加速度項,為求解梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的殘差方程,將方程(8)中含有加速度的殘差項移至等式一側(cè).方程(8)被改寫為

將R3j與R7j展開為含有時間項的形式,即

將方程(11)代入方程(10)中并將方程(10)改寫為

其中Tj=R1j+R2j+R4j+R5j+R6j+R8j+R9j.

在上述基礎(chǔ)上,將由方程(12)描述的梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的殘差方程整理為矩陣的形式,即

其中Dji為加速度項前的常系數(shù).

方程(13)中加速度項前的常系數(shù)矩陣為非單位陣,需對方程(13)做進(jìn)一步變換.通過矩陣逆運算,將方程(13)改寫為

所以近距離用眼30-40分鐘一定要遠(yuǎn)眺，恢復(fù)看遠(yuǎn)的調(diào)節(jié)功能緩解視疲勞。戲曲大師梅蘭芳和孫悟空的扮演者六小齡童都是高度近視，他們的自傳里都有記載，梅蘭芳看金魚的游動鍛煉眼球轉(zhuǎn)動功能，六小齡童是通過放飛鴿子鍛煉看遠(yuǎn)功能。打乒乓球、羽毛球都是鍛煉眼球的好方法。

方程(14)中的常系數(shù)矩陣為方程(13)中常系數(shù)矩陣的逆矩陣.

方程(14)可通過數(shù)值算法進(jìn)行求解.本研究采用4 階龍格庫塔算法求解方程(14).將方程(14)的計算結(jié)果代入方程(6)中即可得到具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)任意點的動力學(xué)響應(yīng).

3 數(shù)值結(jié)果與分析

根據(jù)前文推導(dǎo)結(jié)果,本節(jié)采用數(shù)值仿真軟件對具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行編程仿真.首先,研究伽遼金截斷法在預(yù)報梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)時的穩(wěn)定性.采用諧波平衡法驗證由伽遼金截斷法預(yù)報的梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的正確性.在此基礎(chǔ)上,研究非線性支撐參數(shù)對軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)影響規(guī)律.

本文研究梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)動力學(xué)響應(yīng).在后續(xù)研究中,為保證梁結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)動力學(xué)響應(yīng)完全消失,選取0～500Te作為伽遼金截斷法的時域仿真計算區(qū)間.Te為諧波激勵的作用周期.選取401Te～500Te的時域仿真計算結(jié)果作為梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)動力學(xué)響應(yīng).

3.1 模型驗證

本節(jié)研究伽遼金截斷法在預(yù)報具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)時的穩(wěn)定性與可靠性.一方面,研究截斷數(shù)對伽遼金截斷法穩(wěn)定性的影響.另一方面,對比采用伽遼金截斷法與諧波平衡法得到的梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng),研究伽遼金截斷法的可靠性.

在本研究中,諧波激勵的激勵幅值為F0=10 N,諧波激勵的位置為xF=0 m,激勵頻率的變化范圍為1～200 Hz.梁結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)與幾何參數(shù)見表1.梁結(jié)構(gòu)的邊界約束彈簧剛度系數(shù)見表2.非線性支撐參數(shù)見表3.

表1 梁結(jié)構(gòu)材料參數(shù)與幾何參數(shù)Table 1 Geometric and materials parameters of the beam structure

表2 邊界約束彈簧剛度系數(shù)Table 2 Stiffness coefficients of boundary restrained springs

表3 非線性支撐參數(shù)Table 3 Parameters of the nonlinear support

首先,研究截斷數(shù)對伽遼金截斷法穩(wěn)定性的影響.梁結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界約束彈簧剛度系數(shù)與非線性支撐參數(shù)見表1～表3.采用4 階龍格-庫塔算法求解方程(14)時,為保證殘差方程的系數(shù)矩陣為方陣,設(shè)置伽遼金截斷法的截斷數(shù)為N=M.伽遼金截斷法的計算初值設(shè)置為

