鏡像對(duì)稱頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流過(guò)渡流臨界特性研究1)

安博 孟欣雨 桑為民,2)

* (西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

? (中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心結(jié)冰與防除冰重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川綿陽(yáng) 621000)

** (翼型、葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710072)

引言

過(guò)渡流臨界特性作為流體力學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題長(zhǎng)期受到學(xué)界的關(guān)注.Hof 等[1]在Science上撰文強(qiáng)調(diào),過(guò)渡流臨界特性的研究對(duì)揭示流動(dòng)物理本質(zhì)起到了至關(guān)重要的作用,同時(shí)對(duì)流場(chǎng)演化模式起到了決定性的作用.他們認(rèn)為,流場(chǎng)演化是個(gè)極為復(fù)雜的過(guò)程,需要細(xì)節(jié)化的分類探索來(lái)準(zhǔn)確把握諸如湍流等復(fù)雜流場(chǎng)的物理特性.Avila 等[2]也在Science上撰文闡述,過(guò)渡流研究對(duì)認(rèn)識(shí)流場(chǎng)的重要作用,對(duì)比經(jīng)典的Landau-Ruelle-Takens 流場(chǎng)演化模式,他們認(rèn)為混沌的空間擴(kuò)散是湍流特性的決定性過(guò)程和固有本質(zhì).同時(shí)Graham[3]在Nature上也介紹了過(guò)渡流的概念,文中再次強(qiáng)調(diào)了過(guò)渡流臨界特性研究的重要性,同時(shí)指出過(guò)渡流的相關(guān)研究為解釋更為復(fù)雜的流動(dòng)現(xiàn)象鋪平了道路.此外諸多學(xué)者[4-13]在Annual Review of Fluid Mechanics和Journal of Fluid Mechanics上先后強(qiáng)調(diào)了過(guò)渡流臨界特性研究在流體力學(xué)研究中的應(yīng)用價(jià)值.雖然他們就不同視角從不同層面探討了不同的內(nèi)容,但是學(xué)者們一致肯定了過(guò)渡流研究的重要性和必要性,在正確認(rèn)識(shí)物理本質(zhì)的同時(shí)不斷推進(jìn)本學(xué)科的蓬勃發(fā)展,為解決更為復(fù)雜的流動(dòng)問(wèn)題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

作為過(guò)渡流臨界特性的核心研究?jī)?nèi)容,流動(dòng)分岔點(diǎn)(flow bifurcations)表征的是流場(chǎng)不同流動(dòng)狀態(tài)(定常流動(dòng)、非定常周期性流動(dòng)、非定常準(zhǔn)周期性流動(dòng)、湍流) 的物理特性臨界點(diǎn).常見(jiàn)的流動(dòng)分岔點(diǎn),比如Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn),它的出現(xiàn)意味著此時(shí)的流動(dòng)隨雷諾數(shù)增加已經(jīng)從定常狀態(tài)演化至非定常周期性狀態(tài),流動(dòng)會(huì)隨時(shí)間產(chǎn)生周期的循環(huán)變化.根本原因是流場(chǎng)穩(wěn)定性被破壞了,取而代之的是流場(chǎng)周期性特征.隨著雷諾數(shù)進(jìn)一步增加,流動(dòng)的非定常周期特性也逐漸遭到破壞,此時(shí)的流動(dòng)雖然繼承了部分周期性流動(dòng)的物理特性,但逐漸出現(xiàn)了準(zhǔn)周期性流動(dòng)的典型特征,即基于龐加萊映射的雙環(huán)形結(jié)構(gòu).此時(shí)的流動(dòng)不再以單一頻率振蕩,流動(dòng)表現(xiàn)出長(zhǎng)周期和短周期的雙頻振蕩.而Neimark-Sacker 流動(dòng)分岔點(diǎn)正是非定常周期性流動(dòng)和非定常準(zhǔn)周期性流動(dòng)的臨界點(diǎn);Period-doubling 流動(dòng)分岔點(diǎn)出現(xiàn)后,標(biāo)志著流場(chǎng)從非定常周期性流動(dòng)躍變至湍流;再比如定常狀態(tài)下,區(qū)別不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)流場(chǎng)解的Saddle-node流動(dòng)分岔點(diǎn)和在研究流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí)捕捉到的Pitchfork 流動(dòng)分岔點(diǎn).這樣的基礎(chǔ)研究,對(duì)準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)流場(chǎng)的物理特性意義巨大.

