發(fā)展兒童數(shù)感：從關(guān)注估算出發(fā)
——小學數(shù)學估算教學的思考與實踐

江蘇省南京市江寧實驗小學 湯燕波

生活中處處有數(shù)學，生活中處處能用到估算，如購物、旅行、房屋裝修等。在數(shù)學學習中，我們也常常利用估算來檢驗計算結(jié)果的正確性等。但在實際運用中，又有多少學生能自覺地應用估算來解決問題呢？學生學習估算的意義在哪里呢？考慮到估算教學本身的特殊性、估算方法的多樣性和估算結(jié)果的不確定性，估算教學成為教師困惑的教學內(nèi)容之一。本文以蘇教版數(shù)學教材為例，通過收集估算教學中的常見問題，了解估算教學的困難所在，嘗試從多個角度分析并給出相應的對策。

一、估算的意義與價值

何謂“估算”，小學數(shù)學教材中沒有明確的定義，通過查找相關(guān)資料，筆者認為估算是指對一些無法或沒有必要進行精確測量和計算的數(shù)量所進行的近似或粗略估計的一種方法，估算能力是計算能力的重要組成部分。

早在1992 年，估算內(nèi)容首次被引入教材，課程標準的實驗稿和 2011年版的數(shù)學課程標準都提出了明確的要求。2011年版的數(shù)學課程標準中是這樣描述的：“在具體情境中，能選擇適當?shù)膯挝?、合適的方法進行簡單估算，理解估算的意義?！笨梢?，估算教學越來越被重視。估算意識的培養(yǎng)、估算技能的掌握、估算能力的提高，已成重要的教學目標。

估算能力的培養(yǎng)，有利于提高學生的計算能力，促進思維的發(fā)展，建立良好的數(shù)感，良好的數(shù)感反過來也能增強學生的估算能力。學習估算，是為了更好地應用估算解決實際生活問題，實踐證明，估算還能培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。

二、估算教學中常見的問題及成因

教師常常認為估算沒什么可教的，正是因為方法的多樣性和估算結(jié)果的不確定性，使得估算不容易教，加上相關(guān)作業(yè)、練習中估算內(nèi)容較少，往往精算也能解決問題，所以師生長期不重視估算的教學。而走過場式的估算教學，導致學生估算能力比較薄弱。筆者認為，學生估算能力薄弱的原因，總結(jié)起來有以下幾方面：

（一）從知識的角度：估算概念模糊不清

翻閱蘇教版數(shù)學教材，教材中常常會出現(xiàn)“先估計”“先估一估”“口答”等詞，而且有時是用紅筆特別標注，估算的要求非常明確。實際教學中，教師也會有意識地去教學估算，但不是所有像上面的情境都需要估算。學生往往只要一看見題目中有“估計”“大約”“大概”“可能”等字樣，就認定這道題是估算，至于需不需要估算、為什么要選擇估算，根本就沒有考慮，這使估算學習顯得很機械。

例如：蘇教版數(shù)學三年級上冊第42頁第4題。

給一面邊長80厘米的正方形鏡子做鋁合金邊框，大約需要多長的鋁合金條？

有學生認為這一題是需要估算的，問題中有“大約”，但是仔細讀題之后會發(fā)現(xiàn)，這兒的“大約”僅僅是這個情境在現(xiàn)實生活中實際需要的表達，因為實際做鋁合金條是有損耗的，這個“大約”也可以換成“至少”，并不是要求估算值。所以，這里用精確計算80×4得到的320，看著是一個精確數(shù)，其實它仍然是一個近似數(shù)，這取決于實際的情境。

（二）從方法的角度：找不準估算的方法

就估算而言，估算方法可以有很多種，選擇哪種估算方法，則需要有選擇性地靈活運用，加上估算結(jié)果的不確定性，所以估算對于學生的綜合要求比較高。尤其讓學生感到困難的是：面對不同的情境，要判斷不同估法的準確性，找到合理的估法。