圖2 為伽遼金截斷法的截斷數(shù)為2,4,6,8 時梁結(jié)構(gòu)兩端的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線.在繪制梁結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線時,選取對應(yīng)激勵頻率下梁結(jié)構(gòu)401Te～500Te時域響應(yīng)絕對值中的極大值作為y坐標(biāo),激勵頻率作為x坐標(biāo).在后續(xù)研究中,梁結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線均采用上述方式繪制.由圖2 可知,當(dāng)伽遼金截斷法的截斷數(shù)達(dá)到4 后,梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線趨于穩(wěn)定.上述現(xiàn)象說明伽遼金截斷法在預(yù)報具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)時具有良好的穩(wěn)定性.在本文后續(xù)的研究中,選取伽遼金截斷法的截斷數(shù)為N=M=4.

圖2 不同截斷數(shù)下梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Stable amplitude-frequency response curves at both ends of the beam structure with different truncation numbers

在上述研究基礎(chǔ)上,對比采用伽遼金截斷法與諧波平衡法得到的梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)結(jié)果,研究伽遼金截斷法的可靠性.采用諧波平衡法預(yù)報梁結(jié)構(gòu)

將上述諧波形式代入方程(7)中,利用三角函數(shù)和差化積公式將立方項進(jìn)行替換.通過保留一次諧波項構(gòu)建諧波待定系數(shù)方程組.采用弧長延拓法求解該方程組即可得到諧波項前的待定系數(shù).將方程(16)得到的諧波解代入式(6)中即可得到梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng).梁結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界約束彈簧剛度系數(shù)與非線性支撐參數(shù)見表1～表3.圖3 為采用諧波平衡法與伽遼金截斷法得到的具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)端點處的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線.由圖3 可知,伽遼金截斷法預(yù)報的梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)結(jié)果與諧波平衡法預(yù)報的梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)結(jié)果吻合良好,驗證了伽遼金截斷法在預(yù)報本文模型動力學(xué)響應(yīng)時的可靠性.

圖3 Galerkin 截斷法與諧波平衡法預(yù)測的梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線對比Fig.3 Stable amplitude-frequency response curves at both ends of the beam structure predicted by the Galerkin truncated method and harmonic balance method

綜上所述,伽遼金截斷法在預(yù)報具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)時具有良好的穩(wěn)定性與可靠性.

3.2 諧波激勵正向、反向掃頻對梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)的影響

工程中動力設(shè)備在達(dá)到額定工況前需經(jīng)歷轉(zhuǎn)速升高或轉(zhuǎn)速降低的過程.動力設(shè)備的轉(zhuǎn)速變化對其結(jié)構(gòu)振動具有顯著影響.值得注意的是,轉(zhuǎn)速變化時,動力設(shè)備的結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)將短暫保持其變化前的狀態(tài),即動力設(shè)備轉(zhuǎn)速變化后的初始振動響應(yīng)為其轉(zhuǎn)速變化前的振動響應(yīng).

考慮到實際工程情況,本節(jié)研究諧波激勵正向掃頻、反向掃頻對具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線的影響.諧波激勵正向掃頻與反向掃頻時,采用前一階諧波激勵頻率下截止時刻的響應(yīng)結(jié)果作為當(dāng)前諧波激勵下的伽遼金截斷法計算初值.初始諧波激勵的計算初值、諧波激勵參數(shù)、梁結(jié)構(gòu)參數(shù)與邊界約束彈簧剛度系數(shù)與3.1 中一致.

首先,研究諧波激勵正向掃頻與反向掃頻對具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線的影響.非線性支撐的非線性剛度系數(shù)為knI=5×1010N/m3;非線性支撐的其他參數(shù)見表3.