作者在之前的研究工作[14-15]中針對(duì)三角腔頂蓋驅(qū)動(dòng)內(nèi)流,經(jīng)典方腔頂蓋驅(qū)動(dòng)內(nèi)流以及上下邊雙驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流開(kāi)展了全面的流場(chǎng)穩(wěn)定性分析研究.較為完整地揭示了以上流動(dòng)問(wèn)題的流場(chǎng)過(guò)渡流臨界特性.同時(shí)發(fā)現(xiàn)流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的 π 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與流場(chǎng)穩(wěn)定性密切相關(guān),對(duì)流場(chǎng)的演化也有較大影響.根據(jù)之前的研究經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)對(duì)稱驅(qū)動(dòng)條件對(duì)于腔體內(nèi)流的過(guò)渡流臨界特性影響非常大.當(dāng)驅(qū)動(dòng)條件布置在相向的兩個(gè)邊界時(shí),會(huì)導(dǎo)致流場(chǎng)內(nèi)的鏡像和 π 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,而這些流場(chǎng)對(duì)稱性又與流場(chǎng)的穩(wěn)定性息息相關(guān),對(duì)更好地理解流場(chǎng)物理規(guī)律有重要意義.而單邊鏡像對(duì)稱驅(qū)動(dòng)內(nèi)流的相對(duì)缺乏,沒(méi)有形成完整的體系化的研究.本文獨(dú)特的單邊鏡像驅(qū)動(dòng)條件使得頂蓋的剪應(yīng)力分布相較于常規(guī)邊界驅(qū)動(dòng)內(nèi)流發(fā)生了巨大變化,導(dǎo)致了流場(chǎng)具有更強(qiáng)的失穩(wěn)性,其流動(dòng)機(jī)理也更為復(fù)雜.為了進(jìn)一步明晰鏡像對(duì)稱性與流場(chǎng)穩(wěn)定性的關(guān)系及對(duì)流場(chǎng)演化的影響規(guī)律,針對(duì)鏡像對(duì)稱頂蓋驅(qū)動(dòng)內(nèi)流開(kāi)展過(guò)渡流臨界特性研究.

1 不可壓縮LBM 計(jì)算模型

本文的研究目的在于揭示鏡像對(duì)稱頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流的過(guò)渡流臨界特性,數(shù)值模擬工作以低馬赫數(shù)和低雷諾數(shù)為主.所涉及馬赫數(shù)為Ma=0.173 2,雷諾數(shù)為Re≤20 000,因此選取傳統(tǒng)格子Boltzmann方法[16-19]中的經(jīng)典單松弛碰撞遷移模型作為本文數(shù)值模擬的計(jì)算模型,且使用了目前應(yīng)用最廣泛的LBGK D2Q9 模型[20].其中平衡態(tài)分布函數(shù)的構(gòu)造為

式中,ωi和ei分別對(duì)應(yīng)離散時(shí)空模型中不同離散方向的權(quán)系數(shù)和離散速度,即

其中,c=Δx/Δt=1 為格子速度,Δx為網(wǎng)格步長(zhǎng),Δt為時(shí)間步長(zhǎng).格子Boltzmann 控制方程為

其中,fi為碰撞遷移前的分布函數(shù),Fi為碰撞遷移前的分布函數(shù),τ 為松弛時(shí)間. ρ 和u為流體粒子的宏觀密度和速度,即

2 數(shù)值模擬背景

2.1 計(jì)算域構(gòu)建及參數(shù)設(shè)計(jì)

均勻直角網(wǎng)格具有網(wǎng)格質(zhì)量好,魯棒性高等特點(diǎn),其網(wǎng)格結(jié)構(gòu)天然契合格子Boltzmann 方法的碰撞遷移理論,因此在LBM 數(shù)值模擬中得到了廣泛應(yīng)用.本文使用的均勻直角網(wǎng)格,網(wǎng)格分辨率為1024×1024,網(wǎng)格步長(zhǎng) Δx=1/1024,在之前的研究工作中[15]我們已經(jīng)開(kāi)展了相關(guān)的網(wǎng)格獨(dú)立性驗(yàn)證,研究結(jié)果表明這個(gè)網(wǎng)格尺度足以保證計(jì)算結(jié)果的精確性和可靠性.尤其對(duì)于腔體內(nèi)流流場(chǎng)在Re≤20 000 的計(jì)算狀態(tài)下,能夠保證y+＜0.5,具備捕捉邊界層流動(dòng)信息的能力.如圖1 所示,計(jì)算域特征長(zhǎng)度L=1.0 是方腔的邊長(zhǎng).頂蓋鏡像對(duì)稱驅(qū)動(dòng)條件為