例如：蘇教版數(shù)學二年級下冊第77頁例7“三位數(shù)減法的筆算”。

教師引導學生先進行估算。

生1:把204看作200，把108看作100，200-100=100，所以大約是100。

生2：把108看作100，204不變，204-100=104，所以差比104要小。

生3：把108看作104，204不變，204-104=100，所以差比100小。

生4：我是這樣想的：100+108=208，現(xiàn)在才是204，所以差一定比100小。

生5：我覺得差一定在90～100之間，108+90=198，還不到204，差一定比90大，再加上204-104=100，204-108的差比一定比100小。

生6：204-104=100，現(xiàn)在減數(shù)是108，減數(shù)要多減4，那么差就少4，所以我能口算出答案，用100-4=96。

……

從上面可以看出，學生估算的方法是很豐富的，有用減法想的，也有用加法想的，學生暢所欲言，教師也很尊重學生的想法。但是如果深入思考，這些估法是否都可以呢？如果加上一個具體的情境，問題為：一年級有100個兒童畫展位，夠掛嗎？加上這個情境后，那么學生1和2的這種估法顯然就不合適了。

（三）從習慣的角度：先算后估急于求成

估算和精算相比，精算是直接計算，直接思維；而估算往往要先繞過精算，先估后算，是一種間接思維。所以，學生常常不喜歡估算。確實，有些題目用精算能直接解決問題，用估算還要根據(jù)情境思考合適的估算方法，有時還會出錯。學生會認為既然這樣，為什么還要估算。所以，學生是越不用就越想不到用，精確計算已經(jīng)形成思維定式。

例如：蘇教版數(shù)學二年級下冊，“兩位數(shù)的加減法”練習中設計了下面兩組題目。

學生大多是這樣匯報的：

54+14，個位上4+4=8，再看十位5+1=6，所以是60多。

26+29，個位上6+9=15，再看十位2+2=4，個位有進位，所以是50多。

67-35，個位上7-5=2，再看十位6-3=3，所以是30多。

93-57，個位上3，減7不夠減，變成13-7=6，再看十位8-5=3，所以是30多。

上述的兩組題是純估算練習的情境，可以看出大部分學生在匯報估算方法時，由于習慣精算的思維定式，說著說著就先算出精確值了，而且和豎式計算的方法一樣，都是先從個位算起。其實教材分組呈現(xiàn)，意在讓學生發(fā)現(xiàn)估算的方法，教師可以引導學生先估十位，再看個位，只要看個位是否需要進位或者退位即可，這種估算方法更簡單、快捷。

三、提高學生估算能力的方法與策略

（一）創(chuàng)設問題情境，感受估算價值

估算教學的目標是培養(yǎng)學生的估算意識，使學生能靈活地運用估算方法解決實際問題。情境的設計、問題的呈現(xiàn)是學生體會估算意義和價值的關(guān)鍵。在實際教學中，教師要善于捕捉生活中的“數(shù)學現(xiàn)象”，或者有意義的教材資源，將其作為素材，設計出鮮活的、有挑戰(zhàn)性的問題情境，進而讓學生深切地體會估算的作用和意義。

例如：蘇教版數(shù)學三年級下冊第2頁例2。

第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 28千克 31千克 31千克 29千克 33千克

你會估算王大伯去年大約一共收獲蒜頭多少千克嗎？

這一題就是一個很好的生活中的估算素材，筆者在上課時只呈現(xiàn)了以下情境：“王大伯把去年收獲的蒜頭裝在同樣大的袋子里，一共裝了60袋?！奔ぐl(fā)學生思考：“你能想辦法估算王大伯去年大約一共收獲蒜頭多少千克嗎？”課堂上學生進行了熱烈的討論。

生1：這里有60袋大蒜，要是一袋一袋稱有點麻煩，我覺得可以先稱出一袋的質(zhì)量，再乘60。

生2：我認為生1的方法挺好，也就是我們可以估計大概有多重。

生3：我同意你們說的，但是我不大同意生1的想法，雖然這個袋子是同樣大的，但是每袋的質(zhì)量可能會有不同，如果巧了，你拿的那袋正好是最少的，那乘60，60袋誤差就大了，如果王大伯拿去賣的話，那豈不是太虧了。

