數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中Cranmer-Rao不等式的教學(xué)案例設(shè)計(jì)

陶 紅，徐耀坤，何章鳴，侯臣平

（國防科技大學(xué) a.文理學(xué)院；b.電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073）

引言

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個重要分支，在自然科學(xué)、工程技術(shù)、管理科學(xué)和人文社會科學(xué)等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用。很多高校的本科和研究生數(shù)學(xué)類與統(tǒng)計(jì)類專業(yè)均開設(shè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)類課程。傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)著重于定義與公式的講解與證明，這種講授方法雖然能夠準(zhǔn)確傳達(dá)課程知識，但在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想、提升科研創(chuàng)新能力這些方面存在明顯的不足。為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，很多高校都在嘗試采用案例教學(xué)法來提升數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)質(zhì)量。已有的教學(xué)實(shí)踐表明，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中引入案例教學(xué)模式，能夠有效幫助學(xué)生加深對理論知識的理解和提升解決實(shí)際問題的能力。案例教學(xué)法的推廣需要豐富的案例資源作為支撐。然而，目前我國高校數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的案例教學(xué)中，案例資源還比較匱乏。大多數(shù)案例內(nèi)容陳舊，與當(dāng)前社會的發(fā)展態(tài)勢聯(lián)系不夠緊密，從而限制了案例教學(xué)法的作用。由此可見，數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例建設(shè)的必要性與緊迫性。本文針對數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中Cramer-Rao不等式的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)領(lǐng)域前沿研究成果，從單分子定位超分辨成像和鋰電池荷電狀態(tài)估計(jì)兩個實(shí)際應(yīng)用中，凝練了兩個Cramer-Rao不等式的教學(xué)案例，加強(qiáng)課程內(nèi)容與實(shí)際問題的有效結(jié)合。

一、Cramer-Rao不等式的基本理論

在案例教學(xué)開始，首先對案例涉及的基本概念進(jìn)行詳細(xì)剖析。Cramer-Rao不等式的內(nèi)涵是：對于Cramer-Rao正則族的可估參數(shù)，其無偏估計(jì)的協(xié)方差陣存在下界。這個下界被稱為Cramer-Rao下界，由樣本容量、Fisher信息和可估參數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定。Cramer-Rao不等式的應(yīng)用十分廣泛，可應(yīng)用于雷達(dá)運(yùn)動目標(biāo)檢測、衛(wèi)星定位系統(tǒng)、超精密測量和量子成像等科學(xué)研究和工程實(shí)踐中的參數(shù)估計(jì)精度分析，對于提升實(shí)際應(yīng)用中的參數(shù)估計(jì)性能具有重要作用。由于Cramer-Rao不等式在理論研究和工程實(shí)踐中的重要地位，Cramer-Rao不等式一直是數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的教學(xué)重點(diǎn)。

現(xiàn)有教材通常直接給出Fisher信息的定義與存在條件，然后再給出Cramer-Rao不等式的具體內(nèi)容與證明。教師在教學(xué)的時候如果僅僅局限于教材，不結(jié)合實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行適當(dāng)延伸與拓展，那么學(xué)生對此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)將停留于“背公式”的層面，不能深入理解Cramer-Rao不等式的應(yīng)用途徑。因此，需要發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科的特點(diǎn)，積極進(jìn)行案例建設(shè)，擴(kuò)大案例式教學(xué)法在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用范圍，從而提升教學(xué)質(zhì)量。事實(shí)上，Cramer-Rao不等式作為參數(shù)估計(jì)中誤差分析的有力工具，已經(jīng)在相關(guān)學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用，結(jié)合基本理論，讓我們分析以下案例。

二、Cramer-Rao不等式的案例設(shè)計(jì)

實(shí)際的教學(xué)案例設(shè)計(jì)中，要考慮學(xué)生對案例背后知識背景的掌握程度。筆者結(jié)合學(xué)生的已學(xué)課程，通過查閱相關(guān)學(xué)科的前沿研究成果，分別從單分子定位超分辨成像和鋰電池荷電狀態(tài)估計(jì)兩個實(shí)際應(yīng)用中凝練了兩個Cramer-Rao不等式的教學(xué)案例，學(xué)習(xí)過“大學(xué)物理”基本課程的學(xué)生均可理解案例中的基本背景。兩個不同的案例中，既有諾貝爾獎工作中的科學(xué)問題，又有貼近實(shí)際生活的工程問題，現(xiàn)予以分享。

