含流體復(fù)雜孔隙介質(zhì)地震波衰減與頻散

宗兆云， 宋琉璇， 印興耀

中國石油大學(xué)(華東)， 青島 266580

0 引言

在地震勘探中，地震波中攜帶著與地下介質(zhì)息息相關(guān)的資料與信息，如何合理地利用這些信息來進(jìn)行流體識(shí)別、儲(chǔ)層預(yù)測以及儲(chǔ)層邊界刻畫等工作，是地震勘探的關(guān)鍵所在.地震波在地下含流體孔隙介質(zhì)中傳播時(shí)，會(huì)產(chǎn)生衰減與頻散現(xiàn)象.人們普遍接受的觀點(diǎn)是由于受到孔隙流體性質(zhì)(流體類型、滲透率、黏度、飽和度等)以及巖石骨架性質(zhì)(巖石類型、孔隙度、孔隙結(jié)構(gòu)等)的影響，通過稱為Wave-Induced Fluid Flow(WIFF)的機(jī)制導(dǎo)致衰減和頻散.地震波在含流體孔隙介質(zhì)中傳播時(shí)，在不同尺度上產(chǎn)生流體壓力梯度，使流體與固體發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)直至孔隙流體壓力平衡，這是產(chǎn)生WIFF的原因.地震波的衰減與頻散是地震波的兩個(gè)重要特征，掌握其與地下含流體孔隙介質(zhì)物性參數(shù)之間的定量關(guān)系，可以為儲(chǔ)層預(yù)測提供豐富的地層以及流體信息.但受到諸多限制，使其在儲(chǔ)層預(yù)測工作中難以應(yīng)用(Winkler,1979).按照不同的尺度，地震波衰減與頻散理論可以分為微觀尺度(孔隙尺寸級別)衰減理論、介觀尺度(遠(yuǎn)大于孔隙尺寸且遠(yuǎn)小于地震波波長)衰減理論與宏觀尺度(與地震波波長相當(dāng)或大于地震波波長)衰減理論(Müller et al., 2010).在各個(gè)不同尺度，前人已經(jīng)通過考慮巖石內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)、流體分布形式等方面因素構(gòu)建了與頻率相關(guān)的地震波衰減與頻散巖石物理模型，試圖確定地震波衰減與頻散與地下含流體孔隙介質(zhì)彈性以及物性參數(shù)之間的定量關(guān)系(Zhao et al.，2013，2015；Yin et al.，2016，2017).但由于引起地震波衰減與頻散的因素多種多樣，使得前人的理論無法完全適用(王炳章等，2008；王海洋等，2012；李闖等，2020；龍騰等，2020；歐陽芳等，2021).

在宏觀尺度，Biot理論的建立為孔隙彈性理論的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)(Biot，1956a,b, 1962).該理論主要考慮了在包含均勻分布的孔隙介質(zhì)中的黏滯流體與固體骨架在地震波的作用下發(fā)生的相對運(yùn)動(dòng)，預(yù)測了慢縱波的存在，并分析了滲透率等參數(shù)對地震波造成的影響，但在實(shí)際應(yīng)用中，該理論預(yù)測的地震波的衰減值要比實(shí)測值低得多.因此不少學(xué)者致力于尋找其中的原因，其中，Dvorkin和Nur(1993)、Dvorkin等(1994)在Biot理論基礎(chǔ)上，考慮微觀尺度范圍內(nèi)橫向擠噴流的影響，建立了Biot-Squirt(BISQ)理論，彌補(bǔ)了Biot理論沒有考慮微觀尺度上波致流影響的缺陷.但BISQ理論沒有考慮微觀尺度孔隙與裂隙的具體形態(tài)，因此，針對該缺陷，不同學(xué)者提出了自己不同的見解.其中包括Pride和Berryman(2003a,b)以及Berryman(2006)提出的雙重孔隙介質(zhì)理論.隨后，巴晶(2008, 2010)、Ba等(2017)又在Biot理論的基礎(chǔ)上，詳細(xì)推導(dǎo)了雙孔模型中的波動(dòng)方程，把理論推廣至介觀尺度，并得到了地震波的衰減因子與速度頻散曲線.唐曉明(2011)和Tang等(2012)則針對兩類特殊的孔隙裂隙結(jié)構(gòu)(尖滅型裂隙與硬幣型裂隙)，詳細(xì)推導(dǎo)了在地震波的影響下，孔裂隙之間流體壓力的變化，并在Biot理論框架下，研究了這兩類孔裂隙結(jié)構(gòu)中擠噴流對地震波衰減與頻散的影響.這些理論都存在一個(gè)統(tǒng)一的缺陷，那就是無法解釋地震頻帶范圍內(nèi)的地震波衰減與頻散現(xiàn)象，該缺陷直接導(dǎo)致這些理論在地震勘探中難以應(yīng)用.