本文在過(guò)渡流臨界特性分析研究中設(shè)計(jì)了兩個(gè)數(shù)值模擬信息采集點(diǎn)(如圖1 所示)Plm(x=0.25,y=0.5)和Prm(x=0.75,y=0.5) 用于記錄流場(chǎng)中局部速度隨時(shí)間的變化曲線.同時(shí),為了研究流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的鏡像對(duì)稱性,設(shè)計(jì)了對(duì)稱性參數(shù) ξ,定義為

圖1 計(jì)算域Fig.1 Computational domain

其中,ulm和vlm是點(diǎn)Plm(x=L/4,y=L/2)水平和垂直速度分量,而urm和vrm是對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Prm(x=3L/4,y=L/2)的水平和垂直速度分量.

2.2 邊界條件處理

本文數(shù)值模擬的邊界條件均為平直邊界(方腔四個(gè)邊).其中頂蓋為驅(qū)動(dòng)邊界,其余三邊均為物面邊界.為此本文采用了經(jīng)典的非平衡態(tài)外推格式[21].該格式的基本思想是,將邊界節(jié)點(diǎn)上的分布函數(shù)分為平衡態(tài)和非平衡態(tài)兩部分.其中,平衡態(tài)部分由平衡態(tài)分布函數(shù)的定義近似獲得,而非平衡態(tài)部分則用非平衡態(tài)外推法求解.

如圖2 所示點(diǎn)D,E和F為遠(yuǎn)場(chǎng)邊界點(diǎn),根據(jù)LBM 的演化(碰撞遷移)原理可知,在每次演化之前需要求解每個(gè)點(diǎn)的分布函數(shù),對(duì)于E點(diǎn)其分布函數(shù)可看作兩部分: 平衡態(tài)分布函數(shù)和非平衡態(tài)分布函數(shù),即

圖2 平直物面邊界Fig.2 Straight wall boundary

因此,可以近似求解E點(diǎn)的分布函數(shù)

若考慮邊界點(diǎn)的碰撞過(guò)程,則邊界點(diǎn)E的分布函數(shù)為

綜上,可以確定壁面邊界和驅(qū)動(dòng)邊界點(diǎn)的分布函數(shù),各邊界點(diǎn)宏觀物理量構(gòu)造如下

3 計(jì)算結(jié)果與分析討論

3.1 定常流動(dòng)

根據(jù)流動(dòng)的演化機(jī)理,隨著雷諾數(shù)的增加流動(dòng)會(huì)從定常狀態(tài)演化為非定常狀態(tài)[22-23].本文選取Re=1000時(shí)的數(shù)值模擬結(jié)果作為鏡像對(duì)稱頂蓋驅(qū)動(dòng)內(nèi)流定常結(jié)果的代表.如圖3(a)和圖3(b)所示,分別介紹了該雷諾數(shù)下的流線圖和渦量圖.由流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可見(jiàn),由于對(duì)稱驅(qū)動(dòng)的作用,流動(dòng)在此時(shí)保持了非常好的對(duì)稱性,兩個(gè)對(duì)稱主渦幾乎占據(jù)了整個(gè)計(jì)算域,主渦的周邊存在著兩對(duì)對(duì)稱次級(jí)渦.從主渦和次級(jí)渦的演化和分布規(guī)律可以觀察到腔體內(nèi)流的典型特征.此外,本文數(shù)值模擬結(jié)果中其余的所有渦量圖都使用了如圖3(b)所示的統(tǒng)一色條.

圖3(c)描繪了信息采集點(diǎn)Plm和Prm的水平速度分量及對(duì)稱性參數(shù)隨時(shí)間的變化曲線,其中t是無(wú)量綱流場(chǎng)演化步數(shù).從三個(gè)曲線中可以看出此時(shí)的流動(dòng)收斂于一個(gè)定常狀態(tài)且進(jìn)一步從數(shù)值方面證明,此時(shí)的流動(dòng)是嚴(yán)格對(duì)稱的(ξ ≡0).相較于之前的研究工作[14-15],沒(méi)有發(fā)現(xiàn)類似三角腔頂蓋驅(qū)動(dòng)內(nèi)流的Saddle-node 流動(dòng)分岔點(diǎn),說(shuō)明對(duì)于定常流動(dòng),只存在一種流場(chǎng)解,這與經(jīng)典的頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流研究結(jié)論一致.