圖4 為諧波激勵正向掃頻(1 Hz→200 Hz)、反向掃頻(200 Hz→1 Hz)時梁結(jié)構(gòu)兩端的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線(knI=5×1010N/m3).由圖4 可知,當(dāng)諧波激勵進(jìn)行正向掃頻、反向掃頻時,梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線均在第二階主共振區(qū)出現(xiàn)峰值跳躍現(xiàn)象.通過諧波激勵正向掃頻、反向掃頻得到的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線在第二階主共振區(qū)處存在顯著差異.諧波激勵正向掃頻時,梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線在120 Hz 處發(fā)生峰值跳躍.諧波激勵反向掃頻時,梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線在114 Hz 處發(fā)生峰值跳躍.在第二階主共振區(qū)附近,反向掃頻得到的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線峰值小于正向掃頻得到的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線峰值.產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因是具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)具有初值敏感性.當(dāng)諧波激勵頻率接近梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線的第二階主共振區(qū)時,諧波激勵正向掃頻、反向掃頻對應(yīng)的動力學(xué)響應(yīng)初值存在差異.動力學(xué)響應(yīng)初值的差異使得梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線在正向掃頻、反向掃頻時呈現(xiàn)出不同特性.

圖4 正向、反向掃頻下梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線(knI=5×1010 N/m3)Fig.4 Stable amplitude-frequency response curves at both ends of the beam structure under the forward and reverse sweep(knI=5×1010 N/m3)

在上述基礎(chǔ)上,研究非線性剛度為knI=8×1010N/m3時,諧波激勵正向掃頻與反向掃頻對具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線的影響.非線性支撐位置為xI=0.3 m,非線性支撐的其他參數(shù)與本節(jié)前述部分一致.

圖5 為諧波激勵正向掃頻(1 Hz→200 Hz)、反向掃頻(200 Hz→1 Hz)時梁結(jié)構(gòu)兩端的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線(knI=8×1010N/m3).由圖5 可知,當(dāng)諧波激勵進(jìn)行正向掃頻、反向掃頻時,梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線在第一、二階主共振區(qū)出現(xiàn)峰值跳躍現(xiàn)象.諧波激勵正向掃頻時,梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線在43 Hz,120 Hz 處發(fā)生峰值跳躍.諧波激勵反向掃頻時,梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線在42 Hz,115 Hz 處發(fā)生峰值跳躍.通過諧波激勵正向掃頻、反向掃頻得到的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線在第一、二階主共振區(qū)處均存在顯著差異.不穩(wěn)定區(qū)出現(xiàn)在梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線的第二階主共振區(qū)處.為深入研究梁結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài),繪制了梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線中不穩(wěn)定區(qū)的相圖.本節(jié)所研究的相圖均采用401Te～500Te的穩(wěn)態(tài)計算結(jié)果進(jìn)行繪制.同時,在相圖中繪制了龐加萊點.由相圖結(jié)果可知,龐加萊點組成一條閉合曲線且相軌跡趨于穩(wěn)定.上述現(xiàn)象說明梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線的不穩(wěn)定區(qū)呈現(xiàn)準(zhǔn)周期振動狀態(tài).需要注意的是,準(zhǔn)周期振動狀態(tài)介于多周期振動狀態(tài)與混沌振動狀態(tài)之間.準(zhǔn)周期振動狀態(tài)易在外界擾動的作用下轉(zhuǎn)換為混沌振動狀態(tài),對梁結(jié)構(gòu)的振動控制產(chǎn)生不利的影響.

圖5 正向、反向掃頻下的梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線(knI=8×1010 N/m3)Fig.5 Stable amplitude-frequency response curves at both ends of the beam structure under the forward and reverse sweep(knI=8×1010 N/m3)

對比圖4 與圖5 結(jié)果可知,非線性剛度的增加擴大了梁結(jié)構(gòu)正向掃頻穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線與梁結(jié)構(gòu)反向掃頻穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線之間的差異.

綜上所述,具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)具有初值敏感性.由于非線性支撐的存在,梁結(jié)構(gòu)正向掃頻穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線與其反向掃頻穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線存在顯著差異且非線性剛度能夠改變梁結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài).

