畫圖策略在數(shù)學教學中的運用

山東利津縣汀羅鎮(zhèn)中心小學（257452）陳燕

著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。數(shù)形結(jié)合，指數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”（即抽象思維與形象思維的結(jié)合），將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題思路的目的。因此，在數(shù)學教學中，教師應根據(jù)具體的教學內(nèi)容和學生的實際學情，適時滲透數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想方法，引導學生巧妙運用畫圖策略解決問題。這樣既可以豐富學生的解題思路，提高學生解決問題的能力，又能提升課堂教學效率和學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，使學生在數(shù)學學習上得到更好的發(fā)展。

一、畫圖策略揭示概念內(nèi)涵

小學生的思維正處于由形象思維向抽象思維過渡的時期，所以抽象的數(shù)學概念令他們感覺晦澀難懂，進而影響對所學數(shù)學知識的理解。因此，教師要想深刻地揭示數(shù)學概念的本質(zhì)，僅靠單純的口頭講授往往收效甚微，而借助數(shù)形結(jié)合的直觀性，可以深化學生對數(shù)學概念的理解。

例如，教學人教版數(shù)學教材第七冊《倍的認識》這一內(nèi)容時，“倍”本身就是一個比較抽象的概念，所以學生解題時經(jīng)常因為錯誤理解而出錯，即使教師反復糾正，學生也不知道自己錯在哪里。面對這樣抽象的數(shù)學概念，僅靠教師的口頭講授，很難讓學生理解。因此，筆者教學時另辟蹊徑，借助幾何直觀，先出示兩組圖（見圖1），讓學生觀察對比，再分析兩種圖形的數(shù)量關系。這樣，學生就能直接觀察得出：橢圓形和三角形的數(shù)量之間存在倍數(shù)關系，即把2個三角形視為一份（虛線打圈），那么6個橢圓形就有這樣的三份（三個虛線圈）。在學生初步感知“倍”的外在形式后，筆者讓他們?nèi)σ蝗Γ瑢ⅰ氨丁钡耐庠谛问接梅侄延嫈?shù)的方法表示出來，從而巧妙地轉(zhuǎn)化成數(shù)學上“倍”的概念。在學生掌握“倍”的概念后，筆者仍借助三角形和橢圓形，隨機舉出若干倍數(shù)的例子，讓學生嘗試在作業(yè)本上畫出示意圖。這樣反復通過幾何直觀，先后揭示和展示倍數(shù)，鞏固和加深了學生對“倍”的概念的理解。

圖1

由此可見，教學數(shù)學概念時，教師如能借助幾何直觀，從“數(shù)”和“形”兩個維度詮釋數(shù)學概念，讓學生進行切實有效的體驗感知，建立正確的概念表象，就能深化學生對所學數(shù)學概念的理解和掌握。

二、畫圖策略詮釋算理本質(zhì)

要想提高學生的計算能力，就要讓學生理解算理，因為理解算理是理論支撐和方法保障。但是，算理不像算法那樣具體可感，因為算理是抽象的，甚至沒有準確的科學語言來定義，只能靠學生去領悟。如果學生沒有深刻理解算理，或者根本無視算理的存在，甚至把算理當成兒戲，每次都是重復例題的演算步驟，就極易形成僵化思維和機械行為，導致解決問題時束手束腳，計算時呆板、生硬。那么，如何讓學生理解算理呢？畫圖是一條捷徑。圖形能夠直觀反映計算過程的細節(jié)，并演繹出每一步計算的邏輯原理，其推理過程都記錄在圖形中，這些優(yōu)勢能協(xié)助學生理解算理。

例如，運用乘法分配律進行計算時，學生常常出錯，根本原因是學生沒有真正理解乘法分配律的原理，出錯在所難免。透析代數(shù)公式（a+b）×c=a×c+b×c的計算原理，不妨先賦值，再把它移植到兩個等寬的長方形中，通過計算兩個長方形的面積和來理解這個公式的計算原理。如，賦值為（8+7）×5=8×5+7×5，那么第一個長方形的長賦值為8，第二個長方形的長賦值為7，兩個長方形的寬一律賦值為5；先分別求出兩個長方形的面積，再求和，那么列式為8×5+7×5（見圖2）。這里，因為兩個長方形的寬相等，所以不妨將兩個長方形以寬邊重合拼接，拼組成一個大長方形，從幾何變換上理解，此時拼組而成的大長方形面積等于兩個小長方形的面積和。這樣，大長方形的長變成（8+7），寬仍為5，根據(jù)長方形的面積計算公式列式為（8+7）×5。前后用不一樣的方法計算出的面積相等，于是就有了（a+b）×c=a×c+b×c。雖然前后意義不一樣，但是結(jié)果一致。所以，通過數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想方法，乘法分配律的計算原理便在幾何圖形組合這個維度上站穩(wěn)了腳跟，巧妙地突出教學重點、突破教學難點。

