同步微離軸數(shù)字全息顯微系統(tǒng)的空間失配標(biāo)定方法

金 川，何 渝，唐 燕，劉俊伯，孫海峰，胡 松*

1中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；2中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209

1 引言

近年來，數(shù)字全息顯微作為一種定量相位成像技術(shù)，以其寬視場、非接觸、免標(biāo)記等優(yōu)點(diǎn)，日益成為生物樣品探測、微納結(jié)構(gòu)檢測、流體場分析等領(lǐng)域有力的測量工具[1-5]。根據(jù)物波與參考波的夾角，數(shù)字全息顯微系統(tǒng)一般可分為三種不同的干涉結(jié)構(gòu)：同軸、離軸、微離軸[6-8]。作為同軸和離軸的中間結(jié)構(gòu)，微離軸結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的數(shù)字全息圖的直流像分別與實(shí)像和孿生像互相重疊，但實(shí)像和孿生像之間在空間頻域上是互不重疊的。與同軸結(jié)構(gòu)相比，微離軸數(shù)字全息因相移步數(shù)的減少，提供了更快的圖像采集效率。與此同時，由于載頻的降低，微離軸結(jié)構(gòu)比離軸結(jié)構(gòu)能更好地利用圖像傳感器的空間帶寬。但是，傳統(tǒng)的微離軸數(shù)字全息系統(tǒng)需要連續(xù)采集兩幅全息圖，不適用于樣品的動態(tài)測量。為了提高微離軸數(shù)字全息系統(tǒng)的實(shí)時性，多種基于單次曝光的同步相移方法被提出。其中，最常用的同步相移方案通過視場復(fù)用技術(shù)實(shí)現(xiàn)，該技術(shù)使用不同的分光元件，例如：光柵、分束器、沃拉斯頓棱鏡等，在單傳感器的不同位置記錄多幅具有相移差的全息圖[9-11]。然而，該技術(shù)由于獲取的全息圖空間相對位置是未知的，存在空間失配問題，這會影響后續(xù)全息重建的精度。

為了解決該問題，Kiire 等人[12]通過移除全息圖的相移使條紋可見度一致，然后通過強(qiáng)度差完成標(biāo)定。Millerd 等人[13]通過計(jì)算同一目標(biāo)的質(zhì)心位置以實(shí)現(xiàn)標(biāo)定。Hahn 等人[14]使用遺傳算法優(yōu)化基于強(qiáng)度信息的評價函數(shù)。以上這些標(biāo)定方法都依賴于圖像的強(qiáng)度信息，但實(shí)驗(yàn)過程中會產(chǎn)生的散斑噪聲、寄生條紋或光束強(qiáng)度不一致等一系列成像誤差，嚴(yán)重影響標(biāo)定的準(zhǔn)確性?；谙辔坏臉?biāo)定方法則可以避免上述問題，Li 等人[15]引入了圓形載波來獲取標(biāo)定參數(shù)，但是這種方法不能用于一些無法引入圓形載波的測量場景。Zheng 等人[16]報道了一種具有像素級精度的部分相位相關(guān)標(biāo)定方法，標(biāo)定過程中圖像之間逐像素移動以計(jì)算空間位置。但是，以上這幾種技術(shù)都沒有考慮傳感器平面傾斜導(dǎo)致的圖像縱向位置誤差。

本文提出了一種新穎的同步微離軸數(shù)字全息空間失配標(biāo)定方法。整個標(biāo)定過程被描述為非線性多變量問題，精準(zhǔn)的相對位置誤差在非線性優(yōu)化過程中獲得。標(biāo)定的建模過程構(gòu)建了純相位波前，其相位是通過對提取系統(tǒng)相位畸變進(jìn)行Zernike 擬合而來，以此排除全息圖強(qiáng)度和相位噪聲對標(biāo)定精度的影響。與傳統(tǒng)的標(biāo)定方法[12-16]相比，我們提出的標(biāo)定方法具有亞像素級的精度，并且易于實(shí)施。除此之外，相比于其他標(biāo)定方法更多地考慮了由傳感器平面傾斜引起的縱向位置誤差。本文組織如下：第2 節(jié)描述了空間失配的原理和標(biāo)定過程，第3 節(jié)展示了仿真效果，第4 節(jié)提供了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2 理論推導(dǎo)

2.1 同步微離軸數(shù)字全息系統(tǒng)