圖3 Re=1000 時(shí)的定常計(jì)算結(jié)果Fig.3 Steady state atRe=1000

3.2 非定常流動(dòng)

本文選取了三個(gè)計(jì)算狀態(tài)分別揭示周期性流動(dòng)(Re=1700)、準(zhǔn)周期性流動(dòng)(Re=1735) 和湍流(Re=20 000)的流場(chǎng)特性.

圖4 展示了不同雷諾數(shù)信息采集點(diǎn)Prm的水平速度分量及通過(guò)傅里葉變換之后的速度頻譜曲線.可以看出當(dāng)雷諾數(shù)增加至1700 時(shí)流動(dòng)已經(jīng)演化為非定常周期性流動(dòng),此時(shí)流場(chǎng)穩(wěn)定性已被破壞,取而代之的是以頻率為f=1/T=0.343 的周期性振蕩.當(dāng)雷諾數(shù)進(jìn)一步增加至1735 時(shí),流動(dòng)演化為非定常準(zhǔn)周期性流動(dòng),雖然保留了周期性流動(dòng)的部分特征,但是此時(shí)的流動(dòng)不在以周期性單一頻率振蕩演化.從圖中可以看到代表準(zhǔn)周期性流動(dòng)典型特征的雙頻率,其中f1=0.338 是從周期性流動(dòng)繼承而來(lái)的基本頻率,而f2=0.169 是伴隨周期性流動(dòng)出現(xiàn)的調(diào)制頻率,其他頻峰則是基本頻率和調(diào)制頻率的線性組合.當(dāng)雷諾數(shù)增加至20 000 時(shí),流場(chǎng)已完全被湍流取代,但是從速度頻譜圖中仍可以觀察到之前準(zhǔn)周期性流動(dòng)的雙頻率,而圍繞雙頻率頻峰的基本都是寬帶噪音.此時(shí)從速度曲線圖也可以看到流動(dòng)演化的無(wú)序性和隨機(jī)性.圖5 給出了對(duì)應(yīng)雷諾數(shù)的速度相圖,其中閉合的單一曲線代表了周期性流動(dòng).而準(zhǔn)周期性流動(dòng)的相圖不再是單一閉合的曲線,也不是混沌狀態(tài)的一團(tuán)亂麻(湍流),而是介于二者之間的過(guò)渡狀態(tài),其物理特性既繼承了周期性流動(dòng)的部分特征同時(shí)預(yù)示了可能出現(xiàn)的湍流.

圖4 速度頻譜圖Fig.4 Velocity spectrum

圖5 速度相圖Fig.5 Velocity phase map

結(jié)合圖6,展示了周期性流動(dòng)在一個(gè)完整周期內(nèi)不同時(shí)刻的流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).圖6(a) 給出了周期性流動(dòng)完整周期內(nèi)水平速度隨時(shí)間的變化曲線以及不同時(shí)刻的選取方式.此時(shí),流動(dòng)仍舊繼承了流動(dòng)定常解拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的主要特征,可以觀察到兩個(gè)主渦及其附近的次級(jí)渦依舊存在,只不過(guò)整個(gè)流場(chǎng)以f=0.343的頻率循環(huán)振蕩.

圖6 完整周期內(nèi)不同時(shí)刻渦量圖(Re=1700)Fig.6 Vorticity snapshots at different time steps within a full period T (Re=1700)

