三參數(shù)異形橢球面方程、幾何特征及應(yīng)用前景

武周虎

(青島理工大學(xué) 環(huán)境與市政工程學(xué)院， 山東 青島 266033)

橢球面是一種二次曲面，它是橢圓在三維空間的推廣[1]，蛋形曲線[2-3]繞對稱軸旋轉(zhuǎn)180度形成蛋形曲面，常見的閉曲面類型有球面、橢球面、環(huán)形面和蛋形曲面等。世界各國具有代表性的蛋形仿生建筑有中國國家大劇院、日本東京巨蛋(Tokyo Dome)、英國埃克斯伯里蛋形(Exbury Egg)和印度孟買賽博蛋形(the Cybertecture Egg)等[4]。武周虎基于河流常系數(shù)對流擴散簡化方程的解析解，推導(dǎo)出污染混合區(qū)等濃度線方程[5-6]，據(jù)此定義了只有單對稱軸的二參數(shù)平面閉曲線——異形橢圓(Wu’s 曲線)方程，討論了異形橢圓的幾何性質(zhì)以及在交通隧道和水工隧洞設(shè)計中的應(yīng)用[7-9]。異形橢圓作為重要的數(shù)學(xué)曲線，在日常生產(chǎn)生活中具有重要應(yīng)用價值。

本文基于筆者創(chuàng)建的二維異形橢圓方程和三維對流擴散物質(zhì)的等濃度面方程[10]，定義縱向半長度、橫向半寬度和垂向半高度3個獨立參數(shù)，分別構(gòu)建三維空間的Ⅰ型和Ⅱ型異形橢球面——2種三參數(shù)閉曲面方程，分析它們的幾何特征，探討它們的應(yīng)用前景，為其推廣應(yīng)用提供理論支持。

1 異形橢圓

武周虎[7-9]創(chuàng)建的異形橢圓(見圖1)方程為：

圖1 歸一化異形橢圓示意圖Fig.1 Schematic diagram of a normalized heteromorphic ellipse

(1)

由圖1可以看出，異形橢圓像一個變形的橢圓，在對稱軸Ox的O端鈍胖，遠(yuǎn)端銳瘦，它是只有單對稱軸的二參數(shù)平面閉曲線。異形橢圓寬度(即最大寬度)相應(yīng)的縱向坐標(biāo)為xw=2a/e ≈0.368(2a)，接近黃金分割比例，使圖形產(chǎn)生美感。異形橢圓4個頂點坐標(biāo)分別為(0，0)、(2a，0)、(2a/e，-b)和(2a/e，b)。

異形橢圓的面積等于其面積系數(shù)、長度和寬度的乘積[7-8]，即有面積公式為：

S=μ(2a)(2b)

(2)

2 Ⅰ型異形橢球面

2.1 基本方程

基于武周虎[10]水庫穩(wěn)定點源簡化三維對流擴散物質(zhì)的等濃度面方程，定義三維空間的Ⅰ型異形橢球面方程為：

(3)

(0≤x≤2a，-b≤y≤b，-c≤z≤c)

式中：c為非對稱軸(垂向坐標(biāo))z方向的半高度，其它符號同前。

當(dāng)a=2.0、b=c=0.5時，由式(3)繪制Ⅰ型異形橢球體的三維建模橫截面輪廓線，見圖2(a)；曲面體效果，見圖2(b)。

圖2 Ⅰ型異形橢球體的三維建模Fig.2 3D modeling of a type I heteromorphic ellipsoid

2.2 幾何特征分析

由式(3)和圖2可以得到如下結(jié)果。

1) 當(dāng)x=定值(0

(4)

該橢圓與Ⅰ型異形橢球面輪廓在yOz坐標(biāo)面上的投影曲線重合。

2) 當(dāng)y=0或z=0時，即在xOz或xOy坐標(biāo)面上，Ⅰ 型異形橢球面的剖面曲線均為異形橢圓，該異形橢圓恰好是 Ⅰ 型異形橢球面輪廓在相應(yīng)坐標(biāo)面上的投影曲線。即在這兩個坐標(biāo)面上的剖面曲線為最大異形橢圓。

3) Ⅰ型異形橢球面左、右、前、后、下和上的6個頂點坐標(biāo)分別為(0，0，0)、(2a，0，0)、(2a/e，-b，0)、(2a/e，b，0)、(2a/e，0，-c)和(2a/e，0，c)。