在中觀尺度，White(1975a,b)首先提出了兩類斑塊飽和模型，分析了中觀尺度的局部流體流動(dòng)，研究了這些局部流體流動(dòng)地震波衰減與頻散的影響，發(fā)現(xiàn)其可以很好地解釋地震波的衰減與頻散現(xiàn)象.Dutta和Odé(1976a,b)對White提出的兩類模型進(jìn)行了更加詳細(xì)的理論推導(dǎo).Johnson(2001)的理論結(jié)合相關(guān)實(shí)驗(yàn)得出，可如果斑塊的大小和飽和度值大致已知，就可以進(jìn)行聲波-地震轉(zhuǎn)換.吳國忱等(2014)將周期層狀斑塊飽和模型與唐曉明(2011)和Tang等(2012)提出的含孔隙、裂隙介質(zhì)彈性波動(dòng)的統(tǒng)一理論耦合，研究了中觀與微觀尺度共同作用下的地震波衰減與頻散現(xiàn)象，但其研究結(jié)果也存在明顯的缺陷，即無法將表征兩個(gè)尺度的衰減峰分離，且在高頻階段，其理論的預(yù)測結(jié)果會(huì)出現(xiàn)指數(shù)增長的異常值.Sun等(2015)、Sun(2021)提出了Biot-patchy-squirt模型來表征由兩個(gè)不混溶的流體飽和的裂縫孔隙彈性介質(zhì)中的頻散與衰減.Zhao等(2018)也在巴晶研究的基礎(chǔ)上，將White的周期層狀介質(zhì)拓展為周期雙孔介質(zhì)，并考慮橫向擠噴流的影響，建立了一種包含三種尺度彈性波動(dòng)理論的巖石物理模型，推導(dǎo)了相應(yīng)的波動(dòng)方程、研究了地震波的衰減與頻散現(xiàn)象并分析了反射透射系數(shù)的頻散特性，但其理論也同樣沒有考慮微觀孔隙與裂隙的形態(tài)(趙正陽等，2019).

因此，本文首先分析了在周期層狀斑塊飽和模型中隨機(jī)分布尖滅型、硬幣型以及混合型裂隙的模型，彌補(bǔ)了上文中所提到的吳國忱等(2014)研究的兩點(diǎn)不足.隨后又考慮宏觀流的影響，在Biot理論的基礎(chǔ)上，求解了該模型中的Biot方程，得到了地震波衰減因子與速度頻散曲線，得到的曲線有四個(gè)明顯的衰減峰，分別代表了兩類微觀孔裂隙結(jié)構(gòu)中擠噴流、中觀層間流以及宏觀全局流的影響.最后，又推導(dǎo)了在該模型上覆均勻各向同性介質(zhì)時(shí)的反射透射系數(shù)特征方程，得到了反射與透射系數(shù)與入射角和頻率變化的三維曲面圖.

1 雙尺度地震波衰減與頻散模型

如圖1所示，以White建立的周期層狀斑塊飽和模型為背景介質(zhì)，并充分考慮介質(zhì)中的孔隙與尖滅型裂隙結(jié)構(gòu)以及孔隙與裂隙之間擠噴流效應(yīng)，建立含尖滅型裂隙的周期層狀斑塊飽和模型.