圖7 描述了準(zhǔn)周期性流動(dòng)(Re=1735)在不同龐加萊交叉點(diǎn)的流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),給出了準(zhǔn)周期性流動(dòng)龐加萊交叉點(diǎn)的選取方式.圖中urm代表準(zhǔn)周期性解信息采集點(diǎn)Prm處沿x方向的速度分量代表準(zhǔn)周期性解調(diào)制頻率f2對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)周期在一個(gè)整周期內(nèi)的速度隨時(shí)間t的曲線.龐加萊交叉點(diǎn)的選取滿足urm=-0.003 46 和的條件.圖7(b)～圖7(d)分別展示了準(zhǔn)周期性解在不同時(shí)刻(龐加萊交叉點(diǎn))的瞬時(shí)渦量圖,雖然整體流動(dòng)趨勢(shì)基本一致,但是流動(dòng)細(xì)節(jié)有不同的呈現(xiàn)(見(jiàn)圖7(d)所示的對(duì)應(yīng)不同時(shí)刻的流函數(shù)).這是因?yàn)榇藭r(shí)流場(chǎng)已經(jīng)演化為準(zhǔn)周期性流動(dòng),盡管龐加萊交叉點(diǎn)的選取方式一致,但是對(duì)應(yīng)的是準(zhǔn)周期性解調(diào)制頻率f2所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)周期在不同時(shí)刻的瞬時(shí)渦量圖.可以想象,如果此時(shí)的流動(dòng)仍為周期性流動(dòng),那么這三個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果將完全一致.這也進(jìn)一步證實(shí)了流動(dòng)此時(shí)已經(jīng)演化為準(zhǔn)周期性流動(dòng)的事實(shí).從流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來(lái)看,此時(shí)的準(zhǔn)周期性解與周期性解的差別不是特別明顯,需要從流動(dòng)細(xì)節(jié)觀察區(qū)分.因?yàn)榱鲃?dòng)剛從周期性演化至準(zhǔn)周期性不久,其準(zhǔn)周期性特征不是特別明顯,單從流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)很難區(qū)分.

圖7 準(zhǔn)周期性解(Re=1735)Fig.7 A quasi-periodic solution (Re=1735)

結(jié)合圖8 分析了湍流流動(dòng)狀態(tài)的流場(chǎng)特性,圖8(a)揭示了湍流狀態(tài)下的能量頻譜圖,可以看到湍流慣性子區(qū)的斜率為 -5/3,跟文獻(xiàn)[24-26]的結(jié)論一致.伴隨能量級(jí)串現(xiàn)象的出現(xiàn),大尺度的渦結(jié)構(gòu)已破碎變成細(xì)小的渦結(jié)構(gòu),而能量也依次傳遞至小尺度的渦結(jié)構(gòu)直至Kolmogorov 尺度的能量耗散現(xiàn)象.

圖8 湍流狀態(tài)計(jì)算結(jié)果Fig.8 Results for chaos

圖8(b)給出了某一特定時(shí)刻的流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),其中實(shí)線代表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的渦,虛線代表順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的渦,雖然此時(shí)流場(chǎng)已演化至湍流,流動(dòng)已變得隨機(jī)和無(wú)序,但是部分特征仍舊明顯,如流場(chǎng)內(nèi)大尺度的渦結(jié)構(gòu)都發(fā)生了破壞,此時(shí)主導(dǎo)流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基本都是小尺度的細(xì)碎渦結(jié)構(gòu).并且每個(gè)尺度的渦結(jié)構(gòu)都有對(duì)應(yīng)的振蕩頻率,如圖8(b)所示,頻峰f1所對(duì)應(yīng)的頻率為主渦的振蕩頻率,相較于定常結(jié)果(見(jiàn)圖3),主渦的結(jié)構(gòu)發(fā)生了明顯破壞,且尺度變小.頻峰f2,f3,和f4分別對(duì)應(yīng)不同位置的次級(jí)渦的振蕩頻率.頻峰f5和f6對(duì)應(yīng)邊角處次級(jí)渦的振蕩頻率.除了這些較大尺度的渦系結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的振蕩頻率,從能量頻譜曲線中還可以觀察到其他頻峰對(duì)應(yīng)的附著在主渦和次級(jí)渦周圍的細(xì)碎渦的頻率.

3.3 Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)