3.3 非線性支撐對單頻諧波激勵下梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響

工程中為提高動力裝置的使用壽命,動力裝置通常在其額定工況下進(jìn)行工作.當(dāng)動力設(shè)備處于額定工況時,其產(chǎn)生的諧波激勵處于穩(wěn)定狀態(tài).結(jié)構(gòu)受到的諧波激勵通常由動力裝置引入.動力裝置安裝完成后,其支撐形式、安裝位置以及諧波激勵的作用位置難以變更.在船舶工程中,船舶軸系通常被簡化為具有內(nèi)支撐的軸向載荷梁結(jié)構(gòu),其所受的諧波激勵通常作用于梁結(jié)構(gòu)端部.值得注意的是,支撐結(jié)構(gòu)的作用位置取決于主結(jié)構(gòu)的剩余安裝空間.綜合考慮工程實際情況,本節(jié)研究非線性支撐的集中質(zhì)量、阻尼以及非線性剛度對單頻激勵下具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.在研究非線性支撐參數(shù)對梁結(jié)構(gòu)單頻激勵下動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律時,當(dāng)梁結(jié)構(gòu)在單頻激勵下的振動狀態(tài)發(fā)生改變時,對應(yīng)的非線性支撐參數(shù)的數(shù)值定義為該非線性支撐參數(shù)的臨界值.梁結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界約束彈簧剛度系數(shù)、伽遼金截斷法的計算初值以及諧波激勵參數(shù)與3.1 中使用的參數(shù)一致.諧波激勵頻率為45 Hz 與115 Hz,其分別位于梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線的第一、二階主共振區(qū)附近.

在繪制梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)隨非線性支撐參數(shù)變化的響應(yīng)曲線時,選取單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)401Te～500Te時域響應(yīng)絕對值中的極大值作為y坐標(biāo),激勵頻率作為x坐標(biāo).在后續(xù)研究中,相關(guān)曲線均采用上述方式繪制.本節(jié)所研究的相圖、時域圖均采用401Te～500Te的穩(wěn)態(tài)計算結(jié)果進(jìn)行繪制.

首先,研究非線性剛度對單頻激勵下具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.非線性支撐的非線性剛度由108N/m3變化至1014N/m3.非線性支撐的位置參數(shù)為xI=0.3 m,非線性支撐的其他參數(shù)見表3.

圖6 為諧波激勵45 Hz 下的梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線.由圖6 可知,非線性剛度對45 Hz 諧波激勵下梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)具有顯著影響.非線性剛度對梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響存在臨界值.當(dāng)非線性剛度超過臨界值時,梁結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài)發(fā)生變化.對于本部分研究,非線性剛度的臨界值為1012.74N/m3與1013.64N/m3.當(dāng)非線性剛度位于1012.74N/m3至1013.64N/m3之間時,穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū).為深入研究梁結(jié)構(gòu)的振動特性,繪制了穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線中不穩(wěn)定區(qū)的相圖與時域圖.在相圖中繪制了龐加萊點.由相圖與時域圖結(jié)果可知,龐加萊點組成一條閉合曲線且相軌跡、時域波形均趨于穩(wěn)定.上述現(xiàn)象說明梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線(f=45 Hz)的不穩(wěn)定區(qū)呈現(xiàn)準(zhǔn)周期振動狀態(tài).

圖6 單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線(f=45 Hz)Fig.6 Stable amplitude-nonlinear-stiffness response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation(f=45 Hz)

圖7 為諧波激勵115 Hz 下的梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線.由圖7 可知,非線性剛度對115 Hz 諧波激勵下梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)的影響存在臨界值.對于本部分研究,非線性剛度的臨界值為1011.08N/m3與1013.64N/m3.當(dāng)非線性剛度位于1011.08N/m3至1013.64N/m3之間時,穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū).為深入研究梁結(jié)構(gòu)的振動特性,繪制了穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線中不穩(wěn)定區(qū)的相圖與時域圖.在相圖中繪制了龐加萊點.由相圖與時域圖結(jié)果可知,龐加萊點呈現(xiàn)無序狀態(tài)且相軌跡、時域波形均不穩(wěn)定.上述現(xiàn)象說明梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線(f=115 Hz)的不穩(wěn)定區(qū)呈現(xiàn)混沌振動狀態(tài).