基于偏振分光棱鏡[17]的同步相移微離軸數(shù)字全息系統(tǒng)的光路設(shè)置如圖1 所示。45°線偏振光束被分束器分成兩束光。由顯微鏡、針孔和透鏡組成的準(zhǔn)直擴(kuò)束器分別對兩束光束進(jìn)行擴(kuò)束準(zhǔn)直。其中一束光透射過1/4 波片，將線偏振光轉(zhuǎn)換為圓偏振光作為參考光，中性密度衰減器用于調(diào)整光強(qiáng)比。另一束光作為物光透射通過樣品，被10×顯微物鏡和管透鏡組成的顯微成像系統(tǒng)收集。物光和參考光由分光棱鏡2 以微小角度重新組合，偏振分束棱鏡用于將入射光束分成垂直S 偏振分量和水平P偏振分量。最后，兩幅存在π/2 相移差的全息圖由單個CCD (分辨率1544× 2064，像素大小3.45 μm)通過一次曝光同時捕獲。

圖1 同步微離軸數(shù)字全息顯微系統(tǒng)光路圖Fig.1 Optical setup of the parallel phase-shifting SODHM system

成像系統(tǒng)采集到的兩幅相移量為 π/2的全息圖可以表示為

全息圖的直流像可以通過I1減去I2來移除：

通過在傅里葉頻譜中執(zhí)行濾波運(yùn)算，可以得到物光復(fù)振幅信息:

其中：FT 和IFT 分別表示傅里葉變換和逆傅里葉變換，RD代表用于相位畸變校正的數(shù)字參考波，頻譜窗W被用于執(zhí)行濾波操作。

2.2 空間失配問題分析

從上述原理中可知，提取物光復(fù)振幅的關(guān)鍵是確保兩幅全息圖處于相對空間位置一致。然而，由于全息圖空間失配問題的存在，上述步驟往往無法精確實(shí)現(xiàn)。根據(jù)2.1 小節(jié)分析，通過CCD 的單次曝光，兩幅相移差為 π/2的全息圖被同時采集，如圖2(a)所示。在提取物光復(fù)振幅信息之前，需要對該全息圖進(jìn)行圖像預(yù)分割，紅色虛線的方框內(nèi)得到兩幅分離的全息圖，其全息圖相對的坐標(biāo)系分別為(x1,y1)和(x2,y2)。因此，兩幅全息圖存在橫向位置誤差(Δx,Δy)=(x1-x2,y1-y2)。除此之外，很難完全保證光束垂直于CCD 平面入射，CCD 平面的輕微傾斜會導(dǎo)致縱向位置誤差 Δz，如圖2(b)所示。

圖2 空間相對誤差的生成原理。(a) 橫向誤差；(b) 縱向誤差Fig.2 The generation principle of spatial relative position errors.(a) The longitudinal position error;(b) The transverse position error

2.3 空間誤匹配標(biāo)定方法

假設(shè)兩幅全息圖的光軸相互重疊，則全息圖平面的位置關(guān)系如圖3 所示。在笛卡爾坐標(biāo)系中，位于參考平面H2的第二幅全息圖與Z軸垂直，位于坐標(biāo)系(x2,y2)。在坐標(biāo)系(x1,y1)下，H1平面中的第一幅全息圖相對于H2平面的第二幅全息圖有Δx,Δy,Δz的平移量。全息圖的空間相對位置誤差導(dǎo)致兩幅全息圖中的光場信息不一致，如果已知位置誤差參數(shù)，則可以利用基于角譜法的空間平面間的波場傳播數(shù)值計(jì)算，將波場h1(x1,y1)從平面H1衍射到平面H2以消除差異：

圖3 全息圖平面的位置關(guān)系Fig.3 The position relationship of holograms

其中：F為整體的空間變換函數(shù)，u和v是x和y方向的空間頻率。整個過程包括兩個步驟：首先，執(zhí)行從H1平面到M平面的平移過程，以消除橫向位置誤差。相對于像素點(diǎn)在空間域的離散特性造成的不連續(xù)平移，該過程轉(zhuǎn)化為空間頻域頻譜的移相操作來實(shí)現(xiàn)，以完成高精度的亞像素級平移。第二步是縱向位置誤差的補(bǔ)償，利用數(shù)值計(jì)算將M平面衍射至H2平面，以消除縱向位置誤差引起的物光場的相位信息變化，其中該衍射過程是通過角譜法實(shí)現(xiàn)的[18]。