圖1 含尖滅型裂隙的周期層狀斑塊飽和模型Fig.1 Periodic layered patchy saturation model with pinch-out cracks

由White理論我們可以知道，周期層狀斑塊飽和模型的等效縱波模量的表達(dá)式為：

(1)

式中，C0為水層與氣層等效縱波模量對厚度進(jìn)行加權(quán)的調(diào)和平均值，T是與流體壓力有關(guān)的參數(shù)，2L為每一層的厚度，Z為波阻抗，i為虛數(shù)單位，ω為角頻率，下標(biāo)a和b分別代表A層和B層.當(dāng)介質(zhì)中包含孔隙與裂隙結(jié)構(gòu)時(shí)，這些結(jié)構(gòu)以及其中的擠噴流會(huì)對巖石彈性模量參數(shù)影響.

以A層介質(zhì)為例，A層的等效縱波模量為：

(2)

其中，Ka和μa分別為A層的等效體積模量和剪切模量，由式(3)表示(Tang et al.，2012)：

(3)

Kd、Ks、Kf分別為干燥骨架、骨架顆粒、孔隙流體A的體積模量，μ0為干燥骨架的剪切模量，Kd和μ0由Thomsen(1985)的Biot相洽理論計(jì)算，α=1-Kd/Ks為Biot系數(shù)，φ為孔隙度，η為流體黏滯系數(shù)，S1(ω)為尖滅型裂隙結(jié)構(gòu)中的擠噴流項(xiàng)，具體表達(dá)式為(Tang et al.，2012)：

S1(ω)=

(4)

相同的過程可以得到B層中的相應(yīng)參數(shù)，然后利用式(1)即可得到模型的等效縱波模量，進(jìn)而可以計(jì)算出縱波的衰減因子與速度頻散：

(5)

圖2中硬幣型裂隙結(jié)構(gòu)中的擠噴流項(xiàng)為(唐曉明，2011)：

(6)

使用表1中的參數(shù)，裂隙密度ε與裂隙縱橫比γ分別取值0.05與0.006，可以得到兩個(gè)模型中的地震波衰減因子與縱波速度頻散曲線，如圖3所示.可以看出，計(jì)算結(jié)果可以將表征兩個(gè)不同尺度的衰減峰完全分離，并且在高頻段不會(huì)出現(xiàn)異常結(jié)果，很好地解決了前人研究的缺陷.從圖4可以看出，當(dāng)裂隙密度趨近于零時(shí)，本文兩個(gè)模型將退化為White模型，而圖5則顯示了當(dāng)孔隙形態(tài)參數(shù)相同時(shí)，本文表征微觀擠噴流的衰減峰所處頻帶與含孔隙裂隙介質(zhì)統(tǒng)一理論(唐曉明，2011；Tang et al.，2012)相同.這兩幅圖在一定程度上說明了這兩個(gè)模型的正確性.

圖2 含硬幣型裂隙的周期層狀斑塊飽和模型Fig.2 Periodic layered patchy saturation model with penny-shaped cracks

表1 含尖滅型裂隙的周期層狀斑塊飽和模型參數(shù)Table 1 Parameters of periodic layered patchy saturation model with pinch-out cracks

圖3 含尖滅型、硬幣型裂隙的周期層狀模型地震波衰減與頻散曲線Fig.3 P wave attenuation and dispersion curves of periodic layered patchy saturation model with pinch-out cracks or penny-shaped cracks

圖4 裂隙密度趨近于零時(shí)與White模型的對比Fig.4 Comparison between the two models in this paper and White′s model when crack density tend to be zero

圖5 與含孔隙、裂隙介質(zhì)統(tǒng)一理論的對比Fig.5 Comparison between the two models in this paper and the unified theory of porous and cracks media

圖6中混合型裂隙結(jié)構(gòu)中的擠噴流項(xiàng)為：S3(ω)=S1(ω)+S2(ω)，取尖滅型裂隙的裂隙密度ε1=0.25，裂隙縱橫比γ1=0.002，硬幣型裂隙的裂隙密度ε2=0.25，裂隙縱橫比γ2=0.004，采用相同的方式，可以得到該模型的地震波衰減與頻散曲線如圖7所示，可以看到，圖中存在三個(gè)明顯的衰減峰，有低頻到高頻分別代表了層間流、尖滅型裂隙中擠噴流以及硬幣型裂隙中擠噴流的影響.