圖7 單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線(f=115 Hz)Fig.7 Stable amplitude-nonlinear-stiffness response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation (f=115 Hz)

對比圖6 與圖7 可知,45 Hz 諧波激勵頻率下梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線不穩(wěn)定區(qū)的位置與115 Hz 諧波激勵頻率下梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線不穩(wěn)定區(qū)的位置存在差異.非線性剛度的存在能夠引起梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動力學(xué)行為.合適的非線性剛度參數(shù)能夠降低梁結(jié)構(gòu)右邊界穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線的振動幅值.

其次,研究非線性支撐黏性阻尼對單頻激勵下具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.非線性支撐的黏性阻尼由1 N·s/m 變化至50 N·s/m.非線性支撐的非線性剛度為knI=1011N/m3.非線性支撐的其他與本節(jié)前述部分一致.

圖8 為諧波激勵45 Hz 時的梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線.由圖8 可知,在45 Hz 諧波激勵頻率下,穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線始終保持穩(wěn)定.當(dāng)非線性支撐黏性阻尼為3.9 N·s/m 時,穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線出現(xiàn)峰值跳躍現(xiàn)象.對于梁結(jié)構(gòu)左邊界,非線性支撐的黏性阻尼在1 N·s/m 至3.9 N·s/m 之間時,非線性支撐黏性阻尼的增加使得梁結(jié)構(gòu)左邊界處的振動幅值降低.非線性支撐的黏性阻尼在3.9 N·s/m 至50 N·s/m 之間時,非線性支撐黏性阻尼的增加使得梁結(jié)構(gòu)左邊界處的振動幅值升高.對于梁結(jié)構(gòu)右邊界,非線性支撐的黏性阻尼在1 N·s/m 至3.9 N·s/m 之間時,非線性支撐黏性阻尼的增加使得梁結(jié)構(gòu)右邊界處的振動幅值升高.非線性支撐的黏性阻尼在3.9 N·s/m 至50 N·s/m 之間時,非線性支撐黏性阻尼的增加使得梁結(jié)構(gòu)右邊界處的振動幅值降低.

圖8 單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線(f=45 Hz)Fig.8 Stable amplitude-viscous-damping response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation (f=45 Hz)

圖9 為諧波激勵115 Hz 下的梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線.由圖9 可知,非線性支撐黏性阻尼對115 Hz 諧波激勵下梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響存在臨界值.非線性支撐黏性阻尼的臨界值為4.9 N·s/m.非線性支撐黏性阻尼在1 N·s/m 至4.9 N·s/m 之間時,穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū).為深入研究梁結(jié)構(gòu)的振動特性,繪制了穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線中不穩(wěn)定區(qū)的相圖與時域圖.在相圖中繪制了龐加萊點.由相圖與時域圖結(jié)果可知,龐加萊點呈現(xiàn)無序狀態(tài)且相軌跡、時域波形均不穩(wěn)定.上述現(xiàn)象說明梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線(f=115 Hz)的不穩(wěn)定區(qū)呈現(xiàn)混沌振動狀態(tài).

對比圖8 與圖9 可知,45 Hz 諧波激勵頻率下梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線始終保持穩(wěn)定而115 Hz 諧波激勵頻率下梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線存在不穩(wěn)定區(qū).非線性支撐阻尼的增加能夠抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動力學(xué)響應(yīng).合適的非線性支撐黏性阻尼能夠降低梁結(jié)構(gòu)邊界處的振動.

圖9 單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-黏性阻尼響應(yīng)曲線(f=115 Hz)Fig.9 Stable amplitude-viscous-damping response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation (f=115 Hz)

最后,研究非線性支撐的集中質(zhì)量對單頻激勵下具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.非線性支撐的集中質(zhì)量由0.01 kg 變化至0.05 kg.非線性支撐的非線性剛度為knI=8×1010N/m3.非線性支撐的其他參數(shù)與本節(jié)前述部分一致.

