基于模糊聚類(lèi)的高表征度地鐵構(gòu)架應(yīng)力譜編制方法

薛 海，胡李軍，李 強(qiáng)

（1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.北京交通大學(xué) 軌道車(chē)輛結(jié)構(gòu)可靠性與運(yùn)用檢測(cè)技術(shù)教育部工程研究中心，北京 100044）

隨車(chē)實(shí)測(cè)的應(yīng)力-時(shí)間歷程綜合反映了地鐵構(gòu)架在不同運(yùn)營(yíng)工況、線路條件、系統(tǒng)特性等多因素影響下疲勞薄弱位置的受載狀態(tài)，與目前主要采用動(dòng)力學(xué)或強(qiáng)度仿真獲得的結(jié)果相比，具有應(yīng)力信息反映全面和準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。應(yīng)力-時(shí)間歷程表征的是隨機(jī)交變載荷，不宜直接用于構(gòu)架可靠性設(shè)計(jì)、安全評(píng)估或疲勞試驗(yàn)，為此，需采用相應(yīng)方法將其等效簡(jiǎn)化處理為應(yīng)力譜［1-2］。

目前，常用的應(yīng)力譜編制方法主要是采用雨流計(jì)數(shù)法，通過(guò)統(tǒng)計(jì)落入不同應(yīng)力等分區(qū)間的循環(huán)次數(shù)實(shí)現(xiàn)編譜［3-4］，但進(jìn)行各應(yīng)力循環(huán)區(qū)間歸類(lèi)過(guò)程中存在實(shí)際應(yīng)力與所歸類(lèi)應(yīng)力級(jí)的等效應(yīng)力相差較大問(wèn)題，出現(xiàn)應(yīng)力循環(huán)幅值放大或縮小的現(xiàn)象，而構(gòu)架疲勞損傷與應(yīng)力呈高次指數(shù)關(guān)系，該指數(shù)與焊縫疲勞參數(shù)有關(guān)，導(dǎo)致構(gòu)架可靠性設(shè)計(jì)或安全評(píng)估結(jié)果與實(shí)際不符。與此同時(shí)，將應(yīng)力循環(huán)按幅值大小分為低中高區(qū)，則不同分級(jí)區(qū)間的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)數(shù)量級(jí)差異性較大，若按傳統(tǒng)等分區(qū)間歸類(lèi)，各級(jí)應(yīng)力與其出現(xiàn)次數(shù)的對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)關(guān)系較弱，統(tǒng)計(jì)規(guī)律較差，增加了工程推廣應(yīng)用難度，并且在分級(jí)數(shù)較多的情況下，高應(yīng)力區(qū)出現(xiàn)次數(shù)為0 或1 的應(yīng)力循環(huán)，使得低中應(yīng)力區(qū)與高應(yīng)力區(qū)過(guò)渡平順性較差，對(duì)最大應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)存在較大誤差［5-6］。

本文通過(guò)雨流計(jì)數(shù)法提取地鐵構(gòu)架應(yīng)力-時(shí)間歷程中的應(yīng)力循環(huán)，首先采用模糊聚類(lèi)對(duì)不同應(yīng)力循環(huán)造成的損傷進(jìn)行聚類(lèi)，然后根據(jù)不同損傷聚類(lèi)得到隸屬度變化關(guān)系將不同應(yīng)力循環(huán)造成的損傷進(jìn)行分級(jí)，應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二維核密度估計(jì)進(jìn)行各級(jí)應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)分析，最后在遵循損傷一致性的條件下對(duì)分類(lèi)結(jié)果中各級(jí)等效應(yīng)力進(jìn)行優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn)高表征度的地鐵構(gòu)架應(yīng)力譜編制。

1 應(yīng)力譜編制方法

1.1 應(yīng)力損傷模糊聚類(lèi)