在實(shí)際測量過程中，直接采集到的兩幅全息圖會存在散斑噪聲、寄生條紋或光強(qiáng)不穩(wěn)定等問題，若以圖像的強(qiáng)度信息作為標(biāo)定標(biāo)準(zhǔn)，則這些干擾會嚴(yán)重影響標(biāo)定精度。為了避免強(qiáng)度噪聲的影響，我們利用補(bǔ)償后全息圖和參考全息圖中的相位畸變差異為標(biāo)定標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算相對位置誤差參數(shù)(Δx,Δy,Δz)。首先，調(diào)整系統(tǒng)反光鏡的角度以增加載頻，將微離軸數(shù)字全息系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為離軸全息結(jié)構(gòu)，并且記錄無樣品的兩幅全息圖，可表示為

其中：Rn為參考光波，On為 物光波。在傅里葉頻域進(jìn)行濾波便能提取物光復(fù)振幅，可以表示為

其中：An(xn,yn)是幅度分布，相位分布 φn(xn,yn)由相位噪聲φnn(xn,yn)和相位畸變φan(xn,yn)兩部分組成?；谙辔换兊牟ㄇ翱梢酝ㄟ^Zernike 多項(xiàng)式擬合的操作來構(gòu)建，以避免相位噪聲影響：

式中：Zi(xn,yn)是笛卡爾形式下的Zernike 多項(xiàng)式，是多項(xiàng)式的對應(yīng)系數(shù)，相位畸變可以用1～9 低階Zernike 多項(xiàng)式來描述。將波前 ψ1(x1,y1)代入等式(4)得到補(bǔ)償后的波前：

綜上所述，同步微離軸數(shù)字全息顯微系統(tǒng)空間一致性標(biāo)定共分為四個步驟，如圖4 所示。

圖4 標(biāo)定算法的流程Fig.4 The flow of proposed calibration method

第一步：增加系統(tǒng)載頻，將微離軸光路調(diào)整為離軸光路，獲取無樣本離軸數(shù)字全息圖；

第二步：采用頻譜濾波的方法提取物光波，構(gòu)建基于Zernike 擬合的純相位波前；

第三步：將標(biāo)定問題轉(zhuǎn)化為式(8)中的非線性多變量優(yōu)化問題，其評價函數(shù)被設(shè)置為補(bǔ)償后波前相位的均方根誤差；

第四步：求解優(yōu)化問題以得到相對位置誤差。

2.4 粒子群算法原理

作為一種經(jīng)典的啟發(fā)式算法，粒子群算法(PSO)是根據(jù)鳥群的捕食行為提出的，其中鳥群被抽象為無質(zhì)量和體積的粒子，每個粒子的運(yùn)動方向和速度會受到個體和種群歷史最優(yōu)解的影響，以完成整個優(yōu)化過程。相比于常用的基于梯度的算法[19-21]，該算法具有結(jié)構(gòu)簡單、收斂效率高和全局搜索能力強(qiáng)等特點(diǎn)。由于其優(yōu)良的優(yōu)化性能，粒子群算法被廣泛應(yīng)用于多個應(yīng)用場景，如作業(yè)車間調(diào)度[22]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[23]、多峰函數(shù)優(yōu)化[24]等。因此，線性慣性權(quán)重遞減策略的粒子群優(yōu)化算法(LDW-PSO)[25]被用于求解標(biāo)定過程中的優(yōu)化問題。

粒子群優(yōu)化算法的整體流程如圖5 所示，在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中，會先初始化一組隨機(jī)粒子，包括粒子的位置m和速度v兩個變量。在標(biāo)定模型中，粒子的位置m為相對位置誤差，它決定了評價函數(shù)的大小。通常來說，評價函數(shù)的值稱為適應(yīng)度，適應(yīng)度越小表面標(biāo)定精度越高。粒子速度v控制著粒子每次迭代的步長和迭代方向，通過觀察適應(yīng)度最小的兩個最優(yōu)粒子進(jìn)行迭代優(yōu)化。這兩個最優(yōu)值包括多個迭代過程中粒子自身位置的個體最優(yōu)值Pbest和整個種群位置的全局最優(yōu)值Gbest。通過計(jì)算得到的這兩個最優(yōu)值，對粒子的兩個速度和位置變量進(jìn)行更新，其更新的表達(dá)式為

圖5 LDW-PSO 算法的流程Fig.5 The whole flow of LDW-PSO algorithm

其中：t為當(dāng)前迭代步數(shù)，c1和c2分別表示自我認(rèn)知因素和社會認(rèn)知因素。r1和r2兩者都表示隨機(jī)數(shù)，r1,r2∈(0,1)，w是慣性權(quán)重系數(shù)，它決定了粒子當(dāng)前的適應(yīng)度對下一個搜索方向和步長的影響。本算法采用慣性權(quán)線性遞減策略(LDW)，該策略使慣性權(quán)重隨迭代次數(shù)的增加從最大值wmax遞減到最小值wmin，權(quán)重w表達(dá)式為