圖10 為諧波激勵45 Hz 下的梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-集中質(zhì)量響應(yīng)曲線.由圖10 可知,在45 Hz 諧波激勵頻率下,穩(wěn)態(tài)幅值-非線性支撐質(zhì)量曲線始終保持穩(wěn)定.對于梁結(jié)構(gòu)左邊界,非線性支撐質(zhì)量在0.01 kg 至0.05 kg 之間時,集中質(zhì)量的增加使得梁結(jié)構(gòu)左邊界處的振動幅值升高.對于梁結(jié)構(gòu)右邊界,非線性支撐質(zhì)量在0.01 kg 至0.05 kg 之間時,集中質(zhì)量的增加使得梁結(jié)構(gòu)右邊界處的振動幅值降低.

圖10 單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-集中質(zhì)量響應(yīng)曲線(f=45 Hz)Fig.10 Stable amplitude-concentrated-mass response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation(f=45 Hz)

圖11 為諧波激勵115 Hz 下的梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-集中質(zhì)量響應(yīng)曲線.由圖11 可知,非線性支撐集中質(zhì)量對115 Hz 諧波激勵下梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響存在臨界值.對于本部分研究,非線性支撐集中質(zhì)量的臨界值為0.031 kg.非線性支撐黏性阻尼在0.01 kg 至0.031 kg 之間時,穩(wěn)態(tài)幅值-集中質(zhì)量響應(yīng)曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū).為深入研究梁結(jié)構(gòu)的振動特性,繪制了穩(wěn)態(tài)幅值-集中響應(yīng)曲線中不穩(wěn)定區(qū)的相圖與時域圖.在相圖中繪制了龐加萊點.由相圖與時域圖結(jié)果可知,龐加萊點形成一條封閉曲線且相軌跡、時域波形均趨于穩(wěn)定.上述現(xiàn)象說明梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-集中質(zhì)量響應(yīng)曲線(f=115 Hz)的不穩(wěn)定區(qū)呈現(xiàn)準(zhǔn)周期振動狀態(tài).

對比圖10 與圖11 可知,45 Hz 諧波激勵頻率下梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-集中質(zhì)量響應(yīng)曲線始終保持穩(wěn)定而115 Hz 諧波激勵頻率下梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅值-集中質(zhì)量響應(yīng)曲線存在不穩(wěn)定區(qū).合理的選擇非線性支撐的集中質(zhì)量對梁結(jié)構(gòu)邊界處的減振具有有益效果.

圖11 單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)幅值-集中質(zhì)量響應(yīng)曲線(f=115 Hz)Fig.11 Stable amplitude-concentrated-mass response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation(f=115 Hz)

綜上所述,非線性支撐參數(shù)對單頻激勵下具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)具有顯著影響.在一些非線性支撐參數(shù)下,梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的動力學(xué)行為.一方面,合適的非線性支撐參數(shù)能夠抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動力學(xué)行為;另一方面,合適的非線性支撐參數(shù)對梁結(jié)構(gòu)邊界處的減振具有有益效果.

4 結(jié)論

本文建立了具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)行為預(yù)報模型.采用伽遼金截斷法預(yù)報梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動力學(xué)響應(yīng)并研究了伽遼金截斷法的穩(wěn)定性.通過諧波平衡法研究了伽遼金截斷法的可靠性.在上述基礎(chǔ)上,研究了諧波激勵掃頻方向?qū)α航Y(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)的影響.綜合考慮工程情況,研究了非線性支撐參數(shù)對單頻激勵下梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律,得出主要結(jié)論如下.

(1)采用伽遼金截斷法能夠準(zhǔn)確預(yù)報具有非線支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng).當(dāng)伽遼金截斷法的截斷數(shù)為4 時,梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)收斂.

(2)具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)具有初值敏感性.諧波激勵的掃頻方向?qū)α航Y(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線影響顯著.非線性支撐的非線性剛度使得梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)復(fù)雜動力學(xué)行為.

(3)非線性支撐參數(shù)對單頻激勵下具有非線性支撐和彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)具有顯著影響.在一些非線性支撐參數(shù)下,梁結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的動力學(xué)行為.

(4)通過選擇合適的非線性支撐參數(shù),能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動力學(xué)行為并且對梁結(jié)構(gòu)邊界處的減振具有顯著效果.