基于非最大糾纏態(tài)的非對稱雙向隱形傳態(tài)及優(yōu)化

肖鈞勻, 柏明強, 李文靖, 劉芷儀

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

量子通信是量子論與通信論相結(jié)合的一門新興交叉科學(xué),主要涉及量子隱形傳態(tài)[1-4]、量子超密編碼[5]、量子態(tài)分享[6-9]、量子信息集中[10-11]等研究領(lǐng)域,其中量子隱形傳態(tài)又是最引人矚目的課題之一.

量子隱形傳態(tài)是利用量子糾纏在量子通信領(lǐng)域中最奇妙的應(yīng)用,能實現(xiàn)瞬時離物傳輸.1993年Bennett[1]等就提出了量子隱形傳態(tài)的概念:一種利用經(jīng)典信道和量子糾纏資源實現(xiàn)遠程傳態(tài)的方式.在這開創(chuàng)性工作之后,研究者利用不同類型的量子通道,提出了許多傳送未知量子態(tài)的方案,比如單向隱形傳態(tài)[12]、單向受控隱形傳態(tài)[13]、雙向隱形傳態(tài)[14-16]等.結(jié)合受控和雙向隱形傳態(tài)思想,2013年Zha等[17]提出了第一個量子雙向受控隱形傳態(tài)方案:信息傳輸?shù)膬煞皆诘谌降目刂葡?可以同時交換他們的任意單粒子未知態(tài).量子雙向受控隱形傳態(tài)作為量子隱形傳態(tài)的一個新的方向,得到極大關(guān)注.此后,一些學(xué)者提出以不同量子糾纏態(tài)為信道的相互傳輸量子態(tài)的若干方案[18-24].其中非對稱的雙向受控隱形傳態(tài)方案是由Zhang等[23]于2015年首先提出,該方案以7粒子最大糾纏態(tài)為信道,在監(jiān)控者的控制下,Alice傳送她的單量子態(tài)給Bob,同時,Bob也能傳送他的二量子態(tài)給Alice.在2019年,彭家寅[24]提出9量子團簇態(tài)信道的非對稱的雙向量子信息傳輸方案,其優(yōu)點是Alice采用特殊的測量基,使得選擇的信道粒子數(shù)相對更少,提高了傳輸效率.上述研究從多方面驗證非對稱的雙向隱形傳態(tài)具有重要研究意義.

目前,針對非對稱雙向隱形傳態(tài)的研究成果中,還沒有一般性結(jié)論,本文先討論通信雙方同時傳輸不同粒子數(shù)的雙向隱形傳態(tài),特別地,以n=2,m=1 給出具體形式.在此基礎(chǔ)上,通過分析發(fā)現(xiàn)可以使信道粒子數(shù)減少,從而得到更優(yōu)方案.

1 基于非最大糾纏態(tài)為信道的非對稱雙向隱形傳態(tài)

假設(shè)Alice,Bob 分別有待傳態(tài)為:

|ψ〉x1x2…xn=

(a|00…0〉+b|11…1〉)x1x2…xn,

|ψ〉y1y2…ym=

(c|00…0〉+d|11…1〉)y1y2…ym,

(1)

其中非零復(fù)數(shù)a,b,c,d滿足|a|2+|b|2=1,|c|2+|d|2=1.他們共享一個(2n+2m)粒子態(tài)的量子信道:

|ψ〉12…2n+2m=(a1|00〉+b1|11〉)12?…?

(an+m|00〉+bn+m|11〉)(2n+2m-1)(2n+2m).

(2)

其中m,n∈Z+,非零復(fù)數(shù)a1,a2,…,an+m,b1,b2,…,bn+m滿足

|a1|2+|b1|2=1, |a2|2+|b2|2=1,
…, |an+m|2+|bn+m|2=1,

規(guī)定|ai|<|bi|(i=1,2,…,n+m),|aj|<|aj+1|(j=1,2,…,n+m-1).為了實現(xiàn)非對稱雙向隱形傳態(tài),需要進行如下步驟.

步驟1信道制備階段.要實現(xiàn)非對稱雙向隱形傳態(tài),需本地制備(2n+2m) 粒子糾纏態(tài)信道.通過對初始態(tài)|00…0〉12…2n+2m中序號為1,3,…,2n+2m-1的粒子進行Hardmard操作,再對粒子對(1,2),(3,4),…,(2n+2m-1,2n+2m)進行受控非門操作,則能成功制備該信道.具體操作流程如下.

對序號為1,3,…,2n+2m-1的粒子進行Hardmard操作,結(jié)果初始態(tài)變?yōu)?/p>

(|00〉+|10〉)?…?(|00〉+|10〉)12…2n+2m.