式中：tmax代 表最大的迭代次數(shù)。

一旦獲得位置誤差參數(shù)，我們再減小系統(tǒng)載頻，將其恢復(fù)到微離軸的配置，并收集帶有樣品的全息圖Ins(xn,yn)。全息圖I1s(x1,y1) 從H1平面?zhèn)鞑サ紿2平面，利用等式得到校正后的全息圖I′1s(x2,y2)。最后，通過式(3)中傳統(tǒng)微離軸的重建方法，可以計(jì)算出物光波的復(fù)振幅信息。

3 仿真分析

為了證明所提方法的有效性和高精度，我們進(jìn)行了數(shù)值模擬。系統(tǒng)的相位畸變用ZEMAX 分類中的1～9 低階Zernike 多項(xiàng)式來描述，如表1 所示的各階Zernike 多項(xiàng)式以及其擬合系數(shù)設(shè)置，最后產(chǎn)生的相位畸變?nèi)鐖D6(a)所示。模擬中所使用相位圖的分辨率為800 pixels×600 pixels，像素大小為3.45 μm。圖6(b)中兩幅無樣品的相移離軸全息圖被生成用于標(biāo)定，兩幅全息圖之間引入了相對位置誤差，其具體參數(shù)位于表2 的第二行。與此同時，這些全息圖都被添加了最大為10%的正態(tài)分布的隨機(jī)強(qiáng)度和相位噪聲。

表2 相對位置誤差的數(shù)據(jù)比較Table 2 Data comparison of relative position error

圖6 仿真輸入。(a) 仿真的相位畸變；(b) 無樣本的仿真π/2 相移量離軸全息圖Fig.6 Simulation input.(a) Simulated phase aberration;(b) Simulated π/2 phase shifting off-axis holograms without samples

表1 仿真中ZEMAX 類型的Zernike 多項(xiàng)式及其系數(shù)Table 1 Zernike polynomials of ZEMAX type and their coefficients in the simulation

部分相位相關(guān)(partial phase correlation，PPC)標(biāo)定方法[16]是一種像素級精度的空間位置配準(zhǔn)方法，將圖像逐像素點(diǎn)移動來尋找相位差最小點(diǎn)的位置，該方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于干涉圖的空間一致性標(biāo)定問題中。同時采用部分相位相關(guān)標(biāo)定方法和本文標(biāo)定方法在上述設(shè)置的條件下進(jìn)行模擬仿真，分別獲取圖像間的相對位置誤差。PPC 標(biāo)定方法得到的誤差參數(shù)如表2 第三行所示。由于PPC 方法在原理上的局限性，僅得到了具有像素精度的橫向位置誤差，并且忽略了縱向位置誤差。在本文標(biāo)定方法的仿真過程中，為保證優(yōu)化速度和精度，粒子維度為3，粒子群規(guī)模被設(shè)置為30。自我認(rèn)知因子和社會認(rèn)知因子均設(shè)為2.05，線性慣性權(quán)重因子的最大值和最小值分別為0.9 和0.4?？紤]圖像的粗對準(zhǔn)精度和粒子群算法的收斂效率，嚴(yán)格限制橫向位置誤差的位置和速度范圍為(—50 pixels,50 pixels)，設(shè)置縱向位置誤差的位置和速度范圍為(—3 mm,3 mm)。LDW-PSO 算法經(jīng)300 次迭代之后，本文方法的標(biāo)定結(jié)果如表2 第四行所示。真實(shí)引入和標(biāo)定的橫向位置誤差之差小于0.01 pixel，縱向位置誤差之差為0.002 mm。毫無疑問，本文方法的標(biāo)定數(shù)據(jù)與引入的位置誤差幾乎一致。

另外，基于LDW-PSO 算法的優(yōu)化曲線如圖7(a)所示，300 次迭代后相位分布的RMSE 從0.265 rad降低到1.798×10-3rad。采用文本方法標(biāo)定后，兩個波前的整體相位差分布如圖7(b)所示，表明了兩個波前的高度一致性。值得注意的是，相位差分布邊緣出現(xiàn)波浪形不規(guī)則條紋，這是因?yàn)榉抡嬷械念l譜濾波操作會產(chǎn)生振鈴偽影。即使在這種情況下，這種標(biāo)定仍然具有極高的準(zhǔn)確性。然而，采用PPC 方法得到的相位分布的RMSE 為0.0407 rad，圖7(c)給出了兩個波前的整體相位差分布。仿真結(jié)果表明，本文方法相比于PPC 方法具有更高的精度，甚至達(dá)到亞像素級。