圖6 含混合型裂隙的周期層狀斑塊飽和模型Fig.6 Periodic layered patchy saturation model with mixed cracks

圖7 含混合型裂隙的周期層狀模型地震波衰減與頻散曲線Fig.7 P wave attenuation and dispersion curves of periodic layered patchy saturation model with mixed cracks

2 三尺度地震波衰減與頻散模型

在雙尺度地震波衰減與頻散模型的基礎(chǔ)上，考慮宏觀全局流的影響，建立如圖8所示的模型：上下層被不同類型流體分別飽和，當(dāng)?shù)卣鸩ㄔ谀Ｐ椭袀鞑r(shí)，會(huì)在宏觀、介觀、微觀、三個(gè)尺度上誘導(dǎo)產(chǎn)生全局流、層間流以及擠噴流，為了得到地震波在模型中傳播時(shí)，由于各個(gè)不同尺度上的波致流而引起的地震波衰減與頻散，求解過程需要分為三個(gè)部分.第一部分，在不考慮層間流情況下，求取考慮孔裂隙之間擠噴流影響的由兩相流體斑塊飽和的周期層狀模型的等效彈性模量以及擠噴流對流體壓力的影響；第二部分，求取由于在分界面處由于孔隙流體壓力不同而引起的層間流對孔隙流體壓力的影響；第三部分，將得到的考慮了擠噴流以及層間流影響的平均流體壓力代入Biot方程，求解得到地震波衰減因子和頻散速度.

圖8 三尺度地震波衰減頻散模型Fig.8 Three-scale seismic wave attenuation dispersion model

2.1 不考慮層間流的等效介質(zhì)模量

首先我們需要求取不考慮層間影響的流情況下的等效介質(zhì)模量.Monachesi等(2020)對此進(jìn)行過研究，以其研究為基礎(chǔ)，我們給出了不考慮層間流情況下的圖8所示模型的等效介質(zhì)模量的求取過程.

在模型中，A層與B層包含了不同流體，我們假設(shè)：(1)系統(tǒng)被波長遠(yuǎn)大于層厚度的彈性波探測；(2)噴射長度遠(yuǎn)小于層厚度，這意味著不同層之間沒有壓力差，故不會(huì)產(chǎn)生層間流.在Gassmann流體替換理論的基礎(chǔ)下，當(dāng)兩層介質(zhì)的骨架相同時(shí)，我們可以將兩層流體等效為一種流體，并求解得出該等效流體的體積模量的精確表達(dá)式，最終我們可以求解模型被這種等效流體飽和時(shí)的等效彈性模量，即得到了不考慮層間流影響的等效介質(zhì)的彈性模量.等效流體的體積模量可以有兩類混合流體的算數(shù)平均值(Voigt上限)與調(diào)和平均值(Reuss下界)表示(Wollner and Dvorkin, 2018)：

(7)

(8)

式中，f1和f2分別為兩層介質(zhì)的厚度分?jǐn)?shù)，且有f1+f2=1，Kf1、Kf2分別為兩層流體的體積模量.

(9)

用體積模量與剪切模量表示，式(9)可寫為：

(10)

(11)

式中Ksat由Gassmann方程計(jì)算：

i=1,2，

(12)

(13)

將式(11)與式(12)代入式(13)，經(jīng)過推導(dǎo)可以求得參數(shù)X：

(14)

(15)

(16)

2.2 層間流對流體壓力的影響

在周期層狀介質(zhì)模型中，由于相鄰兩層所含流體不同而引起的層間流體壓力差，會(huì)引起層間流，并對平均流體壓力產(chǎn)生影響.