生4：我覺得生3說得有道理，但是題目中說袋子是同樣大的，所以我覺得每袋的質(zhì)量不會相差很多。

生5：我認為我們可以不只拿一袋來稱，可以多稱幾袋，看看情況。

生6：我想問，假如說我們現(xiàn)在拿出5袋來稱，那也有可能這5袋是最少的，或者是最多的，那怎么辦？

生7：我覺得這種可能性有，但也不一定，你不是隨便拿的嗎？但是這個方法比生1說的方法誤差要小。

……

當學生把所學知識與生活情境聯(lián)系起來，就能更好地掌握知識、內(nèi)化知識。像上面的設計就很有價值，學生討論時自然而然就想到了估算，通過對估算方法的討論，體會到估算可以有效地解決實際生活中的難題，方便人們的生活。這里，學生真正感受到了估算的價值，是發(fā)自內(nèi)心的一種感悟，從而增強了學生的估算意識。

再如：蘇教版數(shù)學四年級下冊第30頁第2題。

師：你能快速判斷上面的計算是否正確嗎？比一比，誰判斷得快？

生1:121≈120，13≈10，120×10≈1200，第1題肯定不對。

生2:121≈100，13≈10，100×10≈1000，121×13肯定比1000大，所以第1題不對。

生3:我們可以看最高位，121的百位是1，表示1個百，13的最高位是1，表示1個十，1個百乘1個十，怎么可能結(jié)果只有400多呢？

生4：我觀察了一下，這3道豎式都是三位數(shù)乘兩位數(shù)，三位數(shù)乘兩位數(shù)，至少是四位數(shù)，所以484 肯定不對。

上面的例子呈現(xiàn)的是純估算計算練習情境的教學，可以發(fā)現(xiàn)學生是在“被逼”的情況下想到用估算，而且方法多樣。實際教學中，如果學生在每次計算之后都能自覺利用估算，反過來再檢驗計算結(jié)果的合理性，并養(yǎng)成習慣，那么計算的準確性將大大提高。

所以，教師要研究估算，努力把估算滲透到計算的每一個環(huán)節(jié)中，如小數(shù)乘法計算、復雜除法（除數(shù)是兩、三位數(shù)或小數(shù)）計算中的試商等，讓學生能自覺地運用估算的檢驗功能，真正感受到估算能為筆算服務。教師還要創(chuàng)造性地使用教材、活化教材，即使有些題中沒有估算要求，也可以創(chuàng)設情境，適時地“逼”學生應用估算，讓學生感受到估算的實用性和便捷性。久而久之，學生的估算意識就會不斷加強。

（二）尊重算法多樣，培養(yǎng)估算策略

估算教學時，我們往往更重視“如何估算”的方法指導，估算的方法很多，但并不是任何估算方法都是合理的，估算策略很重要。估算策略主要是指根據(jù)不同的問題情境，運用合適的估算方法去解決問題的策略，具有較強的針對性和靈活性。學生掌握基本的估算方法并不難，但是靈活運用估算策略卻不容易。

例如：蘇教版數(shù)學三年級下冊第15頁第3題。

師：49×62，你是怎么估計的，誰來說一說？

生1: 49×62，把49 估算成 50，把 62 估算成 60，50×60＝3000，所以 49×62 的積大約是 3000。

生2: 把49和62兩個數(shù)都看小，分別看成40和60，40×60＝2400，把49和62兩個數(shù)都看大，分別看成50和70，50×70＝3500，所以49×62一定比2400大，比3500小，在2400和3500之間。