隨著雷諾數(shù)的增加,流動(dòng)會(huì)從定常狀態(tài)演化至非定常狀態(tài),本文針對(duì)鏡像對(duì)稱頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流,根據(jù)研究不同雷諾數(shù)下的擾動(dòng)衰減系數(shù)(Lyapunov指數(shù)) ε=ln(urm-Uˉ),發(fā)現(xiàn)流場(chǎng)穩(wěn)定性最初的破壞伴隨Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)的出現(xiàn)而發(fā)生,這與我們之前研究工作[14-15]中的結(jié)論一致.如圖9 所示,當(dāng)雷諾數(shù)從1500 增至1692 時(shí),擾動(dòng)衰減系數(shù)的斜率不斷增大,從一個(gè)負(fù)值逐漸趨向于0.當(dāng)擾動(dòng)衰減系數(shù)的斜率變?yōu)? 時(shí),說(shuō)明此時(shí)流動(dòng)已經(jīng)演化為非定常周期性流動(dòng),意味著Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)出現(xiàn)在雷諾數(shù)等于1691 和1692 之間.對(duì)比經(jīng)典的頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流[14-15,27-28](ReH=8025±25),我們發(fā)現(xiàn),該流場(chǎng)的穩(wěn)定性非常差,很容易失穩(wěn).說(shuō)明頂蓋鏡像驅(qū)動(dòng)對(duì)于腔體內(nèi)流有很強(qiáng)的失穩(wěn)作用.

圖9 擾動(dòng)衰減系數(shù)Fig.9 Perturbation decay rate

3.4 Neimark-Sacker 流動(dòng)分岔點(diǎn)

隨著雷諾數(shù)的進(jìn)一步增加,從1725 增至1735,流動(dòng)由非定常周期性流動(dòng)演化為非定常準(zhǔn)周期性流動(dòng).說(shuō)明Neimark-Sacker 流動(dòng)分岔點(diǎn)出現(xiàn)在雷諾數(shù)等于1725 和1735 之間.圖10(a)和圖10(b)分別展示了速度頻譜圖和相圖,其中黑色和紅色曲線分別代表雷諾數(shù)為1725 和1735 的計(jì)算結(jié)果.結(jié)合圖10(a),可以觀察到周期性解的振蕩頻率為f=0.338,其他頻峰均為f的整數(shù)倍,為基本頻率的諧振頻率.而準(zhǔn)周期性解則有兩個(gè)頻率,分別為基本頻率f1=0.333,調(diào)制頻率f2=0.169,其他頻峰則是f1和f2的線性組合,如f3=f1+f2=0.502 ,f4=f1+2f2=0.671.如圖10(b)所示,周期性解的相圖是一個(gè)閉合的單一曲線,而準(zhǔn)周期性解的相圖則由一組曲線族構(gòu)成.類似頂蓋驅(qū)動(dòng)和頂?shù)纂p邊驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流[14-15],研究發(fā)現(xiàn)流動(dòng)非定常周期性的破壞通常都是伴隨Neimark-Sacker 流動(dòng)分岔點(diǎn)的出現(xiàn)而發(fā)生.沒(méi)有發(fā)現(xiàn)類似三角腔頂蓋驅(qū)動(dòng)和四邊驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流時(shí)所出現(xiàn)的Period-doubling流動(dòng)分岔點(diǎn).并且類似其他腔體內(nèi)流流動(dòng),流動(dòng)的非定常周期性并不能長(zhǎng)期保持,隨著雷諾數(shù)增加,伴隨準(zhǔn)周期性流動(dòng)典型雙環(huán)形結(jié)構(gòu)的出現(xiàn),流動(dòng)很快會(huì)進(jìn)一步演化為準(zhǔn)周期性流動(dòng).

圖10 周期性和準(zhǔn)周期性計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison between periodic and quasi-periodic solutions

3.5 湍流始現(xiàn)

經(jīng)歷了Neimark-Sacker 流動(dòng)分岔點(diǎn)之后,當(dāng)雷雷諾數(shù)增加至1750 時(shí),流場(chǎng)演化逐漸表現(xiàn)出無(wú)序性和隨機(jī)性,說(shuō)明湍流出現(xiàn)在雷諾數(shù)等于1735 和1750之間.圖11(a)和圖11(b)分別展示了速度頻譜圖和速度相圖,其中黑色和紅色曲線分別代表雷諾數(shù)為1735和1750 的計(jì)算結(jié)果.從速度頻譜圖(圖11(a))可以明顯觀察到準(zhǔn)周期性解的兩個(gè)頻率,分別為基本頻率f1=0.333,調(diào)制頻率f2=0.169.當(dāng)雷諾數(shù)增加至1750 時(shí),雖然仍舊可以觀察到從準(zhǔn)周期性流動(dòng)中繼承來(lái)的兩個(gè)振蕩頻率,但是被一系列寬頻噪音所包圍,說(shuō)明此時(shí)流動(dòng)已然變?yōu)橥牧?如圖11(b)所示,準(zhǔn)周期性解的速度相圖是閉合的曲線族(圖11(b)局部放大圖),而湍流的速度相圖明顯是一個(gè)無(wú)序、隨機(jī)的混亂系統(tǒng),更進(jìn)一步證實(shí)此時(shí)流動(dòng)特性主要表現(xiàn)為湍流.至此,流動(dòng)的演化路徑已基本明晰,這與頂蓋和頂?shù)纂p邊驅(qū)動(dòng)內(nèi)流的研究結(jié)論保持一致,即流動(dòng)先從定常演化為非定常周期性,再演化為準(zhǔn)周期性流動(dòng),最終演化為湍流.