4) 當(dāng)b=c時，Ⅰ型異形橢球面就是異形橢圓繞對稱軸Ox的180度旋轉(zhuǎn)曲面。

綜上，在笛卡爾坐標(biāo)系中，Ⅰ型異形橢球面的基本幾何特征為：在yOz平行面上的橫截面為橢圓，在xOy和xOz坐標(biāo)面上的剖面曲線均為異形橢圓，在對稱軸Ox的O端鈍胖，遠(yuǎn)端銳瘦。

三維空間的Ⅰ型異形橢球體的體積等于其體積系數(shù)、半長度、半寬度和半高度的乘積[10]，即有體積公式為：

V=φabc

(5)

3 Ⅱ型異形橢球面

3.1 基本思路

將只有單對稱軸的二參數(shù)平面閉曲線——異形橢圓在三維空間進(jìn)行推廣，定義縱向半長度(a)、橫向半寬度(b)和垂向半高度(c)3個獨立參數(shù)，構(gòu)建Ⅱ型異形橢球面方程，使Ⅱ型異形橢球面在空間直角坐標(biāo)面上的剖面曲線和俯視輪廓線均為異形橢圓。

3.2 方程構(gòu)建

在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，過原點O三條坐標(biāo)軸Ox、Oy、Oz的正方向符合右手規(guī)則，見圖2。Ⅱ型異形橢球面方程構(gòu)建的方法步驟如下。

1) 在y=0的坐標(biāo)面xOz上，設(shè)定Ⅱ型異形橢球面的剖面曲線為關(guān)于Ox軸上下對稱的異形橢圓，其方程為：

(6)

或

(7)

式中：z1為Ⅱ型異形橢球面在xOz坐標(biāo)面上剖面異形橢圓的垂向坐標(biāo)，其它符合同前。

2) 當(dāng)x=定值時，即在yOz的平行面上，設(shè)定 Ⅱ 型異形橢球面的橫截面異形橢圓對稱軸過Ox軸且平行于Oz軸。取橫截面異形橢圓對稱軸的下、上頂點坐標(biāo)分別為(y=0，z=-|z1|)和(y=0，z=|z1|)，即有橫截面異形橢圓的對稱軸垂向高度為2|z1|。設(shè)非對稱軸橫向半寬度為|yb|。

根據(jù)異形橢圓方程的基本形式，則有橫截面異形橢圓方程為：

(-|yb|≤y≤|yb|，-|z1|≤z≤|z1|)

(8)

3) 在z=0的坐標(biāo)面xOy上，設(shè)定Ⅱ型異形橢球面的俯視輪廓(橫截面異形橢圓寬度)曲線為關(guān)于Ox軸前后對稱的異形橢圓，其方程為：

(9)

式中：yb為Ⅱ型異形橢球面在xOy坐標(biāo)面上俯視輪廓異形橢圓的橫向坐標(biāo)。

4) 將式(7)和式(9)代入式(8)得到Ⅱ型異形橢球面方程為：

(10)

定義域為：0≤x≤2a，-b≤y≤b，-c≤z≤c，其中a、b、c為任意正常數(shù)。

當(dāng)a=2.0、b=c=0.5時，由式(10)繪制Ⅱ型異形橢球體的三維建模橫截面輪廓線和網(wǎng)格剖面，見圖3(a)～(b)。

圖3 Ⅱ型異形橢球體的三維建模Fig.3 3D modeling of a type II heteromorphic ellipsoid

3.3 幾何特征分析

由式(6)～式(10)和圖3可以得到如下結(jié)果。

1) Ⅱ型異形橢球面關(guān)于坐標(biāo)面xOz對稱，在xOz坐標(biāo)面上的剖面曲線呈現(xiàn)為由式(6)或式(7)表示的異形橢圓。當(dāng)xw=2a/e時，Ⅱ型異形橢球面的橫截面對應(yīng)的異形橢圓最大，由式(10)得到最大橫截面異形橢圓方程為：

(11)

該異形橢圓與Ⅱ型異形橢球面輪廓在yOz坐標(biāo)面上的投影曲線重合。

2) 當(dāng)x=定值時，Ⅱ型異形橢球面的俯視輪廓線寬度對應(yīng)的垂向位置與對稱軸下頂點之間的距離為2|z1|/e。則有，該垂向位置坐標(biāo)為zw=(2/e-1)|z1|，將式(7)代入后整理得到zw的表達(dá)式為：

(12)

圖4給出由式(7)表示的Ⅱ型異形橢球面在xOz坐標(biāo)面上的剖面異形橢圓(z1)和由式(12)表示的俯視輪廓線對應(yīng)的垂向坐標(biāo)(zw)曲線。