生3: 我是這么估的，把 49 看成 50，62不變，50×62＝3100，所以 49 ×62的積大約是 3100。

生4：可以把62看成 60，49不變，49×60＝2940，所以 49 ×62的積大約是2940。

……

師：你們覺得哪種估算方法更好呢？

生5：我覺得生1的方法好，找最接近的整十數(shù)，這種方法最簡單。

生6：我想補充一下生3的估法，他是把49看成50，估大了，所以49×62的積應該比 3100小。

生7：那么用生4的估法，49×62的積一定比2940大了。

生8：老師，如果把題目改一下，改成比較大?。?9 ×62○3100，我覺得用生6的方法好，其他方法好像都不行。

生9：如果是買東西的問題，問帶2400元夠不夠，那我覺得用生2的方法就可以了，不用再細估了。如果換成2800元，那就得用生7的估法了。

生10：所以，我覺得前面大家說的估算方法都對、都可以，但是要具體題目具體分析。

……

上述一道簡單的乘法估算題，開啟了學生估算學習的大門，經(jīng)歷探索估算方法這個過程，學生會對估算有更加深刻的認識，生成的是方法、是策略，更是能力。可見估算能力是一種綜合性很強的能力，在不同的具體情境下，運用的估算策略也是不相同的。 因此，在估算教學中，我們不能僅僅局限在教會學生估算方法，還要進一步引導學生根據(jù)實際情境，思考估值與準確值之間的關(guān)系，是多估了，還是少估了，怎樣估才與準確值最為接近。學生通過對估算值與準確值的比較，逐步明確估算的策略，建立更為清晰的數(shù)感。教師在估算教學時還要重視讓學生暢所欲言，交流、解釋彼此的估算過程，在思維的碰撞中獲得“估算智慧”。

（三）突破思維定式，估算精算結(jié)合

從本質(zhì)上看，精算和估算是不同的，精算是對于數(shù)的運算，估算是對于數(shù)量的運算。精算有利于培養(yǎng)學生的抽象能力，而估算有利于培養(yǎng)學生的直觀能力，這兩種能力都是日常生活和生產(chǎn)實踐中必不可少的能力，也是數(shù)學素養(yǎng)的根本。估算不僅僅是近似計算，更不是精算以后的四舍五入，估算也是需要算的，常常和精算結(jié)合在一起。

例如：蘇教版數(shù)學四年級上冊教學“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”。

這里的試商是嘗試把除數(shù)看成接近它的整十數(shù)，通?？谒憔湍苤苯诱业缴?，但是試商也會出現(xiàn)下面兩種情況：一種是乘積大于被除數(shù)，一種是余數(shù)大于或等于除數(shù)，所以需要結(jié)合乘法精算的結(jié)果繼續(xù)調(diào)整商。

例如，蘇教版數(shù)學三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”練習中有這樣一題：

王老師帶48名學生去公園劃船，每張船票11元，帶 500 元錢，夠買門票嗎？

有學生是下面這樣估的：

生1：48+1=49，49≈50，11≈10，50×10=500，夠買。

生2：48+1=49，49≈50，50×11=550，不夠買。

生3：48+1=49，11≈10，49×10=490，夠買。

但是實際的情況是48×11=528，528＞500，應該是不夠買。

從這一題可以看出，學生會把估算方法簡單地理解為四舍五入法，但是深入地思考后，上面的三種估算方法都不合理，因為三種方法都不能確定是比500大還是比500小，只能說大約是500。所以，教學估算時，教師一定要讓學生明確每種估法，是估多了，還是估少了，與參考值相比怎么樣。如上面生3的估法，估的是49×10=490，實際算的是49×11，實際值比估值多49，從而確定實際值比參考值500元多，500元不夠，這個估法就更為深入了。由此看出，有時候運用估算不一定簡單，需要不斷地對比、調(diào)整。有學生會覺得這道題還不如直接計算，精算更方便，估算反而更麻煩。這一題是可以精算，但是如果把題目中的500元改成550元，生2的估法就可以直接解決問題了。所以，估算教學并不是單一的教學，它常常和精算相結(jié)合。精算和估算也是相輔相成的，估算可以用來檢驗精算的結(jié)果是否正確，精算也可以檢驗估算方法是否合理。

綜上所述，估算能力并不是單一的計算技能，它要求學生具有良好的數(shù)感和靈活運用所學知識解決問題的能力。估算能力與數(shù)感是相互影響、相互促進的。估算能力的養(yǎng)成是一個長期積累的過程。作為一名數(shù)學教師，要善于不斷地研究、拓展教材，把對估算能力的培養(yǎng)不失時機地滲透到各個教學內(nèi)容之中，使學生增強估算意識，掌握估算技能，提高估算能力，充分發(fā)揮出估算在數(shù)學學習中的作用，從而不斷提高學生數(shù)學的綜合素養(yǎng)。