采用殘差變化控制的自適應(yīng)稀疏信道估計*

方海濤,卞 鑫，李明齊

(1.中國科學(xué)院上海高等研究院，上海 201210;2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引 言

正交頻分復(fù)用技術(shù)(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)因為其抗頻率選擇性衰落能力強和抗符號間干擾(Inter Symbol Interference，ISI)能力強等特點，被廣泛應(yīng)用于4G通信和下一代廣播通信系統(tǒng)中。在OFDM系統(tǒng)中，信號在傳輸過程中會受到無線信道環(huán)境的衰落和延時等制約，從而導(dǎo)致符號間的干擾。為了有效降低ISI，提高信號傳輸?shù)臏?zhǔn)確率，需要對信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)進行準(zhǔn)確估計[1]。

Donoho[2]提出的壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論表明，利用信號的稀疏特性，可以采用較少的觀測特征向量有效地恢復(fù)出原始信號信息。同時，文獻[3]表明無線信道具有稀疏性，通過將無線信道的稀疏性與壓縮感知理論相結(jié)合，可以在較少導(dǎo)頻信息條件下獲得較好估計性能，提高系統(tǒng)的頻譜利用率。

壓縮感知理論主要由稀疏變換、觀測矩陣和信號重構(gòu)三部分構(gòu)成[1]。其中信號重構(gòu)作為CS理論的重要部分，解決了信號由低維特征恢復(fù)到高維的問題。目前應(yīng)用較多的為基于貪婪迭代的重構(gòu)算法，該類算法具有計算復(fù)雜度較低、結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)等優(yōu)點。文獻[4]提出的正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法需要信道稀疏度的先驗信息，但是在實際應(yīng)用中，很難獲取信道的稀疏度，從而影響算法的估計性能。文獻[5]提出的稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP)算法解決了算法對于稀疏度先驗依賴的問題，但是其算法性能受迭代步長的影響，且在低信噪比環(huán)境下存在算法的抗噪聲能力較差的問題。

為了提高壓縮感知算法在信道估計中的估計性能，增強算法的稀疏度自適應(yīng)性，現(xiàn)階段已有大量研究。文獻[6]提出基于弱選擇變步長的分段自適應(yīng)匹配追蹤(Weak Selection Stagewise Adaptive Matching Pursuit,WSStAMP)算法，通過冪指數(shù)來控制步長選擇來控制對重構(gòu)原子的選取，但存在冪指數(shù)受稀疏度個數(shù)影響較大的問題。文獻[7]提出了基于奇異值分解的稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法，通過引入奇異值分解技術(shù)提高估計性能，但仍存在抗噪性能較差的問題。

為提高算法的抗噪聲能力，解決稀疏度依賴的問題，本文提出一種基于殘差變化控制的正交匹配追蹤(Residual Change Control Orthogonal Matching Pursuit，RC-OMP)算法。該算法通過比較每次迭代下的殘差變化的幅度來控制信道估計的迭代次數(shù)，解決了傳統(tǒng)重構(gòu)算法在信道估計中存在的選徑多估、漏估的問題。同時，在低信噪比環(huán)境下，利用OMP算法每次選擇相關(guān)性最大的原子，控制引入不理想原子的影響，提高算的抗噪聲性能。相較于傳統(tǒng)的稀疏度自適應(yīng)重構(gòu)算法，所提算法具有更好的估計性能和更低的算法復(fù)雜度。

1 系統(tǒng)模型

1.1 壓縮感知理論綜述

根據(jù)CS理論可知，若信號本身具有稀疏性或具有在某個變換基下具有稀疏性，以少量的觀測值能有效恢復(fù)原始信號[1]。

設(shè)信號x是N維的離散時間信號，該信號通過一個N×N變換基矩陣和一個稀疏向量相乘獲得，則信號x可表示為

(1)