模糊聚類(lèi)是根據(jù)測(cè)試樣本的特征和相似性，通過(guò)模糊相似關(guān)系將每個(gè)樣本按不同的隸屬度分類(lèi)，從而進(jìn)行樣本集的類(lèi)別劃分［7-8］。損傷是應(yīng)力幅值和出現(xiàn)次數(shù)作用于結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生效果的衡量指標(biāo)，可通過(guò)得到不同測(cè)試點(diǎn)各應(yīng)力循環(huán)造成的損傷進(jìn)行模糊聚類(lèi)，根據(jù)聚類(lèi)損傷隸屬度進(jìn)行應(yīng)力譜分級(jí)數(shù)的確定。

采用雨流計(jì)數(shù)法，提取隨機(jī)應(yīng)力-時(shí)間歷程中的應(yīng)力循環(huán)，根據(jù)疲勞累積損傷理論和材料的S-N曲線表達(dá)式推導(dǎo)得第k級(jí)應(yīng)力幅值σk造成的損傷dk為

式中：nk為應(yīng)力幅值σk出現(xiàn)次數(shù)；Nk為應(yīng)力幅值σk對(duì)應(yīng)的疲勞壽命；m和C為材料的疲勞性能參數(shù)。

為了提高模糊聚類(lèi)的判定效率，且確保應(yīng)力循環(huán)的作用特性，對(duì)所有應(yīng)力幅值進(jìn)行初步劃分，取分級(jí)數(shù)為q，則各應(yīng)力級(jí)所造成的損傷矩陣D=(d1…dk…dq)，(k=1，2，…，q)。若聚類(lèi)個(gè)數(shù)為c，采用模糊聚類(lèi)將q個(gè)不同應(yīng)力級(jí)損傷劃分為c類(lèi)，c個(gè)類(lèi)別的聚類(lèi)中心V=(v1…vi…vc)，(i=1，2，…，c)。則第k級(jí)應(yīng)力級(jí)造成的損傷dk與第i個(gè)聚類(lèi)中心vi的歐式距離xik為

隸屬度是評(píng)判模糊聚類(lèi)效果的重要指標(biāo)，隸屬度越接近于1，表示某應(yīng)力級(jí)對(duì)應(yīng)損傷屬于該類(lèi)的可信程度越高，其特點(diǎn)是評(píng)價(jià)結(jié)果不是絕對(duì)地肯定或否定，而是以1 個(gè)模糊矩陣表示。記uik為第k 級(jí)應(yīng)力造成的損傷dk屬于第i 類(lèi)的隸屬度，則各應(yīng)力級(jí)造成的損傷與各聚類(lèi)中心的加權(quán)平方距離之和J(U，V)［9］為

其中，

U=(uik)c×q

式中：U為隸屬度矩陣；f為模糊系數(shù)。

模糊聚類(lèi)的聚類(lèi)準(zhǔn)則是求其隸屬度矩陣U 和聚類(lèi)中心V，使得J(U，V)取最小值［10］。通常?。?，1］上的均勻分布隨機(jī)數(shù)確定初始隸屬度矩陣U(0)，若步數(shù)l=1 代表第1 步迭代，則第(l-1)步的隸屬度記為uik(l-1)，第l步聚類(lèi)中心vi(l)為

根據(jù)式（4）得到第l 步聚類(lèi)中心vi(l)，再依據(jù)第l步的歐氏距離xik(l)，修正第l步的隸屬度uik(l)和加權(quán)平方距離之和J(l)(U，V)，分別得

1.2 各類(lèi)應(yīng)力分區(qū)統(tǒng)計(jì)

