基于實(shí)數(shù)編碼遺傳算法的稀布陣列綜合*

孫建邦，李建兵，王 鼎，聶福全，林鵬飛

(1.中國(guó)人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)，鄭州 450001；2.衛(wèi)華集團(tuán)有限公司，河南 長(zhǎng)垣 453400；3.北部戰(zhàn)區(qū)陸軍參謀部30分隊(duì)，濟(jì)南 250000)

0 引 言

相控陣天線采用電掃工作模式，天線波束靈活多變，易于在空間合成大功率，并且可以對(duì)多個(gè)目標(biāo)同時(shí)進(jìn)行搜索、識(shí)別和跟蹤，在電子對(duì)抗、探測(cè)預(yù)警、通信導(dǎo)航等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)的相控天線為了克服柵瓣的不利影響一般采用均勻的布陣方式，并且陣元間距通常不大于0.5λ[1-2]。對(duì)于一些大型相控陣天線，想要得到高的天線增益，采用傳統(tǒng)的均勻布陣方式無疑需要大量的天線陣元，這樣不僅導(dǎo)致結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本提升，而且天線體積龐大，工程建造困難。因此如何通過合理優(yōu)化各陣元位置和數(shù)量并通過設(shè)定各單元的激勵(lì)幅度以及激勵(lì)相位，得到符合需求的陣列輻射特性，是天線陣列領(lǐng)域主要研究的一類核心問題[3]。陣列綜合能夠使用較少數(shù)量的天線元件來獲得所需的輻射方向圖[4]，并且通過無規(guī)則的布陣方式，消除柵瓣，抑制副瓣。

從天線方向圖函數(shù)可以看出，陣元振幅的優(yōu)化是一個(gè)線性問題，通過傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法便可輕而易舉地得到最優(yōu)解，但是陣元位置的優(yōu)化是一個(gè)非線性問題，而且對(duì)于稀布陣，陣元的隨機(jī)性更大，對(duì)于大型陣列，可以想象其解集空間是無窮大的。采用窮舉法直接求解，以當(dāng)前計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力根本不可能在短時(shí)間內(nèi)求出最優(yōu)解。針對(duì)這個(gè)問題，廣大學(xué)者將遺傳算法[5-7]、蜂群算法[8-10]、粒子群算法[11-12]等群體智能算法成功運(yùn)用到了陣列綜合領(lǐng)域。

遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)是一種模擬自然界生物進(jìn)化的群體智能進(jìn)化算法，由于其性能穩(wěn)健，搜索能力強(qiáng)，對(duì)于復(fù)雜連續(xù)問題的優(yōu)化具有很好的效果，被廣泛應(yīng)用于陣列綜合領(lǐng)域。GA算法優(yōu)化陣列的基本思想是通過一定的編碼方式將陣列方向圖函數(shù)中的參數(shù)變量作為基因編碼成為染色體，然后通過構(gòu)造合理的適應(yīng)度函數(shù)對(duì)染色體的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)價(jià)，篩選出優(yōu)秀的染色體進(jìn)行一系列的復(fù)制、交叉和變異操作，逐代進(jìn)化得到最佳解。1994年，Haunt等人[13]采用遺傳算法對(duì)一個(gè)均勻激勵(lì)的200陣元線陣進(jìn)行了稀疏優(yōu)化，得到了低于-20 dB的天線峰值旁瓣電平(Peak Side-lobe Level，PSLL)，這是GA首次運(yùn)用在陣列綜合領(lǐng)域。國(guó)內(nèi)電子科技大學(xué)的陳客松教授也在稀布陣列方向開展了大量的研究[14-16]。

本文提出一種實(shí)數(shù)編碼遺傳算法(Real Coded Genetic Algorithm，RGA)的陣列優(yōu)化方法，陣列中所涉及的參數(shù)變量分別是陣元位置和陣元激勵(lì)幅度，兩者均是一定解集空間的連續(xù)型隨機(jī)變量。本文采用十進(jìn)制實(shí)數(shù)量化編碼方式，不僅提高了編碼精度，而且不需要對(duì)參數(shù)變量進(jìn)行復(fù)雜的解碼運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了程序。陣元位置和激勵(lì)幅度的組合優(yōu)化方式顯著降低了天線的峰值旁瓣電平。

1 稀布陣列模型

圖1是一個(gè)有N+1個(gè)陣元的稀布陣列模型，為了保證孔徑大小為L(zhǎng)不變，首位各放置一個(gè)陣元。此外，考慮到電磁輻射元件之間的互耦，相鄰陣元間距離滿足min{di-dj}≥dc，0≤j

圖1 稀布陣列模型

通常一個(gè)多元天線陣，陣列的方向圖函數(shù)可以表示成單元方向圖elpat與陣因子AF(θ)之積，如下式所示:

E=AF(θ)·elpat 。

(1)

對(duì)于本文所提出的一個(gè)具有間距約束的非均勻直線陣，假設(shè)在理想的狀態(tài)下，所有的天線陣元都是各向同性的，即elpat=1，不考慮環(huán)境、器件之間的電磁效應(yīng)等參數(shù)，只將陣元的放置位置和振幅作為變量，陣列的方向圖函數(shù)可以表示為

(2)

式中：wi表示i陣元振幅；di表示i陣元的放置位置；k=2π/λ表示波數(shù)；u=cosθ-cosθ0,θ表示來波方向，θ0表示天線主波束指向。式(2)給出了本文所要優(yōu)化的稀布陣列的方向圖函數(shù)，所有陣元振幅和位置用一組向量Wi、Di(0≤i≤N)表示，本文主要目的是通過提出的改進(jìn)遺傳算法計(jì)算出一組最佳的向量Wi、Di將方向圖函數(shù)中的峰值旁瓣電平降到最低。

2 RGA在稀布陣列綜合中的應(yīng)用

2.1 參數(shù)變量的實(shí)數(shù)編碼

2.1.1 陣元位置編碼

如圖1所示，根據(jù)約束條件,0號(hào)陣元坐標(biāo)為0，N號(hào)陣元坐標(biāo)為L(zhǎng),這兩個(gè)陣元是為了限定孔徑大小，所以是不參與優(yōu)化的。為了達(dá)到最小陣元間距dc,則1號(hào)陣元坐標(biāo)需滿足d1≥dc,第N-1號(hào)陣元坐標(biāo)d(N-1)≤L-dc,除去首尾兩個(gè)陣元，余下陣元的布陣空間為L(zhǎng)-2dc,當(dāng)然在L-2dc的空間上同樣需要考慮最小陣元dc的約束,所以將有長(zhǎng)為(N-2)dc的區(qū)間上同樣不能布置陣元,這樣,孔徑上共剩余的區(qū)間為

S=L-2dc-(N-2)dc=L-Ndc。

(3)

通過程序隨機(jī)生成區(qū)間[0,S]內(nèi)的N-1個(gè)隨機(jī)數(shù)，并將它們從小到大進(jìn)行排列，得到一組向量X=[x1,x2,x3,…,x(N-1)]T。這里可以將陣元位置位置向量Di=[d0,d1,…,dN]T表示成向量X=[x1,x2,x3,…,x(N-1)]T和idc(1≤i≤N-1)兩部分相加，則可以得到

(4)

向量X中的數(shù)值滿足x1≤x2≤x3≤…x(N-1)∈[0，S]。

通過上述操作，可以將陣元個(gè)體位置坐標(biāo)優(yōu)化向量d間接地轉(zhuǎn)化成求解向量X。同時(shí)顯然可以發(fā)現(xiàn)，搜索空間從[0，L]縮小為[0，S]，搜索空間的減小也意味著搜索效能的提升。本算法對(duì)陣元位置的優(yōu)化并不是直接以陣元位置坐標(biāo)d作為決策變量，而是間接地通過參數(shù)變量X來表示，直接對(duì)參量x進(jìn)行編碼。這樣做的好處是既保證了陣元間距約束，又縮小了搜索空間，同時(shí)增強(qiáng)了算法的穩(wěn)定性。

2.1.2 激勵(lì)幅度編碼

對(duì)于激勵(lì)幅度的編碼比較簡(jiǎn)單，可以直接通過程序生成區(qū)間[0，1]之間的一組隨機(jī)數(shù)，用向量Wi=[w0,w1,…,wN]T表示。

設(shè)初始種群數(shù)量為Mp，首先按照要求分別產(chǎn)生一組隨機(jī)失量X=[x1,x2,x3,…，x(N-1)]T和一組隨機(jī)激勵(lì)幅度矢量Wi=[w0,w1,…，wN]T，向量X通過式(4)可以得到N+1個(gè)陣元的位置矢量Di=[d0,d1,…,dN]T。一個(gè)完整的個(gè)體由一組陣元位置矢量和振幅矢量共同組成，即向量P=[d0,d1,…,dN，w0,w1,…,wN]T,則由Mp個(gè)種群可以表示成矩陣P：

(5)

2.2 適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)造

式(2)中所示的陣列方向圖函數(shù)由一組向量P=[d0,d1,…,dN，w0,w1,…,wN]T決定。通過每個(gè)陣元位置和振幅的不同排列組合來降低天線方向圖的峰值旁瓣電平,所以可以將峰值旁瓣電平作為適應(yīng)度函數(shù)：

(6)

式中：FFmax是表示主瓣；|u|≥2C0/(N+1)，u的取值區(qū)間是主瓣以外其他區(qū)域。

目標(biāo)函數(shù)可以表示為

f=min{fitness(d0,d1,…,dN，w0,w1,…,wN)} 。

(7)