圖4 xOz坐標(biāo)面上的異形橢圓和俯視輪廓線對應(yīng)的垂向坐標(biāo)曲線Fig.4 A heteromorphic ellipse on the xOz coordinate plane, and the vertical coordinate curve corresponding to the top view contour

由圖4和式(12)可知，Ⅱ型異形橢球面的俯視輪廓線對應(yīng)的垂向坐標(biāo)位于z<0的下部區(qū)域，其值隨縱向坐標(biāo)x的分布曲線為半高度(≈0.264c)的下半異形橢圓。據(jù)此得到，Ⅱ型異形橢球面的俯視輪廓線以下高度占同一橫截面總高度的1/e≈0.368。

3) 當(dāng)z=0時，由式(10)得到Ⅱ型異形橢球面的剖面曲線方程為：

(13)

式中：y1為Ⅱ型異形橢球面在xOy坐標(biāo)面上剖面異形橢圓的橫向坐標(biāo)。

圖5給出由式(9)表示的Ⅱ型異形橢球面俯視輪廓異形橢圓(yb)和由式(13)表示的Ⅱ型異形橢球面在xOy坐標(biāo)面上的剖面異形橢圓(y1)。

圖5 xOy坐標(biāo)面上的異形橢圓和俯視輪廓線Fig.5 A heteromorphic ellipse on the xOy coordinate plane and the contour in top view

由圖5、式(9)和式(13)可知，Ⅱ型異形橢球面的俯視輪廓異形橢圓與在xOy坐標(biāo)面上的剖面異形橢圓非常接近，兩者具有相同的對稱軸長度(2a)和橫向最大寬度對應(yīng)的縱向坐標(biāo)(xw=2a/e)，橫向坐標(biāo)y1≈0.971yb(僅相差2.94%)。

4) Ⅱ型異形橢球面左、右、前、后、下和上的6個頂點坐標(biāo)分別為(0，0，0)、(2a，0，0)、(2a/e，-b，-0.264c)、(2a/e，b，-0.264c)、(2a/e，0，-c)和(2a/e，0，c)。

5) 由異形橢圓面積系數(shù)分布曲線[9]可知，Ⅱ型異形橢球面的所有橫截面異形橢圓半高度以下面積均占同一橫截面總面積的55.61%。由此可知，Ⅱ型異形橢球體在xOy坐標(biāo)面的上半部分與下半部分的體積比約為0.8∶1。

綜上，在笛卡爾坐標(biāo)系中，Ⅱ型異形橢球面的基本幾何特征為：在yOz平行面、xOy和xOz坐標(biāo)面上的剖面曲線以及俯視輪廓線均為異形橢圓；關(guān)于坐標(biāo)面xOz對稱；上半部分體積小于下半部分體積；在對稱軸Ox的O端鈍胖，遠(yuǎn)端銳瘦；下部寬大、底部較平坦，上部瘦小、頂部稍尖瘦，形心較低，穩(wěn)定性好等特點。

4 應(yīng)用前景

三維空間Ⅰ型和Ⅱ型異形橢球面可以選擇整體或分段與其它曲面組合應(yīng)用，也可以選擇從縱向坐標(biāo)xw=2a/e的最大橫截面位置截斷，在中間增加一段最大橫截面的“柱體段”，組合形成擬應(yīng)用對象，以便獲得更大的主體段功用空間。Ⅰ型和Ⅱ型異形橢球面可以任意選擇縱向長度、橫向?qū)挾群痛瓜蚋叨?個獨立參數(shù)的數(shù)值大小和比例關(guān)系。限于篇幅和專業(yè)技術(shù)，下面對Ⅰ型和Ⅱ型異形橢球面(包括組合體曲面)的應(yīng)用前景進(jìn)行探討，暫不涉及結(jié)構(gòu)分析、外形參數(shù)和流體力學(xué)特性等。

1) 蛋形曲面建筑

仿生建筑由來已久，世界各國蛋形仿生建筑屢見不鮮[4]。異形橢圓本身就是一個自然圖形[7]，根據(jù)Ⅰ型和Ⅱ型異形橢球面的幾何特征以及擬設(shè)計的建筑功用需求，合理選擇縱向長度、橫向?qū)挾群痛瓜蚋叨纫约暗芽栕鴺?biāo)系的方向，就可以設(shè)計出個性獨特的Ⅰ型或Ⅱ型異形橢球面建筑造型。該類設(shè)計的建筑規(guī)模可大可小，可設(shè)計成體育場館、大劇院、展覽館等，也可設(shè)計成住宅、別墅、現(xiàn)代“蒙古包”等。