圖2

在數(shù)學教學中，有些算理如能融入幾何圖形的變換中，利用幾何圖形的拆分、組合進行面積與長度的運算變換，將圖形上的直觀變化轉(zhuǎn)化成數(shù)字計算上的變化，那么算理就可以被揭示得淋漓盡致，易于學生理解和掌握。學生一看到相關算式腦海里就會浮現(xiàn)出圖形，邊回顧圖形變換邊推演算式，進行雙重思考。這樣通過數(shù)形結(jié)合，學生既理解了算理，也掌握了算法，真正達到形神兼具的目標。

三、畫圖策略拓展解題思路

畫圖是數(shù)學解決問題的重要策略，它利用圖形展現(xiàn)和記錄問題中的數(shù)量關系，從而簡化題意，便于找到解題思路。同時，畫圖又是一個抽象、提煉的過程，即刪去情境枝葉，提取數(shù)量關系主干，并進行簡練轉(zhuǎn)述。

1.畫圖，可以有效突出解題線索

例如，人教版數(shù)學教材第十二冊《圓柱與圓錐的認識》的練習中有這樣一道題：“一個圓錐形沙堆，底面積是28.26平方米，高為2.5米。將其鋪在10米寬的便道上，施工要求鋪成2厘米厚，能鋪多少米？”教學時，部分學生無法進行等體積轉(zhuǎn)換，不知道如何將圓錐形沙堆轉(zhuǎn)化成長方體。于是，教師先引導學生構(gòu)思如下動圖（見圖3），再予以點撥：“解題主線是什么？”（沙子的體積始終不變，只是形狀發(fā)生了變化）“解題的過程是怎樣的？”（先求出圓錐形沙堆的體積，再用沙堆的體積除以長方體沙層的橫截面面積，就能求出長方體的長）

圖3

又如，教學人教版數(shù)學二年級的乘法內(nèi)容后，學生計算時常常在加法和乘法之間不知如何抉擇。這時，教師可以通過即時畫圖，輔助學生理解。如“大頭兒子買了3瓶胃動力，又買了5瓶王老吉，一共有幾瓶飲料？”，可畫示意圖4；“大頭兒子買了3提胃動力，每提5瓶，一共有多少瓶胃動力？”，可畫示意圖5。學生通過畫圖就能直觀感知，加法和乘法都是對數(shù)量的合并，只是加法是將不同的數(shù)量合并，乘法是針對相同的數(shù)合并，從而很快弄清加法和乘法的異同點，能正確區(qū)分二者的定義。

圖4

圖5

2.畫圖，可以迅速厘清數(shù)量關系

畫圖作為一種解題策略，從原先的輔助工具轉(zhuǎn)型升級為課程目標，是抽象問題直觀化處理的典型模式，能夠快速厘清題中的數(shù)量關系，從而找到解題思路。例如，人教版數(shù)學教材第九冊《稍復雜的方程》中有這樣一道例題：“足球表面分為黑白兩色外皮，白皮20塊，比黑皮的2倍少4塊，試問黑皮幾塊？”這道題的文字表述比較煩瑣，難以找到其中的數(shù)量關系，但通過畫線段圖（見圖3）分析，就能一目了然。借助線段圖，題中足球表面白皮和黑皮的數(shù)量關系就直觀地呈現(xiàn)在眼前，即白皮數(shù)=黑皮數(shù)×2-4。此外，此題還可以通過倒序厘清數(shù)量關系，即白皮數(shù)加上4等于黑皮數(shù)的2倍。這樣題中的數(shù)量關系直觀明了，解題思路也就自然呈現(xiàn)出來了。

