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    變指標(biāo)Morrey空間上分?jǐn)?shù)次極大算子及交換子的弱型估計

    2022-09-28 09:23:18陶雙平
    關(guān)鍵詞:定義

    徐 博,陶雙平

    (西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

    1 主要結(jié)果

    設(shè)0≤α

    (1)

    其中Q為n中的方體.給定一個局部可積函數(shù)b,由b和Tα生成的交換子定義如下:

    (2)

    給定可測函數(shù)p(·):n→[1,∞),變指標(biāo)Lebesgue空間Lp(·)定義為

    其上的Luxemburg-Nakano范數(shù)為

    定義1[3]設(shè)p(x)∈L∞,10,使得對任意的z∈n及r>0,Lebesgue可測函數(shù)u(z,r):n×(0,∞)→(0,∞),滿足

    那么稱u為Lp(·)(n)意義下的Morrey權(quán)函數(shù),用Wp(·)表示所有滿足上述條件的Morrey權(quán)函數(shù)的集合.

    定義2[3]設(shè)p(·):n→[1,∞),u(z,r)∈Wp(·).變指標(biāo)Morrey空間n)定義為

    定義3[8]設(shè)p(·):n→[1,+∞).若存在常數(shù)C>0且p∞∈,滿足

    (3)

    (4)

    對于任意p(·):n→[1,∞),定義

    本文的主要結(jié)果如下:

    定理1 設(shè)0<α

    (5)

    所定義.若存在常數(shù)C1>0,使得?z∈n和r>0,u滿足

    (6)

    定理2 設(shè)b∈BMO(n),設(shè)0<α0,使得對任意z∈n和r>0,u滿足

    (7)

    2 定理的證明

    引理1[4]若0<α0,使得對任意f∈Lp(·),有

    引理2[9]設(shè)b∈BMO(n),0<α0,使得對任意f∈Lp(·),有

    引理3[10]設(shè)0<α0,使得對任意球B,有

    引理4[11]設(shè)p(·):n→[1,∞)為全局log-H?lder連續(xù),k為正整數(shù),B?n,則對任意b∈BMO(n),j,i∈Z且j>i,有

    其中B=B(x,r),Bi=B(x,2ir).

    引理5[12]設(shè)p(·):n→[1,∞)滿足(3)和(4)式,1=p-≤p+<∞,則存在常數(shù)C≥1,使得對任意球B,有

    引理6[13]設(shè)p(·):n→[1,∞)滿足(3)和(4)式,則存在常數(shù)C,D>0,使得對任意球B,有

    (8)

    注意到存在常數(shù)C>0,使得對任意z∈n且r>0,有

    因此,

    (9)

    由(6),(8),(9)式得

    由引理6和(5)式,得

    其中C,D>0且與z,r均無關(guān).因此

    則有

    因此,由擬落數(shù)的定義,有

    對z∈n且r>0取上確界,得

    由引理2,得

    進(jìn)一步,利用(7)和(9)式得

    對于I1,由廣義H?lder不等式和引理3,有

    由引理4和引理5得

    因此,

    對于I2,由引理4和廣義H?lder不等式,有

    結(jié)合I1,I2的估計,有

    進(jìn)一步,由(7)式得

    因此,由擬范數(shù)的定義,有

    對z∈n且r>0取上確界,得

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