如圖9所示，從White(1975b)的理論出發(fā)，在紅色框線圈起來的研究單元內(nèi)，當(dāng)沒有流體通過分界面處時(shí)，我們假設(shè)兩層介質(zhì)的孔隙流體壓力分別為P1eiω t和P2eiω t，表示為P0的倍數(shù)為：

(17)

圖9 層間流體壓力示意圖Fig.9 Schematic diagram of fluid pressure between layers

由于T1與T2是不同的，因此會(huì)在分界面處產(chǎn)生壓力梯度，進(jìn)而引起流體在層間發(fā)生流動(dòng)，即層間流，層間流的速度為：

(18)

式中，Z1和Z2分別是介質(zhì)的波阻抗，計(jì)算方式與式(2)類似，區(qū)別在于不包含擠噴流項(xiàng)，因?yàn)榇颂巸H考慮層間流影響.由于層間流體流動(dòng)引起兩層介質(zhì)厚度發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，變化量為：

(19)

(20)

2.3 地震波衰減因子與頻散速度

前兩部分已經(jīng)求取了擠噴流和層間流對平均孔隙流體壓力的影響.則可以得到圖8所示模型中總的平均孔隙流體壓力：

(21)

令Sf=Ef/p，則式(21)可變化為：

(22)

基于Biot理論孔隙尺度以及固體顆粒的尺度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波長和固體顆粒以及孔隙空間都相互連接的基本假設(shè)，可以得到含孔隙裂隙的固體與液體雙相介質(zhì)中的平均應(yīng)力：

σij=2μeij+(λe-αp)δij.

(23)

經(jīng)過求解(附錄A)可得到兩類縱波與一類橫波的波數(shù)解：

(24)

(25)

式中：“+”表示快縱波，“-”表示慢縱波.式中各個(gè)符號由式(26)表示：

(26)

由式(27)即可得到橫波與縱波的頻散速度以及衰減因子：

(27)

由求解得到的兩類縱波以及橫波的波數(shù)，可以利用式(27)得到地震波在該模型中傳播時(shí)的衰減因子與頻散速度的曲線.使用表2中的模型參數(shù)，取裂隙密度與裂隙縱橫比為：ε1=0.025,ε2=0.025，γ1=0.001,γ2=0.0015(下標(biāo)1代表尖滅型裂隙參數(shù)，下標(biāo)2代表硬幣型裂隙參數(shù))，計(jì)算可得該模型中地震波衰減與頻散曲線圖，如圖10所示.當(dāng)?shù)卣鸩ㄔ趫D8所示模型中傳播時(shí)，由于受到宏觀全局流、介觀層間流以及兩類微觀孔裂隙結(jié)構(gòu)中的擠噴流的影響，快縱波與橫波的衰減曲線都會(huì)出現(xiàn)四個(gè)明顯的衰減峰，這四個(gè)衰減峰由低頻至高頻分別表征了介觀尺度的層間流、微觀尖滅型裂隙內(nèi)擠噴流、微觀硬幣型裂隙內(nèi)擠噴流以及宏觀全局流的影響.我們將含孔隙裂隙介質(zhì)統(tǒng)一理論(唐曉明，2011；Tang et al.，2012)中所含流體的流體參數(shù)用2.1節(jié)中所求等效流體替代，裂隙參數(shù)選擇與本節(jié)模型參數(shù)相同，計(jì)算得到的快縱波頻散速度與衰減因子如圖10a、b中綠色、藍(lán)色曲線所示，對比可以發(fā)現(xiàn)，在誤差允許范圍內(nèi)，本文模型與該理論契合.