2.3 種群初始化

設(shè)個(gè)體數(shù)量為Mp，每個(gè)個(gè)體的維數(shù)為2N+2，前N+1個(gè)實(shí)數(shù)代表位置參量，后N+1個(gè)值代表激勵(lì)幅度參量，個(gè)體表示為x(i,g)(i=1,2,3,…,Mp),i表示個(gè)體對(duì)應(yīng)種群中的序號(hào)，g表示遺傳代數(shù)。種群的個(gè)體需要進(jìn)行編碼，從而建立初始的搜索點(diǎn)。

根據(jù)優(yōu)化模型可以得到，位置參數(shù)變量的范圍為[0，L-Ndc]，則個(gè)體的位置初始參數(shù)值可以由xji,0=rand[0,1]·(L-Ndc)求得，其中，i=1,2,3,…,M；j=0,1,2,…,N。歸一化激勵(lì)幅度取值范圍[0，1]，則個(gè)體的激勵(lì)幅度參量可以由xji,0=rand[0,1]求得，其中,i=1,2,3,…,M；j=N,N+1,N+2,…,2N。本文綜合衡量了遺傳編碼的復(fù)雜度和遺傳代數(shù)，取Mp=200。

2.4 選擇操作

采用“輪盤賭”的選擇法，用pi來表示個(gè)體i被選取的概率:

(8)

從式(8)中得知個(gè)體i的適應(yīng)度fi越大，則它在種群中生存的幾率越大。

2.5 交叉和變異

采用隨機(jī)方式進(jìn)行交叉和變異，由于交叉概率Pc和變異概率Pm在一定程度上會(huì)影響到算法的搜索和開發(fā)能力，為了防止算法陷入局部最優(yōu)，增加遺傳算法開發(fā)能力和尋優(yōu)能力，本文設(shè)計(jì)了一種動(dòng)態(tài)的交叉和變異方式，即每次迭代過程中的Pc和Pm值由下式確定:

(9)

式中：Pc0和Pm0分別是初始交叉概率和初始變異概率，gi是當(dāng)前遺傳代數(shù)，Gmax是最大遺傳代數(shù)。隨著迭代數(shù)的增加，交叉概率Pc增大，算法的開發(fā)能力增強(qiáng)，收斂加快。同時(shí)隨著后期變異概率Pm減小，隨機(jī)搜索能力降低，算法趨于穩(wěn)定，有利于收斂到最佳值。

2.6 算法流程

基于實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法的稀布陣列綜合流程如圖2所示。

圖2 算法基本流程圖

3 稀布陣列優(yōu)化仿真結(jié)果

傳統(tǒng)的相控陣天線采用的是均勻布陣，為了使可視空間不出現(xiàn)柵瓣，陣元間隔一般不大于λ/2。一個(gè)50陣元、陣元間隔λ/2、孔徑長(zhǎng)為24.5λ的傳統(tǒng)一維線陣的方向圖如圖3所示，其中，波長(zhǎng)λ=1 m，它的PSLL約為-13.11 dB。這里將50陣元的傳統(tǒng)陣列稱之為“滿陣陣列”。

圖3 傳統(tǒng)50陣元天線陣列方向圖

本文RGA綜合稀布陣列的核心思想是，在約束天線孔徑和最小陣元間隔的基礎(chǔ)上，通過優(yōu)化位置和激勵(lì)幅度以獲得更優(yōu)的天線輻射特性。假設(shè)原始陣列陣元數(shù)為K，稀布陣列陣元數(shù)為k，定義稀布率η=k/K。

3.1 RGA算法對(duì)一個(gè)陣元數(shù)50的均勻陣陣列進(jìn)行稀布優(yōu)化

為了驗(yàn)證RGA算法對(duì)優(yōu)化天線PSLL的有效性，對(duì)一個(gè)擁有50陣元的均勻直線陣列進(jìn)行稀布優(yōu)化。設(shè)陣元是各向同性的，天線發(fā)射波長(zhǎng)λ=1 m，陣列孔徑為L(zhǎng)=24.5λ，取陣元最小間隔dc=0.5λ，種群數(shù)量Mp=200，Pc0=0.8，Pm0=0.05，遺傳算法最大進(jìn)化代數(shù)Gmax=300，隨機(jī)生成初始種群,通過“輪盤賭”選擇法隨機(jī)選擇父代染色體。為了充分利用優(yōu)秀染色體基因資源,采取優(yōu)秀個(gè)體保留機(jī)制。分別討論稀布率為50%、60%、70%和80%四種情況下對(duì)陣列優(yōu)化情況，每種稀布率下獨(dú)立隨機(jī)地進(jìn)行5次仿真,表1給出了最優(yōu)的PSLL結(jié)果。由表1可知，陣元位置和激勵(lì)幅度組合優(yōu)化效果明顯，隨著稀布率增大，雖然可以進(jìn)一步提高主瓣增益，但是同時(shí)也抬高了天線副瓣電平，對(duì)主副瓣比提高不是太明顯，大稀布率下需要的天線陣元較多，增加了天線結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和成本。當(dāng)然，實(shí)際的稀布率選擇還應(yīng)考慮天線系統(tǒng)的可靠性以及發(fā)射總功率等因素。