通過(guò)雨流計(jì)數(shù)落入各應(yīng)力區(qū)的各級(jí)應(yīng)力幅值對(duì)應(yīng)的次數(shù)數(shù)量級(jí)相差較大，且在高應(yīng)力區(qū)存在次數(shù)為零的問(wèn)題，不宜采用統(tǒng)一的概率密度函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。此外，造成構(gòu)架疲勞損傷的主要是高應(yīng)力區(qū)應(yīng)力，而在應(yīng)力分級(jí)時(shí)應(yīng)力循環(huán)特征在高應(yīng)力區(qū)改變較低中應(yīng)力區(qū)明顯。為此，將模糊聚類(lèi)的最后一類(lèi)對(duì)應(yīng)的各應(yīng)力級(jí)劃分為高應(yīng)力區(qū)，而其他類(lèi)為低中應(yīng)力區(qū)。

1.2.1 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的低中應(yīng)力區(qū)統(tǒng)計(jì)

低中應(yīng)力區(qū)由于應(yīng)力大小及出現(xiàn)次數(shù)變化較大，連續(xù)相鄰應(yīng)力級(jí)的次數(shù)平順性較差，且在測(cè)試中由于線路環(huán)境、司機(jī)操作、運(yùn)營(yíng)工況等因素影響，使得部分應(yīng)力在測(cè)試樣本信息中未出現(xiàn)，導(dǎo)致每次測(cè)試得到的應(yīng)力結(jié)果差別較大，不能從總體反映應(yīng)力特征。

徑向基函數(shù)（BRF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的泛化能力，其在局部逼近預(yù)測(cè)方面有較好的效果，是一種3 層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［11］，可映射任意復(fù)雜的非線性關(guān)系，具有很好的擬合穩(wěn)定性，為此，采用BRF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行低中應(yīng)力區(qū)應(yīng)力-次數(shù)關(guān)系的分析。

采用高斯徑向基函數(shù)作為隱藏層的激活函數(shù)，輸入低中區(qū)應(yīng)力幅值Xr和輸出應(yīng)力函數(shù)Q(Xr)間的關(guān)系為

式中：p 為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；wt為線性組合權(quán)值；Xt為隱含層徑向基函數(shù)中心；Φ為高斯函數(shù)方差。

針對(duì)樣本應(yīng)力集Xr，通過(guò)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，反復(fù)迭代修正徑向基函數(shù)中心Xt以及線性輸出權(quán)值wt等，使誤差最?。?2］，即目標(biāo)函數(shù)Q(Xr)最小。BRF 網(wǎng)絡(luò)有多種學(xué)習(xí)方法，如自組織選取法、有監(jiān)督選取中心法、正交最小二乘法、梯度下降法等［13-14］。以梯度下降法為例，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)式（8）運(yùn)行結(jié)果滿足預(yù)測(cè)應(yīng)力與實(shí)際值誤差要求或達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)束。

式中：ηr為擬合誤差；Yr為與應(yīng)力幅值Xr對(duì)應(yīng)的實(shí)際輸出應(yīng)力幅值。

1.2.2 基于二維核密度估計(jì)的高應(yīng)力區(qū)統(tǒng)計(jì)

由于高應(yīng)力區(qū)的應(yīng)力幅值和次數(shù)離散性較大，且出現(xiàn)次數(shù)較少，采用傳統(tǒng)的概率統(tǒng)計(jì)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法不能得到較好的分析結(jié)果，同時(shí)雨流計(jì)數(shù)矩陣數(shù)據(jù)分布隨機(jī)性較大，不易采用參數(shù)估計(jì)的方法描述，所以在雨流計(jì)數(shù)矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行外推時(shí)，一般采用非參數(shù)估計(jì)方法。由于核密度估計(jì)方法能夠保留數(shù)據(jù)本身的分布規(guī)律，并且能夠描述數(shù)據(jù)的分散性，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)［15-16］。

雨流計(jì)數(shù)法得到的高應(yīng)力區(qū)應(yīng)力對(duì)應(yīng)的均值和幅值矩陣為二維問(wèn)題，為此，根據(jù)有限的樣本點(diǎn)，采用二維核密度估計(jì)方法進(jìn)行應(yīng)力-次數(shù)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)外推，從而實(shí)現(xiàn)應(yīng)力-次數(shù)兩參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析。二維核密度估計(jì)自適應(yīng)帶寬式為