表2 三尺度模型數(shù)值模擬參數(shù)Table 2 Numerical simulation parameters of the three-scale model

圖10 三尺度模型地震波衰減與頻散曲線(a)、(b)、(c)、(d) 快、慢縱波的速度頻散與衰減； (e)、(f) 橫波的速度頻散與衰減.Fig.10 Seismic wave attenuation and dispersion curves of the three-scale model(a), (b), (c) and (d) Velocity dispersion and attenuation of fast and slow P waves； (e) and (f) Velocity dispersion and attenuation of S waves.

之后，我們進(jìn)行了參數(shù)分析，將地震波在該模型中傳播時(shí)各個(gè)尺度的衰減峰隨不同參數(shù)的變化情況與已有理論進(jìn)行對比.如圖11所示，滲透率的變化不影響地震波衰減總量，并且，隨著滲透率的增大，表征介觀層間流的衰減峰向著高頻移動(dòng)，表征宏觀全局流的衰減峰向著低頻方向移動(dòng)，對表征微觀擠噴流的衰減峰不產(chǎn)生影響.如圖12所示，隨著裂隙縱橫比的增大，表征微觀擠噴流的衰減峰向著高頻方向移動(dòng)，而表征全局流和層間流的衰減峰不發(fā)生變化，并且總的衰減值也不發(fā)生變化.從圖13中則可以看出，隨著裂隙密度的變化，各個(gè)衰減峰的頻帶都不會(huì)發(fā)生變化，只有衰減的峰值與速度的大小會(huì)隨之變化.

圖11 不同滲透率條件下三類地震波衰減與頻散曲線(a)、(b)、(c)、(d) 快、慢縱波的速度頻散與衰減； (e)、(f) 橫波的速度頻散與衰減.Fig.11 Dispersion velocities and attenuation curves of three kinds of seismic waves with different permeability(a), (b), (c) and (d) Velocity dispersion and attenuation of fast and slow P waves；(e) and (f) Velocity dispersion and attenuation of S waves.

圖12 不同裂隙縱橫比條件下三類地震波衰減與頻散曲線(a)、(b)、(c)、(d) 快、慢縱波的速度頻散與衰減； (e)、(f) 橫波的速度頻散與衰減.Fig.12 Dispersion velocities and attenuation curves of three kinds of seismic waves with different crack aspect ratio (a), (b), (c) and (d) Velocity dispersion and attenuation of fast and slow P waves； (e) and (f) Velocity dispersion and attenuation of S waves.

圖13 不同裂隙密度條件下三類地震波衰減與頻散曲線(a)、(b)、(c)、(d) 快、慢縱波的速度頻散與衰減； (e)、(f) 橫波的速度頻散與衰減.Fig.13 Dispersion velocities and attenuation curves of three kinds of seismic waves with different crack density(a), (b), (c) and (d) Velocity dispersion and attenuation of fast and slow P waves；(e) and (f) Velocity dispersion and attenuation of S waves.

3 三尺度模型反射透射系數(shù)方程

如圖14所示，我們建立分界面反射和透射模型.分界面上層介質(zhì)Ⅰ為均勻各向同性介質(zhì)，下層介質(zhì)Ⅱ?yàn)閳D8所示周期層狀介質(zhì).由前文的分析可知，當(dāng)縱波從上層介質(zhì)入射時(shí)，會(huì)在上層介質(zhì)中產(chǎn)生兩類反射縱波、一類反射橫波，在下層介質(zhì)中會(huì)產(chǎn)生兩類透射縱波與一類透射橫波.在圖14所示坐標(biāo)系中，使用位函數(shù)φ和ψ代表兩類極化波，并給出各個(gè)極化波的位函數(shù)的平面波表達(dá)式：

入射縱波：

(28a)

(28b)

反射縱波：

(29a)

(29b)

反射橫波：

(30a)

(30b)

透射縱波：

(31a)

(31b)

透射橫波：

(32a)

(32b)

式(28)—式(32)中，A為位移位振幅，k為波數(shù)，上標(biāo)in、r、t分別代表入射波、反射波與透射波，上標(biāo)p、s分別代表縱波與橫波，下標(biāo)s、f分別代表固體和流體，下標(biāo)1和2分別代表快縱波與慢縱波，下標(biāo)x、z代表x和z方向上的分量.