對粒子對(1,2),(3,4),…,(2n+2m-1,2n+2m)進行受控非門操作,其中1,3,…,2n+2m-1為控制比特,結(jié)果為

則本地制備成功.制備過程如圖1.

圖1 (2n+2m)粒子糾纏態(tài)制備

步驟2測量階段.粒子x1,x2,…,xn,1,3,…,2n+2m-1屬于Alice,粒子y1,y2,…,ym,2,4,…,2n+2m屬于Bob,整個系統(tǒng)態(tài)可表示為

|ψ〉t=

|ψ〉x1x2…xn?|ψ〉y1y2…ym?|ψ〉12…2n+2m.

(3)

Alice對粒子對(x1,1),(x2,3),…,(xn,2n-1)實施Bell測量,同時Bob對粒子對(y1,2n+2),(y2,2n+4),…,(ym,2n+2m)實施Bell測量,測量結(jié)果共有4n+m種,其中Bell基為

|B

步驟3經(jīng)典信息傳輸階段.Alice將她測量結(jié)果編碼成經(jīng)典信息,通過經(jīng)典信道發(fā)送給Bob;同時,Bob將他測量結(jié)果編碼成經(jīng)典信息,通過經(jīng)典信道發(fā)送給Alice.編碼規(guī)則如下:

|B00〉→00, |B01〉→01,

|B10〉→10, |B11〉→11.

步驟4重構(gòu)量子態(tài)階段.Bob根據(jù)Alice的測量結(jié)果,分別對粒子2,4,…,2n實施相應(yīng)的幺正變換.同時,Alice根據(jù)Bob的測量結(jié)果,分別對粒子2n+1,2n+3,…,2n+2m-1實施相應(yīng)的幺正變換.規(guī)則如下:

00 →δI, 01 →δx, 10→δz, 11→iδy.

注意:

δI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,δz=|0〉〈0|-|1〉〈1|,
δx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,iδy=|0〉〈1|-|1〉〈0|.

例如,Alice的測量結(jié)果為|B10〉x1,1,|B10〉x2,3,…,|B10〉xn,2n-1,Bob的測量結(jié)果為|B10〉y1,2n+2,|B10〉y2,2n+4,…,|B10〉yn,2n+2m,余下粒子坍塌為

(-1)

(-1)

根據(jù)收到的測量結(jié)果,Bob需對粒子(2,4,…,2n)進行幺正變換δz2?δz4?…?δz2n,同時,Alice需對粒子(2n+1,2n+3,…,2n+2m-1)進行幺正變換δz2n+1?δz2n+3?…?δz2n+2m-1,可得到

(4)

為重建最初的粒子態(tài),Bob和Alice應(yīng)分別引進一個初始態(tài)為|0〉B和|0〉A(chǔ)的二能級粒子B和A,并分別對(4)式在基矢|00〉2B,|01〉2B,|10〉2B,|11〉2B和|00〉(2n+1)A,|01〉(2n+1)A,|10〉(2n+1)A,|11〉(2n+1)A實施如下幺正變換U1和U2:

(4)式演化為

d|1…1〉)2n+1,…,2n+2m-1|0〉A(chǔ)+

d|1…1〉2n+1,…,2n+2m-1|1〉A(chǔ)].

對于Alice和Bob的其他的測量結(jié)果,Bob和Alice只需根據(jù)接收到的測量結(jié)果分別對粒子(2,4,…,2n)和粒子(2n+1,2n+3,…,2n+2m-1)實施相應(yīng)的幺正變換,并引入一個輔助粒子再做一次單粒子測量,即可以通過一定概率分別恢復(fù)出Alice和Bob想傳輸?shù)牧Ｗ討B(tài).特別地,當(dāng)信道為最大糾纏態(tài)時,即

雙方成功率達到1.

當(dāng)n=2,m=1 時,Alice,Bob 分別有待傳態(tài)為:

|ψ〉x1x2=(a|00〉+b|11〉)x1x2,

|ψ〉y1=(c|0〉+d|1〉)y1,

(7)

其中非零復(fù)數(shù)a,b,c,d滿足

|a|2+|b|2=1, |c|2+|d|2=1.

他們共享一個6粒子非最大糾纏態(tài)的量子信道,其量子信道為

|ψ〉123456=

(c1|0000〉+c2|0011〉+c3|1100〉+

c4|1111〉)1234?(a3|00〉+b3|11〉)56.(8)

其中非零復(fù)數(shù)c1,c2,c3,c4,a3,b3滿足

|c1|=|a1a2|, |c2|=|a1b2|, |c3|=|a2b1|,
|c4|=|a2b2|, |a1|2+|b1|2=1,
|a2|2+|b2|2=1, |a3|2+|b3|2=1,

規(guī)定

|ai|<|bi|(i=1,2,3), |aj|<|aj+1|(j=1,2),

顯然Alice傳送成功總概率為2|c1|2+2|c2|2,Bob傳送成功總概率為2|a3|2.若對應(yīng)的信道為最大糾纏態(tài),則非對稱雙向傳態(tài)成功傳送的概率為1.