其中，

式中：f (σF，σJ)為高應(yīng)力區(qū)的概率密度函數(shù)；σF和σJ分別為高應(yīng)力區(qū)應(yīng)力對(duì)應(yīng)的幅值和均值；σFg和σJg分別為高應(yīng)力區(qū)第g 個(gè)應(yīng)力級(jí)對(duì)應(yīng)的幅值和均值；n 為高應(yīng)力區(qū)的應(yīng)力級(jí)數(shù)；h 為帶寬；K(?)為核函數(shù)；λg為帶寬自適應(yīng)因子；P(σFg，σJg)為(σFg，σJg)出現(xiàn)的概率；α一般取-0.5［17］。

由于Epanechnikov核函數(shù)在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)時(shí)均方誤差意義下最優(yōu)，且效率損失較?。?8］。故選取Ep?anechnikov核函數(shù)為二維核密度估計(jì)的基函數(shù)，為

通過(guò)核密度計(jì)算表達(dá)式，獲得高應(yīng)力區(qū)的應(yīng)力概率密度矩陣，根據(jù)總循環(huán)次數(shù)，結(jié)合蒙特卡羅模擬，分別對(duì)高應(yīng)力區(qū)各級(jí)應(yīng)力-次數(shù)概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和應(yīng)力外推，對(duì)高應(yīng)力區(qū)各級(jí)應(yīng)力值和對(duì)應(yīng)損傷進(jìn)行修正。

1.3 各類(lèi)等效應(yīng)力優(yōu)化

通過(guò)模糊聚類(lèi)對(duì)各應(yīng)力級(jí)的損傷進(jìn)行歸類(lèi)，根據(jù)應(yīng)力大小對(duì)各應(yīng)力級(jí)進(jìn)行擬合和外推，并對(duì)各應(yīng)力級(jí)的等效應(yīng)力進(jìn)行優(yōu)化。傳統(tǒng)的雨流計(jì)數(shù)法應(yīng)力分級(jí)是將應(yīng)力歸為某一區(qū)間式時(shí)，取該區(qū)間上下限應(yīng)力的中間值為等效應(yīng)力，而忽略了不同應(yīng)力所造成損傷的差異性。由于模糊聚類(lèi)對(duì)所有的應(yīng)力級(jí)分成了c 類(lèi)，則記每類(lèi)中應(yīng)力級(jí)的數(shù)量組成的集合為{t1，…，ts，…，tc}，ts為模糊聚類(lèi)第s類(lèi)包含的應(yīng)力級(jí)數(shù)量。定義∑σmini為“損傷數(shù)”［19］，根據(jù)式（1）可以看出，C 為常數(shù)，所以對(duì)結(jié)構(gòu)造成真正損傷的量值由∑σmini決定。為此，建立如式（11）所示的第s類(lèi)包含應(yīng)力級(jí)與等效應(yīng)力σes造成損傷數(shù)平方差Δδs數(shù)學(xué)模型，求目標(biāo)函數(shù)的最小值，以此確定不同應(yīng)力區(qū)的等效應(yīng)力值，并對(duì)每一級(jí)進(jìn)行分級(jí)優(yōu)化。

式中：στ為第s 類(lèi)中第τ 個(gè)應(yīng)力級(jí)；nτ為第τ 個(gè)應(yīng)力級(jí)對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)；Ns為第s類(lèi)中應(yīng)力級(jí)循環(huán)次數(shù)總和。

為更形象說(shuō)明整個(gè)應(yīng)力優(yōu)化過(guò)程，結(jié)合圖1，通過(guò)舉例說(shuō)明其具體步驟如下。

（1）假定模糊聚類(lèi)得到的第s 類(lèi)中共有3 個(gè)應(yīng)力級(jí)，其應(yīng)力從小到大依次為2，3 和4 MPa，對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)依次為5，4 和3 次，為了便于計(jì)算，取m 值為2。分別計(jì)算其損傷數(shù)如圖1（a）所示，其中該類(lèi)總循環(huán)次數(shù)為12 次，總損傷數(shù)為104 MPa2·次。