根據(jù)斯奈爾定律可知：

(33)

在位函數(shù)的表達(dá)式中，沿x方向的波數(shù)定義為：

(34)

且有：

(35)

沿z方向的波數(shù)定義為：

(36)

固體位移與流體位移在x、z方向上的分量ux、uz、Ux、Uz分別為：

(37a)

(37b)

將式(28)—式(37)代入式(A4)中，即可得到流體與固體中位移位振幅比.上下兩層介質(zhì)的流體壓力項(xiàng)分別為：

(38a)

(38b)

計(jì)算得到的入射縱波與反射快縱波的流固位移

位振幅比為：

(39a)

反射慢縱波的流固位移位振幅比為：

(39b)

透射快縱波的流固位移位振幅比為：

(39c)

透射慢縱波的流固位移位振幅比為：

(39d)

反射橫波的流固位移位振幅比為：

(39e)

透射橫波的流固位移位振幅比為：

(39f)

圖14 反射和透射模型Fig.14 Reflection and transmission model

式(39)中，入射波與反射波表達(dá)式中介質(zhì)參數(shù)采用上層介質(zhì)參數(shù)，透射波表達(dá)式采用下層介質(zhì)參數(shù).用式(39)則可將流體中各類極化波的位移位振幅用固體中相應(yīng)極化波的位移位振幅表示.為表示方便，令式(39)等號右端項(xiàng)分別為H1、H2、H3、H4、H5、H6.

在介質(zhì)Ι中，總的位函數(shù)為：

(40a)

(40b)

在介質(zhì)ΙΙ中，總的位函數(shù)為：

(41a)

(41b)

(1)分界面處x方向固體位移連續(xù)：

(42a)

(2)分界面處z方向固體位移連續(xù)：

(42b)

(3)分界面處切應(yīng)力連續(xù)：

(42c)

(4)分界面處正應(yīng)力連續(xù)：

(42d)

(5)分界面處z方向流體流量連續(xù)：

(42e)

(6)分界面處z方向流體壓力連續(xù)：

(42f)

其中σij=2μeij+(λe-αp)δij，w=φ(U-u).

g11rp1p1+g12rp1p2+g13rp1s+g14tp1p1+g15tp1p2+g16rp1s=p11，

(43a)

式中，g11=sinα1，g12=sinα2，g13=cosα3，g14=sinα′1，g15=sinα′2，g16=cosα′3，p11=-sinα1.

利用邊界條件(2)可得：

g21rp1p1+g22rp1p2+g23rp1s+g24tp1p1+g25tp1p2+g26rp1s=p21，

(43b)

式中，g21=cosα1，g22=cosα2，g23=-sinα′3，g24=cosα′1，g25=cosα′2，g26=sinα′3，p21=cosα1.

利用邊界條件(3)可得：

g31rp1p1+g32rp1p2+g33rp1s+g34tp1p1+g35tp1p2+g36rp1s=p31，

(43c)

利用邊界條件(4)可得：

g41rp1p1+g42rp1p2+g43rp1s+g44tp1p1+g45tp1p2+g46rp1s=p41，

(43d)

利用邊界條件(5)可得：

g51rp1p1+g52rp1p2+g53rp1s+g54tp1p1+g55tp1p2+g56rp1s=p51，

(43e)

式中，g51=φΙ(H1-1)cosα1，g52=φΙ(H2-1)cosα2，g53=φΙ(1-H5)sinα3，g54=φΙΙ(H3-1)cosα′1，g55=φΙΙ(H4-1)cosα′2，g56=φΙΙ(H6-1)sinα′3，p51=φΙ(H1-1)cosα1.