圖7 仿真結(jié)果。(a) 基于LDW-PSO 的相位分布RMSE 收斂曲線；(b) 使用本文方法標(biāo)定后的整個相位差分布；(c) 使用PPC 方法標(biāo)定后的整個相位差分布Fig.7 Simulation results.(a) RMSE convergence curve of phase distribution based on LDW-PSO;(b) The whole phase difference distribution after calibration using the method proposed in this paper;(c) The whole phase difference distribution after calibration using PPC method

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

首先，對圖1 所示的系統(tǒng)做空間一致性標(biāo)定。為了提取系統(tǒng)的相位畸變，調(diào)整反射鏡2 將系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x軸結(jié)構(gòu)。無樣本離軸全息圖被記錄在圖8(a)中，其被紅色矩形粗略地分割為兩幅全息圖。由于系統(tǒng)的成像特性，兩幅全息圖沿圖像中心暗區(qū)對稱分布，因此需要對其中一幅全息圖進(jìn)行翻轉(zhuǎn)操作。將圖像左側(cè)的全息圖設(shè)置為參考全息圖，并使用本文標(biāo)定方法。在標(biāo)定過程中，基于LDW-PSO 的目的函數(shù)的收斂曲線如圖10(a)所示。經(jīng)過300 次迭代，相位分布的RMSE 下降至 9.831×10-3rad，相位差分布如圖10(b)所示。與仿真結(jié)果相比，由于相位噪聲產(chǎn)生的擬合誤差，因此波前差異較大，但不可否認(rèn)，兩個波前仍然具有良好的一致性。最終標(biāo)定結(jié)果如表3 所示。

表3 相對位置誤差的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 3 Experimental data of relative position error

圖8 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采集的全息圖 。(a) 無樣品的離軸全息圖；(b) 帶樣品的微離軸全息圖Fig.8 Holograms collected by the experimental system.(a) The off-axis hologram without sample;(b) The slightly off-axis holograms with sample

圖9 輪廓儀測量的樣品輪廓Fig.9 Profile of the sample measured by the profilometer

圖10 實(shí)驗(yàn)結(jié)果。(a) 基于LDW-PSO 的相位分布RMSE 收斂曲線；(b) 校準(zhǔn)后的整個相位差分布；(c) 重建的樣本相位分布；(d) 沿著圖10(c)中標(biāo)記的白線的輪廓Fig.10 Experimental results.(a) The RMSE convergence curve of phase distribution based on LDW-PSO;(b) The entire phase difference distribution after calibration;(c) The phase distribution of reconstructed sample;(d) The outline of the white line marked in Figure 10(c)

獲得相對位置誤差參數(shù)后，恢復(fù)微離軸光路結(jié)構(gòu)，選擇由熔融石英制成的微透鏡陣列(折射率為1.458，平均高度為2.042 μm)作為樣品，其輪廓經(jīng)探針式輪廓儀測試，如圖9 所示。樣品的微離軸全息圖如圖8(b) 所示，全息圖被相同的紅色矩形分割成兩幅，并利用所提標(biāo)定方法進(jìn)行校正。通過執(zhí)行微離軸全息圖的物波重建算法，微透鏡的相位得到了很好的恢復(fù)，如圖10(c)所示。圖10(d)為微透鏡白色虛線處的輪廓，測得的平均高度為2.025 μm，相應(yīng)的輪廓結(jié)果偏差僅為17 nm。上述結(jié)果證明了所提出的同步微離軸數(shù)字全息的空間一致性標(biāo)定方法的有效性。

5 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)同步微離軸數(shù)字全息顯微系統(tǒng)中的精準(zhǔn)全息重建，本文提出一種基于相位差最小化的空間失配標(biāo)定方法，該標(biāo)定方法適用于同步微離軸數(shù)字全息顯微系統(tǒng)。在標(biāo)定過程中，利用系統(tǒng)的相位畸變構(gòu)造基于Zernike 擬合的純相位波前，以有效抑制了圖像中影響標(biāo)定精度的強(qiáng)度噪聲和相位噪聲。更重要的是，本文方法考慮了傳感器平面傾斜引起的縱向位置誤差。通過最小化構(gòu)造波前相位分布的均方根誤差來提取相對位置誤差參數(shù)。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提出的校準(zhǔn)方法的亞像素級精度和可用性。在未來的工作中，可以進(jìn)一步考慮將本文方法擴(kuò)展到其他無需成像的干涉儀系統(tǒng)中。