圖1 分級(jí)應(yīng)力優(yōu)化過(guò)程

（2）根據(jù)圖1（a）中的總損傷及總循環(huán)次數(shù)，令Δδs=0，采用式（11）進(jìn)行等效應(yīng)力求解，即可得到等效應(yīng)力優(yōu)化值，并與應(yīng)力中間值計(jì)算得到的損傷進(jìn)行比較，結(jié)果如圖1（b）所示。

（3）根據(jù)上述步驟，從而得到模糊聚類(lèi)中不同類(lèi)的等效應(yīng)力值。

從圖1 可以看出：通過(guò)各類(lèi)所屬應(yīng)力級(jí)進(jìn)行優(yōu)化得到的損傷結(jié)果，降低了在選取等效應(yīng)力時(shí)產(chǎn)生的誤差，雖然降低的誤差較小，但通過(guò)優(yōu)化c類(lèi)中每類(lèi)的等效應(yīng)力，將大幅降低其損傷的整體誤差，且該例子假定某類(lèi)中只有3個(gè)應(yīng)力級(jí)，但實(shí)際情況中遠(yuǎn)不止這些。因此，通過(guò)等效應(yīng)力優(yōu)化，可明顯提高應(yīng)力的損傷精度，克服傳統(tǒng)應(yīng)力譜編制分級(jí)中取中間值或平均值存在的不足。

2 實(shí)例應(yīng)用

以某地鐵轉(zhuǎn)向架構(gòu)架制動(dòng)吊座與橫梁連接處5 趟往返所測(cè)試的應(yīng)力-時(shí)間歷程，作為應(yīng)力譜編制樣本數(shù)據(jù)。測(cè)試條件為正常運(yùn)營(yíng)，最高運(yùn)行速度為72 km·h-1，動(dòng)態(tài)信號(hào)采集設(shè)備的采樣頻率設(shè)為1 000 Hz，測(cè)試得到的某段應(yīng)力-時(shí)間歷程信號(hào)如圖2 所示。從圖2 可以看出：應(yīng)力呈對(duì)稱分布，應(yīng)力均值基本為0，主要考慮應(yīng)力幅值對(duì)結(jié)構(gòu)的疲勞損傷影響。

圖2 應(yīng)力-時(shí)間歷程

為了對(duì)所有應(yīng)力幅值進(jìn)行初步劃分，通過(guò)應(yīng)力幅值的單參數(shù)計(jì)數(shù)法進(jìn)行測(cè)試信號(hào)的雨流計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，采用傳統(tǒng)等間距應(yīng)力譜分級(jí)方法對(duì)所有應(yīng)力幅值進(jìn)行不同分級(jí)數(shù)的劃分，并計(jì)算不同應(yīng)力分級(jí)數(shù)下的疲勞損傷相對(duì)誤差，結(jié)果如圖3 所示。從圖3可以看出：隨著應(yīng)力譜分級(jí)數(shù)的增加，損傷相對(duì)誤差逐漸減少，當(dāng)分級(jí)數(shù)大于24 級(jí)時(shí)，應(yīng)力譜的損傷誤差為1.0%；當(dāng)分級(jí)數(shù)大于200 級(jí)時(shí)，損傷誤差基本小于0.2%，且損傷誤差的變化趨于穩(wěn)定。為保證分級(jí)前后應(yīng)力譜造成的損傷誤差盡可能小，根據(jù)圖3 分析結(jié)果，取初步劃分的分級(jí)數(shù)q=500，來(lái)代替測(cè)試樣本的所有應(yīng)力循環(huán)。