式中：s為加權(quán)系數(shù)向量，ΨN×N表示變換基矩陣。若向量s中非0個數(shù)元素為K，且滿足K<

為了實現(xiàn)對信號的降維，即將N維信號減少到M維(M小于N)，需要一個M×N的測量矩陣對原信號進行降維操作，從而獲得包含信號x大部分信息的測量向量y，即

y=Φx+n=Φ·Ψs+n=Θs+n。

(2)

式中：Φ為M×N維的測量矩陣；Φ和變換基矩陣Ψ相乘得M×N維矩陣Θ，稱為恢復(fù)矩陣。通常需要根據(jù)已知的測量值和恢復(fù)矩陣信息來恢復(fù)原信號，測量矩陣Φ需要滿足等距約束性(Restricted Isometry Property,RIP)，即需要滿足

(3)

為對式(1)進行求解，現(xiàn)有文獻中提出了多種信號重構(gòu)算法[8-11]。

1.2 OFDM稀疏信道模型

假設(shè)OFDM系統(tǒng)的子載波數(shù)目為N。在發(fā)送端，輸入的比特流經(jīng)過編碼、調(diào)制、子載波映射和導(dǎo)頻插入等操作后得到頻域發(fā)送信號X(k)，k=0,…,N-1。其中，導(dǎo)頻個數(shù)為P，信道長度為L，則接收信號可表示為

y=XH+n=XWh+n。

(4)

式中：X為主對角線元素為X(k)(k=0,…,N-1)的對角矩陣；y=[y(0),y(1),…,y(N-1)]T為接收信號；H=[H(0),H(1),…,H(N-1)]T為信道頻域響應(yīng)采樣；n為復(fù)加性高斯白噪聲；W為N×N維傅里葉變換矩陣的前L列，

(5)

接收到的導(dǎo)頻信號為

yP=XPWPh+nP=Th+nP。

(6)

式中：XP為從N個子載波位置中選擇出的P個導(dǎo)頻位置。令S為N維單位矩陣中選擇與導(dǎo)頻位置對應(yīng)的P行，則XP=SXST，WP=SW。此時，從yP、XP、WP中估計h可看作是稀疏信號的重構(gòu)問題。

研究發(fā)現(xiàn)，在壓縮感知信道估計過程中，殘差的變化幅度隨迭代次數(shù)變化較為明顯。通過計算訓(xùn)練信號yP在不同稀疏度K下的OMP重構(gòu)算法的前后兩次殘差幅度變化發(fā)現(xiàn)，在較高信噪比條件(24 dB)下，當(dāng)?shù)螖?shù)超過稀疏度K時，或估計出信道的所有延時位置時，殘差的變化趨于平穩(wěn)，近似為0，如圖1所示。所以可利用基于殘差變化的壓縮感知信道估計來控制算法的迭代次數(shù)，進而減少不理想原子的引入，擺脫傳統(tǒng)匹配追蹤類算法對信號稀疏度先驗條件的依賴。

圖1 不同稀疏度下殘差變化的幅度

2 稀疏度自適應(yīng)的壓縮感知信道估計

2.1 傳統(tǒng)的稀疏度自適應(yīng)壓縮感知信道估計

雖然利用傳統(tǒng)的壓縮感知重構(gòu)算法可以對OFDM系統(tǒng)的信道進行估計，但是在實際場景中卻存在無法準(zhǔn)確獲取信道的稀疏度信息的問題?；谙∈瓒茸赃m應(yīng)的信道估計方法可以實現(xiàn)對稀疏度的自適應(yīng)估計，從而解決了稀疏度未知的問題。

文獻[5]提出的SAMP算法解決了壓縮感知信道估計的稀疏度依賴問題，但是算法對于迭代步長具有較高的依賴性，存在過度估計或者估計不足的問題；同時，相較于OMP算法，SAMP算法在低信噪比時受噪聲影響較大，亦存在抗噪性能差和估計不準(zhǔn)的問題。