如果選擇對稱軸Ox向上，Ⅰ型異形橢球面可以設(shè)計成高層摩天樓和塔樓的建筑造型，縱向坐標(biāo)0

2) 民用飛機

民用客機機身截面一般分為兩種，圓形與多圓弧。圓形截面由一個完整的圓構(gòu)成，受力特性好，但空間利用率較低。多圓截面由多段圓弧和與其相協(xié)調(diào)的光滑過渡曲線組成，空間利用率高，但采用 AUTOCAD 軟件進(jìn)行作圖，效率低，無法自動優(yōu)化[11]。

Ⅰ型和Ⅱ型異形橢球面均具有獨立3參數(shù)數(shù)學(xué)方程，可自動優(yōu)化滿足約束條件的設(shè)計方案。按照Ⅱ型異形橢球面方程構(gòu)建的方法步驟，就能夠更好地實現(xiàn)典型倒“8”字形機身截面和四段圓弧光滑過渡形機身截面[12]以及飛機后機身尾段截面[13]的參數(shù)化設(shè)計方法。

3) 船舶

科學(xué)研究與工程實踐表明，船舶形狀的優(yōu)化設(shè)計對降低應(yīng)力集中程度、獲得精細(xì)化的結(jié)構(gòu)形狀、減小航行阻力、降低運輸成本等，具有較高的應(yīng)用價值[14-15]。

對船舶而言，采用倒置Ⅱ型異形橢球形(見圖6)，既可以實現(xiàn)船體輪廓曲面的平順光滑，又可以獲得更大的上部功用空間，便于客艙布置與貨物裝載。

圖6 倒置Ⅱ型異形橢球體的三維建模網(wǎng)格剖面Fig.6 3D modeling grid profile of the inverted type II heteromorphic ellipsoid

倒置Ⅱ型異形橢球體上半部分與下半部分的體積比約為1∶0.8，浮心較高，下部為集中設(shè)備安裝和動力層，形心較低，有利于船舶處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。

4) 工藝品

Ⅰ型和Ⅱ型異形橢球面方程都具有可任意調(diào)整的3個獨立參數(shù)，可變換的形狀眾多，圖案具有單軸對稱性，鈍胖端與銳瘦端區(qū)分明顯，異形橢圓最大寬度位置接近黃金分割比例，使圖形產(chǎn)生美感，適合做工藝品設(shè)計。

在對稱軸半高度等于橫向半寬度(即旋轉(zhuǎn)半徑)條件下，圖7給出a=b=c=50 mm Ⅰ 型異形橢球體的3D打印樣品(Wu’s夜明珠)，它比球形擺放穩(wěn)定性好。在對稱軸縱向長度2a=55 mm、橫向?qū)挾?b=32 mm和垂向高度2c=9 mm條件下，圖8(a)(b)給出Ⅱ型異形橢球形吊墜的三維設(shè)計圖案和3D打印樣品，其造型美觀大方。

圖7 a=b=c的Ⅰ型異形橢球體Fig.7 Type I heteromorphic ellipsoid with a=b=c

圖8 Ⅱ型異形橢球形吊墜Fig.8 Pendant in the shape of a type II heteromorphic ellipsoid

5 結(jié) 論

1) 基于三維對流擴散物質(zhì)的等濃度面方程，定義了包含半長度、 半寬度和半高度3個獨立參數(shù)的Ⅰ型異形橢球面方程，給出在yOz平行面上的橫截面為橢圓，在xOy和xOz坐標(biāo)面上的剖面曲線均為異形橢圓的幾何特征。

2) 將只有單對稱軸的二維異形橢圓在三維空間進(jìn)行推廣，構(gòu)建了三參數(shù)Ⅱ型異形橢球面方程，給出在yOz平行面、xOy和xOz坐標(biāo)面上的剖面曲線以及俯視輪廓線均為異形橢圓、關(guān)于坐標(biāo)面xOz對稱、上半部分與下半部分的體積比約為0.8∶1的幾何特征。

3) 分析表明，Ⅰ型和Ⅱ型異形橢球面的連續(xù)性、光滑性和整體性好，可以選擇整體或分段組合應(yīng)用于蛋形曲面建筑、民用飛機、船舶形狀優(yōu)化和工藝品等設(shè)計，具有很好的科學(xué)研究和應(yīng)用前景。

致謝3D打印樣品由青島理工大學(xué)蘭紅波教授團(tuán)隊提供技術(shù)支持，碩士研究生祝帥舉、任鵬繪制了三維建模圖。