圖3 分級(jí)數(shù)-損傷相對(duì)誤差

根據(jù)文獻(xiàn)［20—21］可知，將應(yīng)力譜分成8 級(jí)可以精確地反映其疲勞效應(yīng)，故取模糊聚類(lèi)的類(lèi)別為8類(lèi)，則所有應(yīng)力幅值被分為8級(jí)，即c=8，得到各應(yīng)力級(jí)損傷的隸屬度如圖4 所示。從圖4 可以看出：模糊聚類(lèi)對(duì)500 個(gè)應(yīng)力級(jí)造成的損傷進(jìn)行模糊劃分，使得各類(lèi)之間有交叉關(guān)系，對(duì)于應(yīng)力類(lèi)別的不確定性描述，更能客觀地反映實(shí)際情況；分為8級(jí)進(jìn)行各類(lèi)應(yīng)力級(jí)損傷歸類(lèi)時(shí)，各類(lèi)隸屬度的最大值均在0.93以上，趨近于1，取最大值所在曲線相交處為劃分界限，得到各類(lèi)應(yīng)力級(jí)的劃分范圍。

圖4 各類(lèi)損傷隸屬度

對(duì)模糊聚類(lèi)分為8 級(jí)時(shí)各級(jí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)式（1）計(jì)算每類(lèi)所屬應(yīng)力級(jí)造成的損傷，從而得到其占總損傷的比例如圖5所示。從圖5可以看出：根據(jù)模糊聚類(lèi)得到的應(yīng)力分級(jí)與傳統(tǒng)的應(yīng)力譜分級(jí)不同，分級(jí)區(qū)間的大小完全取決于應(yīng)力的損傷特性，遵循了損傷一致的原則；從第2 類(lèi)開(kāi)始，隨著應(yīng)力幅的增加，分級(jí)區(qū)間也隨之增大，主要原因是應(yīng)力級(jí)在中高應(yīng)力區(qū)存在的波動(dòng)性和離散性較大，符合實(shí)際應(yīng)力分布情況；從累積損傷占比可以得出，第3—第8 類(lèi)損傷占比超過(guò)了75%，表明結(jié)構(gòu)的疲勞損傷主要由中高應(yīng)力造成。

圖5 各級(jí)應(yīng)力的聚類(lèi)

采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行低中應(yīng)力區(qū)應(yīng)力-次數(shù)關(guān)系的預(yù)測(cè)分析，結(jié)果如圖6 所示。從圖6 可以看出：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)值和實(shí)際應(yīng)力值的差值基本接近于0，說(shuō)明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出能較好地逼近實(shí)際結(jié)果；通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)擬合可以近似表示離散應(yīng)力-次數(shù)的函數(shù)關(guān)系，有利于提高實(shí)際測(cè)試中所采集應(yīng)力數(shù)據(jù)的完整性。

圖6 應(yīng)力幅值的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合

對(duì)高應(yīng)力區(qū)采用二維核密度估計(jì)，得到等效應(yīng)力幅值-循環(huán)次數(shù)-概率關(guān)系如圖7 所示。從圖7 可以看出：通過(guò)對(duì)高應(yīng)力區(qū)應(yīng)力循環(huán)的均值和幅值進(jìn)行雙參數(shù)概率密度統(tǒng)計(jì)，提高了概率統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確性，能很大程度保留數(shù)據(jù)本身的分布規(guī)律。

圖7 應(yīng)力幅值的二維核密度估計(jì)

核密度估計(jì)所得外推譜與應(yīng)力譜對(duì)比如圖8 所示。從圖8可以得出：通過(guò)核密度估計(jì)統(tǒng)計(jì)外推得到的外推譜最大應(yīng)力為27.3 MPa，實(shí)際應(yīng)力譜最大應(yīng)力為24.5 MPa，誤差產(chǎn)生的主要原因是核密度估計(jì)外推可統(tǒng)計(jì)得到實(shí)際測(cè)試中可能未出現(xiàn)的大應(yīng)力數(shù)據(jù)；經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)外推分析，相同應(yīng)力下的頻次增加，總循環(huán)次數(shù)增加了6.6%，表明核密度估計(jì)在描述應(yīng)力數(shù)據(jù)分散性的同時(shí)，對(duì)應(yīng)力的作用次數(shù)也進(jìn)行了外推。