2.2 基于殘差變化控制的壓縮感知信道估計

針對SAMP存在的問題，本文提出一種基于殘差變化控制的正交匹配追蹤(RC-OMP)算法。算法步驟如下：

輸入：輸入信號yP，恢復(fù)矩陣T=XPWP，殘差變換精度ε，最大迭代次數(shù)M。

Step1 更新迭代變量t=t+1，計算恢復(fù)矩陣的列向量和殘差的投影系數(shù)(內(nèi)積值)p=|THrt|。

Step2 選擇最大投影位置pos=max{p}，并將恢復(fù)矩陣對應(yīng)的pos列放入增量矩陣A中A=[AT(:,pos)]，并對恢復(fù)矩陣中的已投影矢量置零。

Step5 若迭代變量t小于預(yù)設(shè)迭代次數(shù)M，或者殘差變化精度大于殘差變化精度ε，更新殘差返回Step 2；否則退出迭代。其中，殘差變化ε計算等式為

(7)

式中：rt-1和rt分別表示上一次的殘差與更新殘差。ε主要導(dǎo)頻受個數(shù)以及稀疏度的影響，為了更好控制殘差變化精度，ε取值范圍為0.01≤ε≤0.3。

傳統(tǒng)的OMP算法主要依賴于迭代次數(shù)，當(dāng)?shù)螖?shù)較大時，則會引入冗余的原子；反之，則會存在估計原子不足的問題，導(dǎo)致估計性能變差。SAMP算法依賴于支撐集的大小，在原子預(yù)選階段通過固定選取相關(guān)性較大的L個原子來進行重構(gòu)，支撐集大小受迭代步長的控制：當(dāng)步長較大時，支撐集變大，則會引入冗余原子，造成重構(gòu)性能的降低；步長較小時，為達到較好性能則會導(dǎo)致復(fù)雜度的增加。上述算法都沒有考慮在信道估計中的殘差隨迭代次數(shù)的變化。

本文提出的RC-OMP算法在OMP算法的基礎(chǔ)上添加了殘差變化控制邏輯，通過控制殘差變化的幅度來相應(yīng)調(diào)整算法的迭代次數(shù)；在低信噪比環(huán)境下，通過每次選擇相關(guān)性最大的原子來降低引入不理想原子帶來的不利影響。同時，殘差變化幅度主要依賴于殘差總功率變化的影響，在低信噪比下通過有限次選取最大相關(guān)的重構(gòu)原子來降低殘差能量，避免了噪聲的影響。相較于SAMP算法，RC-OMP具有更好的抗噪聲性能。RC-OMP算法流程如圖2所示。

圖2 RC-OMP信道估計流程圖

3 仿真與分析

3.1 仿真場景與參數(shù)設(shè)置

本文在單天線OFDM場景下對RC-OMP算法進行性能仿真及評估，系統(tǒng)信道徑時延隨機分布，徑增益為零均值復(fù)高斯隨機變量，各徑平均功率隨時延呈負(fù)指數(shù)衰減，具體實驗參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

同時，為比較所提RC-OMP算法與現(xiàn)有基于壓縮感知的信道估計算法的性能，本文利用均方誤差(Mean Square Error，MSE)來作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，計算公式如下：

(8)

3.2 MSE性能比較

圖3所示為所提RC-OMP算法與傳統(tǒng)OMP算法[4]、SAMP算法[5]、WSStAMP算法[6]以及GAMP-SBL[12]算法的MSE性能對比。從圖3 可以看出，在相同信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)條件下，RC-OMP算法在MSE性能上要明顯優(yōu)于SAMP和WSStAMP信道估計算法。通過比較不同迭代次數(shù)下的OMP算法MSE性能發(fā)現(xiàn)，隨著迭代次數(shù)的增大，估計算法性能逐漸變差。這是由于迭代次數(shù)較大時會出現(xiàn)估計信道徑數(shù)變多的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致MSE性能的降低。另外，在相同的SNR條件下，RC-OMP算法相較于SAMP算法有更好的估計性能，高信噪比時SAMP算法MSE性能增強?？傮w上，所提RC-OMP算法相比SAMP信道估計算法約有4 dB的性能優(yōu)勢。