案例1 基于單分子定位的顯微成像技術(shù)（Single-Molecule Localization Microscopy,SMLM）獲得2014年獲得諾貝爾化學(xué)獎。SMLM的工作原理可以概括為“閃爍”“定位”與“重建”，即多次循環(huán)采集被稀疏激活的熒光分子，再利用單分子定位算法給出熒光分子精準(zhǔn)的空間定位信息，最后將每一幀的定位點(diǎn)合成為一張超分辨圖像。單分子定位算法的精度分析是成像分辨率分析中的一個基本且重要的問題。事實(shí)上，單分子定位就是對單分子的坐標(biāo)進(jìn)行估計(jì)。若獲得了單分子坐標(biāo)的無偏估計(jì)量，則此估計(jì)量的定位精度定義為其標(biāo)準(zhǔn)差。

圖1 單分子成像系統(tǒng)

若采集到個光子，由此個光子的坐標(biāo)構(gòu)造出的的模平方可積的無偏估計(jì)為，且已知

試求的方差下界。

第二步，計(jì)算（）。

案例2 鋰電池因其能量密度高、循環(huán)壽命長等優(yōu)點(diǎn)迅速發(fā)展為新一代儲能電源。準(zhǔn)確估計(jì)電池當(dāng)前工作狀態(tài)，對于提高儲能系統(tǒng)的安全性、可靠性和可用性具有重要作用。假設(shè)鋰電池內(nèi)部具有圖2所示的RC等效電路模型。

圖2 鋰電池內(nèi)部RC等效電路圖

此等效電路的工作原理為

其中表示電池的荷電狀態(tài)（SOC），和分別表示電池的極化內(nèi)阻和極化電容，表示平行電容器的電荷量，表示電池電量，表示電池歐姆內(nèi)阻，表示輸入電流，表示可直接測量的電池端口電壓，OCV（）表示開路電壓與SOC間的非線性關(guān)系并且可以通過實(shí)驗(yàn)測量得到。

則根據(jù)Fisher信息的定義知

在此次教學(xué)案例設(shè)計(jì)中，我們選取了兩個不同領(lǐng)域的例子，用來幫助學(xué)生理解不等式的深刻含義。通過以上兩個案例的分析，讓學(xué)生對枯燥的理論公式有了直觀的理解和認(rèn)識，讓他們感受到Cramer-Rao不等式在科學(xué)研究和工程實(shí)踐中的應(yīng)用。上述兩個案例雖然看上去計(jì)算量比較大，但是根據(jù)Cramer-Rao不等式的內(nèi)容及Fisher信息的定義，均能很快得到無偏估計(jì)的Cramer-Rao下界。上述案例雖然來自不同的研究領(lǐng)域，但是其中涉及的參數(shù)估計(jì)的精度分析屬于同一類型的統(tǒng)計(jì)問題。在案例運(yùn)用時，一方面結(jié)合背景開闊學(xué)生視野，另一方面重點(diǎn)讓學(xué)生領(lǐng)會統(tǒng)計(jì)原理、掌握統(tǒng)計(jì)方法，對于計(jì)算量可以根據(jù)情況進(jìn)一步簡化。案例2相比于案例1，拓展了試驗(yàn)設(shè)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容，能夠讓學(xué)生更加直觀地感受Cramer-Rao不等式在實(shí)踐中的重要作用，并在此過程中學(xué)會運(yùn)用Cramer-Rao不等式。結(jié)合以上兩個案例，可以在教學(xué)過程中通過討論互動的方法，讓學(xué)生總結(jié)利用Cramer-Rao不等式解決具體問題的方法和步驟，更加深入地理Cramer-Rao不等式的基本理論，從而更好地發(fā)揮案例教學(xué)法的作用。

三、結(jié)語

Cramer-Rao不等式在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有重要地位。雖然Cramer-Rao不等式的教學(xué)內(nèi)容便于理解，但是學(xué)生對于Cramer-Rao不等式在實(shí)際應(yīng)用中能夠解決什么問題、怎樣解決問題缺乏直觀認(rèn)識。本文針對Cramer-Rao不等式案例資料有限的情況，查閱相關(guān)領(lǐng)域的前沿研究成果整理出兩個案例，希望通過案例展示幫助學(xué)生將Cramer-Rao不等式的理論與實(shí)踐緊密結(jié)合起來，鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。