圖8 核密度估計(jì)外推前后對(duì)比

根據(jù)式（11）對(duì)各類(lèi)應(yīng)力級(jí)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如圖9 所示。從圖9 可以看出：通過(guò)對(duì)每類(lèi)所屬的應(yīng)力級(jí)進(jìn)行優(yōu)化，得到了8個(gè)不同的峰值，峰值處對(duì)應(yīng)的損傷最接近實(shí)際損傷，則8個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)應(yīng)力幅值為各類(lèi)應(yīng)力優(yōu)化后的等效應(yīng)力；計(jì)算每類(lèi)應(yīng)力級(jí)對(duì)應(yīng)疲勞損傷數(shù)的最小平方差值進(jìn)行等效應(yīng)力的確定，不同于傳統(tǒng)的應(yīng)力區(qū)間取中值或平均值，使得到的結(jié)果更能準(zhǔn)確反映應(yīng)力的疲勞效應(yīng)。

圖9 各級(jí)應(yīng)力的優(yōu)化

對(duì)隨機(jī)實(shí)測(cè)的5 次應(yīng)力測(cè)試數(shù)據(jù)（測(cè)試1—測(cè)試5）分別采用傳統(tǒng)8 級(jí)等間距分級(jí)以及二維核密度估計(jì)外推編制了應(yīng)力譜1—應(yīng)力譜5，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 傳統(tǒng)等間距應(yīng)力譜編制結(jié)果

方案1：對(duì)測(cè)試1 結(jié)果采用本文的模糊聚類(lèi)進(jìn)行不等間距分級(jí)，以及根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)和二維核密度估計(jì)分別對(duì)低中和高應(yīng)力區(qū)進(jìn)行修正和外推，編制對(duì)應(yīng)的應(yīng)力譜；方案2：將測(cè)試1—測(cè)試5 連接成整體，采用傳統(tǒng)等間距分級(jí)，二維核密度估計(jì)外推后得到平均應(yīng)力譜。方案1 與方案2 結(jié)果對(duì)比具體見(jiàn)表2。

表2 采用本文編譜方法與傳統(tǒng)編譜方法的應(yīng)力譜比較

從表1和表2可以得出如下結(jié)果。

（1）采用本文編譜方法得到的8 級(jí)不等間距應(yīng)力譜方案1 與傳統(tǒng)等間距編譜結(jié)果應(yīng)力譜1 相比，應(yīng)力譜趨勢(shì)基本一致。

（2）對(duì)測(cè)試1 數(shù)據(jù)通過(guò)模糊聚類(lèi)分級(jí)不進(jìn)行外推得到的應(yīng)力譜最大應(yīng)力幅值為24.5 MPa，傳統(tǒng)方法得到的為22.3 MPa；通過(guò)外推后，方案1 的最大應(yīng)力幅值為27.3 MPa，應(yīng)力譜1 的為23.8 MPa，由于大幅值載荷造成損傷比重較大，故通過(guò)模糊聚類(lèi)進(jìn)行外推能夠最大程度反映應(yīng)力所造成的疲勞效應(yīng)。

（3）通過(guò)傳統(tǒng)等間距對(duì)5條測(cè)試信號(hào)進(jìn)行總體統(tǒng)計(jì)的方案2，其外推得到的最大應(yīng)力為28.2 MPa，與本文對(duì)測(cè)試1 編制的方案1 損傷結(jié)果差距較小，表明采用模糊聚類(lèi)進(jìn)行編譜的可行性，并且進(jìn)一步說(shuō)明采集更多的時(shí)域信號(hào)樣本，能夠有效模擬構(gòu)架結(jié)構(gòu)的實(shí)際受載狀態(tài)。