圖6

四、畫圖策略創(chuàng)新思維方法

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學思想方法，需要教師在教學中適時滲透，使學生遇到相關問題時能靈活運用，正確地分析與解決問題。數(shù)形結(jié)合也屬于一種解題技巧，可以直接通過畫圖來解決問題；數(shù)形結(jié)合還屬于一種能力，可借助圖形分析問題，創(chuàng)新解題方法，提高解決問題的能力。當學生遇到抽象的數(shù)學問題時，能不能熟練地構(gòu)圖、制圖、用圖，通過畫圖突破思維瓶頸，尋找到巧妙的解題方法，考驗著學生的思維能力。

例如，教學人教版數(shù)學教材第十二冊《數(shù)學思考》的這道題“6個點可以連成多少條線段？8個點呢？”時，就可以通過畫圖降低難度，總結(jié)規(guī)律。又如，人教版數(shù)學教材第十二冊中的“擺一擺，找規(guī)律”這道題（見圖7）。

圖7

如果真要付諸實踐，就要準備火柴棒，這顯然有難度，且不便于展示，但不擺火柴棒只看圖，又不夠直觀。這時，可通過連續(xù)畫圖分析解題：先畫1個正方形，接著往下畫第2個、第3個、第4個……當學生畫到第4、第5個正方形時，隱含的規(guī)律已經(jīng)昭然若揭：除去第一個正方形需要4條線段，后續(xù)的正方形只需要3條線段。有了這個規(guī)律，再來解決“擺10個正方形所需要的火柴棒數(shù)”“301根火柴棒圍成的正方形個數(shù)”等問題就輕而易舉了。即使要求擺n個正方形所需要的火柴棒數(shù)，也不在話下。

五、畫圖策略助力經(jīng)驗積累

學習畫圖策略，目的是讓學生能靈活運用數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想方法解決問題，這與“四基”培養(yǎng)的目標是一致的。因此，在小學數(shù)學教學中，教師既要關注畫圖策略在概念內(nèi)涵學習、算理本質(zhì)解讀、思維方法拓展等方面的運用，又要重視學生基本數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，讓學生在數(shù)學學習過程中實現(xiàn)知識與技能的發(fā)展，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

例如，教學人教版數(shù)學教材第五冊《長方形和正方形的周長與面積》的練習課時，教師可通過畫圖幫助學生更好地理解長方形和正方形的周長、面積等概念，讓他們在問題探究中更有效地積累學習經(jīng)驗，提高解決問題的能力。

師：看著屏幕上的畫面，你獲得了什么數(shù)學信息？

生1：米老鼠在用竹籬笆圍庭院，用了96米的竹籬笆，問有哪些不一樣的圍法、怎樣圍面積最大。

生2：這個簡單，圍成正方形的面積是最大的，這在前面已經(jīng)學習過，即96÷4=24（米）、24×24=576（平方米）。

生3：這樣解答是對的！但是，還有一個問題沒有解決，就是有哪些不一樣的圍法。

生4：剛才的談論都用到了“長+寬”這個關鍵點，它是從“（長+寬）×2=長方形的周長”得來的，所以記好、記牢長方形的周長計算公式非常重要。

生5：這些思考都有一定的道理，但它們都不是米老鼠要圍成的庭院吧？用竹籬笆圍成庭院，難道必須要圍4個面嗎？

生6：哎呀！還真是的。圍庭院可以只圍3個面，靠墻的那一面是不用圍起來的。

生7：對呀！那3個面共長96米，一條邊的長度就是96÷3=32（米），面積最大應該是32×32=1024（平方米）。

……

積累學習經(jīng)驗雖然是學生數(shù)學學習的重要任務之一，但是教師在教學中不能忘卻新課程強調(diào)的一個重要理念，那就是“數(shù)學教學必須立足于兒童生活的現(xiàn)實”。筆者以為，這也是智慧教學的一種體現(xiàn)。因此，教師在教學中既要重視學生數(shù)學知識的習得，又要關注他們數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，提高學生解決問題的能力。上述教學，教師意在促進學生關于長方形的周長、面積等知識和經(jīng)驗的激活，并引導學生聯(lián)系生活實際解決問題，讓學生的學習更理性、更高效。

總之，畫圖策略是數(shù)學解決問題的基本策略。在數(shù)學課堂中，教師應根據(jù)具體的教學內(nèi)容，利用數(shù)與圖之間的對應和轉(zhuǎn)化，適時滲透數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想方法，讓學生的思維在抽象思維和形象思維之間靈活轉(zhuǎn)換，將數(shù)學問題化抽象為直觀、化難為易，從而豐富學生的解題經(jīng)驗，提升學生的思維品質(zhì)。