圖3 不同算法的MSE性能比較

3.3 不同迭代次數(shù)下的算法性能

在實際系統(tǒng)中，OMP算法的迭代次數(shù)增加會造成信道估計的冗余問題，過多的估計會影響信道估計性能。圖4給出了RC-OMP算法與OMP算法在不同迭代次數(shù)m下的MSE性能對比。從圖4可以看出，OMP算法對于信號稀疏度的先驗信息依賴性較強，迭代次數(shù)的增加會引入冗余徑，使得算法的估計性能變差；相較于OMP算法，RC-OMP算法具有更優(yōu)的MSE性能，同時也具有更好的自適應(yīng)性。這是因為RC-OMP信道估計算法引入殘差變化控制(式(7))的判決條件，避免引入冗余的重構(gòu)原子，保證了在較大的迭代次數(shù)下能夠快速收斂，從而獲得較好的估計性能。

圖4 不同迭代次數(shù)下的MSE性能比較

3.4 導(dǎo)頻數(shù)目對算法性能的影響

圖5給出了SNR為20 dB時不同導(dǎo)頻個數(shù)下的OMP算法、SAMP算法和RC-OMP算法的MSE性能比較。根據(jù)壓縮感知理論可知，為了保證信號能夠重建，測量數(shù)據(jù)數(shù)目需要滿足M>4K。為比較導(dǎo)頻數(shù)目對算法性能的影響，仿真比較了導(dǎo)頻數(shù)目在4K～9K下的OMP算法、SAMP算法和RC-OMP算法的性能。從圖5可以看出，當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)目較小時，測量信息較少，信道估計的性能較差；當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)目增加，測量信息量變多，信道的估計性能增強；當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)目大于7K時，估計性能變化趨于平緩。同時，從圖5可以看出，相較于OMP算法，RC-OMP算法在少量的導(dǎo)頻條件下也具有較快的收斂性能；同時，相較于SAMP算法，RC-OMP算法抗噪聲性能更優(yōu)，具有更好的估計性能。

圖5 不同導(dǎo)頻個數(shù)下的MSE性能比較

3.5 殘差精度對算法的影響

由于RC-OMP算法通過設(shè)置殘差變化精度來控制算法迭代，考慮到殘差變化精度對算法性能的影響，圖6給出了不同信噪比下殘差變化精度對算法估計性能的影響。從圖6可以看出，不同信噪比下性能隨殘差變化趨勢基本一致：殘差變化精度較小時，無法較好地控制算法迭代，引入冗余因子，影響算法估計性能；當(dāng)殘差精度較大時，算法提前停止迭代，估計信道稀疏度減少，信道估計性能變差。

圖6 不同殘差精度下的MSE性能比較

3.6 計算復(fù)雜度

在計算復(fù)雜度方面，用運算時間對算法的復(fù)雜度進行近似估計。本文的仿真硬件為Intel i7-4710HQ，CPU為2.50 GHz，RAM為4.00 GB，操作系統(tǒng)為Microsoft Windows 10。表2是三種算法在不同信噪比條件下的運算時間比較，可以看出，所提算法在計算復(fù)雜度上均低于對比算法。

表2 不同算法在不同信噪比下的運算時間

結(jié)合圖3、圖4和表2可以得出，在不影響算法復(fù)雜度的前提下，所提RC-OMP算法能夠提高信道估計的性能。

4 結(jié)束語

針對壓縮感知信道估計依賴稀疏度先驗以及傳統(tǒng)自適應(yīng)壓縮感知信道估計算法估計性能較差的問題，本文提出了一種基于殘差變化控制的OMP信道估計算法，即RC-OMP信道估計算法。仿真結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)的SAMP算法，RC-OMP算法能夠解決SAMP算法在低信噪比下估計性能較差的問題，同時具有更低的算法復(fù)雜度，因此具有較高的實用價值。

考慮到實際無線通信系統(tǒng)的應(yīng)用，下一步將研究運用該算法解決實際通信系統(tǒng)中由均勻?qū)ьl導(dǎo)致的壓縮感知信道估計不適用的問題，進一步提高算法的應(yīng)用可靠性。