圖11 準(zhǔn)周期性和湍流計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison between quasi-periodic and chaotic solutions

3.6 流場(chǎng)鏡像對(duì)稱性

由于本文的驅(qū)動(dòng)條件為嚴(yán)格的頂蓋鏡像對(duì)稱,所以流動(dòng)在初期表現(xiàn)出了嚴(yán)格的對(duì)稱性,且對(duì)稱性參數(shù)一直為0(見(jiàn)圖3).但是當(dāng)我們觀察對(duì)稱性參數(shù)(圖12)時(shí),可以看到當(dāng)Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),對(duì)稱性參數(shù)不再是0,且隨著雷諾數(shù)增大而逐漸增加.這就說(shuō)明當(dāng)Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),伴隨著流場(chǎng)穩(wěn)定性的破壞,流場(chǎng)鏡像對(duì)稱性也發(fā)生了破壞,這與我們之前研究[15]中觀察到的結(jié)論類似,即流場(chǎng) π 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與流場(chǎng)穩(wěn)定性同時(shí)喪失.同時(shí)對(duì)比與該流動(dòng)較為類似的Taylor-Couette 流動(dòng),我們發(fā)現(xiàn)了相同的結(jié)論,鏡像對(duì)稱性的破壞往往伴隨著流場(chǎng)穩(wěn)定性的喪失,流動(dòng)不可能不經(jīng)歷對(duì)稱性破壞而直接演化為湍流[29-30].

圖12 不同雷諾數(shù)的對(duì)稱性參數(shù)Fig.12 Symmetry at different Re

雖然此時(shí)對(duì)稱參數(shù)在數(shù)量級(jí)上非常小,但是足以說(shuō)明流場(chǎng)對(duì)稱性在逐漸喪失,這樣的微小差別在肉眼觀察流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí)很難發(fā)現(xiàn).但隨著雷諾數(shù)進(jìn)一步增加,流場(chǎng)非對(duì)稱性就可以直觀地顯現(xiàn)出來(lái)(見(jiàn)圖6).圖13 展示了流場(chǎng)演化之標(biāo)準(zhǔn)周期性流動(dòng)時(shí)的速度曲線和對(duì)稱性參數(shù)曲線.可以清晰地看到此時(shí)的對(duì)稱參數(shù)以0.015 左右的振幅周期性振蕩.

圖13 水平速度分量及對(duì)稱性參數(shù)(Re=1700)Fig.13 Velocity and symmetry series (Re=1700)

3.7 流動(dòng)滯后

在本文之前的研究工作中,我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于頂蓋鏡像對(duì)稱驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流這一特定流場(chǎng),Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)出現(xiàn)在雷諾數(shù)等于1691 和1692 之間.這個(gè)結(jié)論從圖14 中也可進(jìn)一步證實(shí),當(dāng)雷諾數(shù)增加至1700 時(shí),流動(dòng)從定常狀態(tài)演化至非定常周期性流動(dòng).如圖所示,紅色符號(hào)代表由初始狀態(tài)計(jì)算得到的結(jié)果,而黑色符號(hào)意味著,首先基于初始狀態(tài)計(jì)算得到周期性結(jié)果(Re=1700),然后在此基礎(chǔ)上計(jì)算雷諾數(shù)小于1700 的流動(dòng).其中×代表定常結(jié)果,△,□ 和 ○ 分別代表非定常周期性流動(dòng)的最小值、平均值和最大值.