3 損傷一致性檢驗(yàn)

地鐵構(gòu)架疲勞可靠性研究的基礎(chǔ)是實(shí)測(cè)應(yīng)力-時(shí)間歷程數(shù)據(jù)，不但要求其能覆蓋實(shí)際線路運(yùn)行時(shí)的損傷，且能夠盡量接近對(duì)構(gòu)架所造成的損傷水平，以便準(zhǔn)確確定構(gòu)架在實(shí)際線路服役條件下的疲勞損傷。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)［22］和圖2 可以得出，實(shí)測(cè)的載荷信號(hào)分級(jí)數(shù)越大，則可較好保留載荷的疲勞特性，使實(shí)測(cè)信號(hào)盡可能表征實(shí)際服役的損傷狀況，故參考文獻(xiàn)［23—24］對(duì)應(yīng)力譜驗(yàn)證以及臺(tái)架試驗(yàn)?zāi)M的方法，以實(shí)測(cè)載荷信號(hào)分為500 級(jí)不進(jìn)行外推計(jì)算的疲勞損傷作為基準(zhǔn)，根據(jù)式（12）—式（14）對(duì)不同應(yīng)力譜編制方法得到的損傷結(jié)果進(jìn)行相對(duì)損傷γ和損傷誤差?的計(jì)算。

式中：dθ為第θ 個(gè)應(yīng)力譜或第θ 個(gè)方案應(yīng)力譜造成的損傷；m取值為3.5。

所得結(jié)果見(jiàn)表3。從表3可以得出如下結(jié)論。

表3 不同分級(jí)方式損傷對(duì)比

（1）采用本文編制方法對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行8 級(jí)編譜，得到的方案1 疲勞損傷是基準(zhǔn)損傷的1.31 倍，與采用傳統(tǒng)的編譜方法得到的應(yīng)力譜1相比，大于其疲勞損傷，主要原因是通過(guò)模糊聚類(lèi)進(jìn)行應(yīng)力譜分級(jí)，更能反映局部載荷特征，使得采用二維核密度估計(jì)外推后更能真實(shí)反映構(gòu)架的實(shí)際受載狀況。

（2）基于模糊聚類(lèi)編制的應(yīng)力譜疲勞損傷均高于采用傳統(tǒng)方法編譜的應(yīng)力譜2—應(yīng)力譜5 疲勞損傷，而與5條測(cè)試信號(hào)整體進(jìn)行編制的平均應(yīng)力譜方案2損傷結(jié)果基本一致。表明通過(guò)本文編譜方法進(jìn)行編譜及外推，不僅可以準(zhǔn)確反映應(yīng)力的分布特性，且能有效克服測(cè)試過(guò)程中數(shù)據(jù)樣本采集不足的缺點(diǎn)。

4 結(jié) 論

（1）采用模糊聚類(lèi)，根據(jù)應(yīng)力所造成的疲勞損傷隸屬度進(jìn)行級(jí)數(shù)確定，不但考慮了所有應(yīng)力循環(huán)的整體特征，還很大程度保留了測(cè)試應(yīng)力的局部信息和屬性，保證了損傷一致性。

（2）對(duì)低中和高應(yīng)力區(qū)通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二維核密度估計(jì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可充分考慮在測(cè)試過(guò)程中由于線路環(huán)境等因素未采集到的應(yīng)力信號(hào)，使編制的應(yīng)力譜更能準(zhǔn)確反映應(yīng)力特性和損傷特征。

（3）根據(jù)損傷等效原則，建立不同應(yīng)力區(qū)與等效應(yīng)力造成損傷差的平方數(shù)學(xué)模型，來(lái)確定不同應(yīng)力區(qū)的等效應(yīng)力值，改變了傳統(tǒng)方法中選取各級(jí)應(yīng)力區(qū)間中間值或平均值存在的不足，該模型提高了應(yīng)力譜各級(jí)應(yīng)力的準(zhǔn)確性。