利用邊界條件(6)可得：

g61rp1p1+g62rp1p2+g63rp1s+g64tp1p1+g65tp1p2+g66rp1s=p61，

(43f)

將式(43)整合成矩陣相乘的形式，得到該模型在分界面處反射與透射系數(shù)特征方程：

(44)

使用表3中的參數(shù)即可得到該模型的反射透射系數(shù).從圖15是快縱波反射系數(shù)和透射系數(shù)隨入射角和頻率變化的三維曲面圖，圖16是橫波反射系數(shù)和透射系數(shù)隨入射角和頻率變化的三維曲面圖，從這兩幅圖中可以看出，縱波以及橫波的反射系數(shù)和透射系數(shù)不僅與入射角有關(guān)，也隨著頻率的變化而變化，尤其是入射角在0～30°范圍內(nèi)時(shí)，反射系數(shù)與透射系數(shù)存在明顯的頻率相關(guān)性.

表3 反射透射系數(shù)模型參數(shù)Table 3 Model parameters of reflection transmission coefficient

圖15 快縱波反射(a)和透射(b)系數(shù)Fig.15 Reflection(a)and transmission(b)coefficients of fast P wave

圖16 橫波反射(a)和透射(b)系數(shù)Fig.16 Reflection(a)and transmission(b)coefficients of S wave

4 結(jié)論

本文首先建立了含孔隙、裂隙結(jié)構(gòu)的雙尺度地震波模型，給出了模型中地震波的衰減因子與頻散速度曲線，很好地解決了前人無法將表征兩個(gè)尺度的衰減峰分離，且在高頻階段，其理論的預(yù)測結(jié)果會(huì)出現(xiàn)異常值的缺陷.隨后，考慮宏觀Biot流動(dòng)，將三種尺度地震波衰減理論耦合，建立了一個(gè)相對統(tǒng)一的三尺度地震波衰減與頻散模型，并在Biot理論框架下求解了該模型的Biot方程，得到了地震波衰減與頻散曲線.最后推導(dǎo)了當(dāng)此模型上覆均勻各向同性介質(zhì)時(shí)的反射透射系數(shù)特征方程，并得到了反射系數(shù)與透射系數(shù)隨入射角以及頻率變化的三維曲面圖，利用地震波衰減和頻散屬性與反射透射系數(shù)之間的定量表征關(guān)系，求取不同入射角、不同頻率情況下的反射透射系數(shù)，可以構(gòu)建AVO正演模型，為地震反演提供更加精確的目標(biāo)泛函，以及為基于地震響應(yīng)直接檢測儲(chǔ)層流體的工程應(yīng)用實(shí)踐提供理論支撐.

附錄A

圖8模型平均孔隙流體壓力：

(A1)

平均應(yīng)力：

σij=2μeij+(λe-αp)δij，

(A2)

動(dòng)量守恒方程：

(A3)

動(dòng)態(tài)達(dá)西定律：

(A4a)

θ=iκ(ω)/ηω，

(A4b)

式中：α=1-Kd/Ks為Biot系數(shù)，κ(ω)為動(dòng)態(tài)滲透率(Johnson et al.，1987)，由式(A4c)表示：

(A4c)

式中：τ為孔隙流體的彎曲度，κ0為達(dá)西滲透率.

將式(A1)—式(A4)聯(lián)立，消去總應(yīng)力σij及流體位移U，可以得到固體位移和流體壓力的兩個(gè)耦合偏微分方程：

(A5)

(A6)

其中：

(A7)

對式(A5)取旋度得到橫波方程：

(A8)

可得橫波的波數(shù)為：

(A9)

對式(A5)取散度得到縱波方程：

(A10)

聯(lián)立式(A6)和式(A10)可求得快慢縱波的平面波解.設(shè)波沿x方向傳播，用振幅為a的位移勢aeikx表示位移散度和流體壓力：

(A11)

其中p0為待定系數(shù)，將式(A11)代回式(A6)和式(A10)，可得兩個(gè)系數(shù)分別為a和ap0的線性方程：

(A12)

要使方程有解，需要系數(shù)矩陣的行列式為零，即：

(A13)

由此可得關(guān)于k2的一元二次方程：

由此，可求得兩類縱波的波數(shù)kp±.