圖14 流動(dòng)滯后現(xiàn)象Fig.14 Flow hysteresis

如圖所示,基于Re=1700 的周期性結(jié)果將雷諾數(shù)分別降至1600,1500 和1400,流動(dòng)仍然保持周期性特性,并非之前觀察到的定常結(jié)果(由初始態(tài)計(jì)算得到),說(shuō)明存在流動(dòng)滯后(flow hysteresis)現(xiàn)象.進(jìn)一步降低雷諾數(shù)至1350,此時(shí)流動(dòng)才回落至定常狀態(tài),說(shuō)明流動(dòng)滯后現(xiàn)象發(fā)生在 1350 ＜Re＜1700 這個(gè)區(qū)間.同時(shí)也說(shuō)明此前捕捉到的Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)為亞臨界(subcritical)形式.流動(dòng)滯后現(xiàn)象的出現(xiàn)意味著在 1350 ＜Re＜1700 這個(gè)區(qū)間,對(duì)應(yīng)的每個(gè)雷諾數(shù)會(huì)有兩種解的可能性,一種是定常狀態(tài),另一種是周期性狀態(tài).并且,根據(jù)觀察得到,此周期性流動(dòng)的基本規(guī)律與之前基于初始狀態(tài)計(jì)算得到的周期性解特性基本一致.如圖15 所示,展示了Re=1600 時(shí)的周期性解在一個(gè)完整周期內(nèi)不同時(shí)刻的渦量圖.

圖15 完整周期內(nèi)不同時(shí)刻渦量圖(Re=1600)Fig.15 Vorticity snapshots at different time steps within a full period T (Re=1600)

4 結(jié)論

針對(duì)鏡像對(duì)稱頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔內(nèi)流,本文開(kāi)展了流動(dòng)從定常流動(dòng)到湍流的數(shù)值模擬和流場(chǎng)穩(wěn)定性分析研究,捕捉并解釋各種流動(dòng)現(xiàn)象,從物理層面揭示該流場(chǎng)的流動(dòng)機(jī)理,具體結(jié)論如下.

(1) 流場(chǎng)穩(wěn)定性的破壞是以Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)的出現(xiàn)而開(kāi)始.

(2) 相較于經(jīng)典頂蓋方腔驅(qū)動(dòng)內(nèi)流,流場(chǎng)穩(wěn)定性更容易喪失,Hopf 流動(dòng)分岔點(diǎn)的臨界雷諾數(shù)為ReH=1691.5±0.5.

(3) 流場(chǎng)穩(wěn)定性被破壞的同時(shí),也喪失了流場(chǎng)鏡像對(duì)稱性.

(4) 流動(dòng)喪失穩(wěn)定性后會(huì)迅速?gòu)姆嵌ǔＶ芷谛粤鲃?dòng)演化為非定常準(zhǔn)周期性流動(dòng),Neimark-Sacker 流動(dòng)分岔點(diǎn)出現(xiàn)在ReNS=1712.5±12.5.

(5) 當(dāng)雷諾數(shù)增至ReC=1762.5±12.5,湍流出現(xiàn),流動(dòng)變得無(wú)序隨機(jī).

(6) 當(dāng)流動(dòng)進(jìn)一步演化后,隨著雷諾數(shù)增大,大尺度的渦結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞變成小尺度的細(xì)碎渦結(jié)構(gòu),同時(shí)能量從大尺度的渦結(jié)構(gòu)傳遞至小尺度的渦結(jié)構(gòu)直至Kolmogorov 尺度的能量耗散.

(7) 流場(chǎng)演化遵循經(jīng)典的Ruelle-Takens 模式,從定常演化為非定常周期性流動(dòng),再到準(zhǔn)周期性流動(dòng),最后演化為湍流.

(8) 在 1350 ＜Re＜1700 這個(gè)區(qū)間存在流動(dòng)滯后現(xiàn)象,對(duì)于同一個(gè)雷諾數(shù)有兩種可能的解,一種是定常流動(dòng),另一種是非定常周期性流動(dòng).并且發(fā)現(xiàn)Hopf流動(dòng)分岔點(diǎn)為亞臨界型.

為了更好地分析上文介紹的三種典型流動(dòng)狀態(tài)(非定常周期性流動(dòng)、非定常準(zhǔn)周期性流動(dòng)和湍流)的流場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征,本文準(zhǔn)備了相關(guān)視頻動(dòng)畫進(jìn)一步展示了流場(chǎng)細(xì)節(jié).同時(shí)對(duì)應(yīng)流動(dòng)滯后現(xiàn)象,還準(zhǔn)備了對(duì)應(yīng)同一個(gè)雷諾數(shù)可能的非定常周期性解的流動(dòng)特性.