表1 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

當(dāng)稀布率為60%時(shí)，進(jìn)行獨(dú)立的陣元位置優(yōu)化時(shí)，最大副瓣電平相比“滿陣陣列”下降了4 dB，采用本文提出的RGA算法對(duì)陣元位置和激勵(lì)幅度進(jìn)行組合優(yōu)化，天線最大副瓣電平相比“滿陣陣列”降低了7.54 dB，由此可見本文算法和優(yōu)化策略的優(yōu)越性，稀布率為60%時(shí)優(yōu)化方向圖與同口徑50陣元均勻線陣方向圖對(duì)比如圖4所示。圖4的結(jié)果證明，本文提出的方法取得了預(yù)期的結(jié)果，達(dá)到了降低PSLL的目的。此外在同樣稀布率的條件下，通過RGA對(duì)陣元位置和激勵(lì)幅度同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化與只進(jìn)行陣元位置優(yōu)化相比，天線方向圖性能得到了很大的改進(jìn)，大幅度降低了副瓣電平，壓低了遠(yuǎn)區(qū)柵瓣，但是唯一不足的是增加了天線主瓣寬度。

圖4 RGA陣元位置和激勵(lì)幅度優(yōu)化、RGA陣元位置優(yōu)化和同孔徑50陣元均勻線陣方向圖對(duì)比

3.2 RGA算法與文獻(xiàn)[15]中的稀布陣列綜合方法對(duì)比

文獻(xiàn)[15]提出了一種運(yùn)用修正遺傳算法(Modified GA,MGA)綜合稀布陣列的方法，對(duì)陣元數(shù)17、陣列孔徑9.744λ、最小陣元約束0.5λ≤dc≤λ、左右對(duì)稱的線性陣列進(jìn)行了陣元位置優(yōu)化，通過優(yōu)化得到了低于-19 dB的峰值副瓣電平。采用本文提出的RGA方法，陣元數(shù)量、陣列孔徑和最陣元間距約束與文獻(xiàn)[15]相同，基本參數(shù)參照3.1節(jié)，重復(fù)進(jìn)行5次優(yōu)化，PSLL最低達(dá)到了-30.35 dB。取最優(yōu)的天線方向圖與文獻(xiàn)[15]對(duì)比，結(jié)果如圖5所示，可見本文提出的優(yōu)化方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于文獻(xiàn)[15]方法。

圖5 本文方法與文獻(xiàn)[15]中方法最優(yōu)稀布陣方向圖對(duì)比

3.3 RGA算法與文獻(xiàn)[16]中的稀布陣列綜合

文獻(xiàn)[16]提出了一種基于遺傳算法的非均勻激勵(lì)的稀布陣列綜合方法，同樣以降低副瓣電平為目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)了單元最佳均勻間距的非均勻激勵(lì)線陣，與單元間距為λ/2的均勻激勵(lì)線陣相比，采用最佳間距的非均勻激勵(lì)線陣的設(shè)計(jì)可以顯著地降低線陣的PSLL。設(shè)陣元數(shù)為20，陣列孔徑約束為16.7λ，方向圖對(duì)比如圖6所示。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見，本文RGA組合優(yōu)化方法與文獻(xiàn)[16]優(yōu)化方法相比，PSLL降低了3.16 dB。

圖6 本文方法與文獻(xiàn)[16]方法最優(yōu)稀布陣方向圖對(duì)比

4 結(jié) 論

遺傳算法對(duì)于優(yōu)化非線性等復(fù)雜問題具有自身獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。隨著稀布陣列在5G通信、衛(wèi)星、軍事等領(lǐng)域的廣泛使用，優(yōu)異的陣列輻射性能極為重要，本文提出的基于實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法為稀布陣列的優(yōu)化提供了一種新的方案。采用陣元位置和激勵(lì)幅度雙參數(shù)實(shí)數(shù)量化編碼方式，擴(kuò)大了陣列結(jié)構(gòu)的優(yōu)化空間，使求解精度得以提高，而十進(jìn)制實(shí)數(shù)量化編碼方式簡(jiǎn)化了程序，提升了遺傳算法的執(zhí)行效率。同時(shí)還引入交叉和變異動(dòng)態(tài)進(jìn)化算子防止算法陷入局部最優(yōu)，增加了遺傳算法開發(fā)能力和尋優(yōu)能力。