2 基于4粒子糾纏態(tài)為信道的非對稱雙向隱形傳態(tài)

本節(jié)考慮Alice和Bob分別同時互傳2粒子態(tài)和單粒子態(tài)給對方,采用粒子數(shù)更少的信道,如4粒子態(tài).

假設(shè)Alice和Bob分別有待傳態(tài)為

|ψ〉12=(a|00〉+b|11〉)12,

|ψ〉3=(c|0〉+d|1〉)3,

(9)

其中非零復(fù)數(shù)a,b,c,d滿足

|a|2+|b|2=1, |c|2+|d|2=1.

他們共享一個4粒子非最大糾纏態(tài)的量子信道,其量子信道為

|ψ〉4567=(a1a2|0000〉+a1b2|0111〉+

b1a2|1000〉+b1b2|1111〉)4567.

(10)

其中非零復(fù)數(shù)a1,b1,a2,b2滿足

|a1|2+|b1|2=1, |a2|2+|b2|2=1,

且規(guī)定|a1|<|b1|,|a2|<|b2|,為了實現(xiàn)非對稱雙向隱形傳態(tài),需進行以下步驟.

步驟1測量階段.假設(shè)粒子1,2,4,5屬于Alice,粒子3,6,7屬于Bob.整個系統(tǒng)態(tài)可表示為:

|ψ〉t=|ψ〉12?|ψ〉3?|ψ〉4567.

(11)

下列8個GHZ態(tài)構(gòu)成三粒子正交基:

Alice需要對粒子2施行Hadamard操作,然后用三粒子正交基對粒子對(1,2,5)實施測量,同時Bob對粒子3實施單粒子投影測量，可想而知測量結(jié)果有16種.

步驟2經(jīng)典信息傳輸階段.Alice將他測量結(jié)果編碼成經(jīng)典信息,通過經(jīng)典信道發(fā)送給Bob,同時,Bob將他測量結(jié)果編碼成經(jīng)典信息,通過經(jīng)典信道發(fā)送給Alice.編碼規(guī)則如下:

|-〉,|γ+〉→0000; |δ-〉,|λ+〉→0101;

|γ-〉,|+〉→0010; |λ-〉,|δ+〉→0011.

步驟3重構(gòu)量子態(tài)階段.Bob根據(jù)Alice的測量結(jié)果,對粒子(6,7)實施相應(yīng)的幺正變換,同時,Alice根據(jù)Bob的測量結(jié)果,對粒子(4)實施相應(yīng)的幺正變換.規(guī)則如下:

00 →δI, 01 →δx, 10→δz, 11→iδy.

注意:

δI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,δz=|0〉〈0|-|1〉〈1|,
δx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,iδy=|0〉〈1|-|1〉〈0|.

不失一般性,假設(shè)Alice的測量結(jié)果為|λ+〉1,2,5,Bob的測量結(jié)果為|0〉3,余下粒子坍塌為

根據(jù)收到的測量結(jié)果,Bob對粒子(6,7)進行幺正變換δx6?δx7,同時,Alice對粒子(4)進行幺正變換δI4可得

c(a1|0〉+b1|1〉)4.

(12)

為重建最初的粒子態(tài),Bob和Alice需分別引進一個初始態(tài)處于|0〉B和|0〉A(chǔ)的二能級粒子B、A,并分別對(13)式在基矢|00〉6B,|01〉6B,|10〉6B,|11〉6B和|00〉4A,|01〉4A,|10〉4A,|11〉4A實施如下幺正變換U3和U4:

(13)式演化為

[a1(c|0〉+d|1〉)4|0〉B+

同理,對于Alice和Bob的其他的測量結(jié)果,Bob和Alice只需根據(jù)接收到的測量結(jié)果分別對粒子(6,7)和粒子(4)實施相應(yīng)的幺正變換,并引入一個輔助粒子再做一次單粒子測量,即可分別恢復(fù)Alice和Bob想傳輸?shù)牧Ｗ討B(tài),傳送成功的總概率分別為2|a2|2和2|a1|2.特別地,當(dāng)信道為最大糾纏態(tài)時,雙方成功率達到1.

3 結(jié)論

表1 傳輸效率比較

上面的方案可以有效地提升量子隱形傳態(tài)的效率,相信未來一定存在提升量子通信的效率的更優(yōu)方案.同時，多發(fā)送方、多接收方和多控制方的情況在量子隱形傳態(tài)中將會越來越普遍,理想情況下,控制方的加入能夠極大提高整個過程的安全性,所以我們會在這方向上做更多的工作.