MATLAB在“大學(xué)物理”課程學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

黃旭初，李艷青

（昌吉學(xué)院 物理系，新疆 昌吉 831100）

“大學(xué)物理”是理科、工科、農(nóng)學(xué)和醫(yī)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，其內(nèi)容覆蓋范圍廣、知識(shí)較為抽象，并且在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，這給廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了一定的困難。對(duì)于一般的本科院校來(lái)說(shuō)，“大學(xué)物理”這門課通常是開(kāi)設(shè)在大學(xué)的第一學(xué)年，基本上與高等數(shù)學(xué)同步開(kāi)設(shè)，然而在這個(gè)階段，大多數(shù)學(xué)生利用積分、求導(dǎo)、極限等數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的能力略顯不足。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的薄弱，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法很好地理解物理問(wèn)題，這極大地削弱了學(xué)生對(duì)物理的學(xué)習(xí)興趣。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)課程改革取得了一定的成效，例如，用混合教學(xué)將線上和線下相互結(jié)合，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法等。然而，大學(xué)物理知識(shí)具有較強(qiáng)的邏輯關(guān)聯(lián)性，知識(shí)結(jié)構(gòu)環(huán)環(huán)相扣，同時(shí)這門課是訓(xùn)練學(xué)生思維方式的一個(gè)過(guò)程，因此，從形式上或者結(jié)構(gòu)順序上的調(diào)整仍無(wú)法從根本上解決這個(gè)問(wèn)題。為此，我們提出利用一些科學(xué)軟件來(lái)輔助學(xué)習(xí)，這不僅能夠克服數(shù)學(xué)上的障礙，同時(shí)還能將抽象的物理問(wèn)題形象化，進(jìn)而抓住物理的本質(zhì)，加深對(duì)物理問(wèn)題的理解，從而能夠有效地提高學(xué)習(xí)效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

目前，常見(jiàn)科學(xué)軟件有Mathematic、MATLAB、Excel等，其中MATLAB以簡(jiǎn)單易學(xué)、函數(shù)豐富、數(shù)形結(jié)合便捷等優(yōu)勢(shì)被廣大師生所青睞。由于MATLAB包含較為完善的數(shù)學(xué)函數(shù)，編程語(yǔ)言通俗易懂，學(xué)生容易掌握，因此利用MATLAB輔助學(xué)習(xí)大學(xué)物理成為可行。如何利用MATLAB處理大學(xué)物理中的物理問(wèn)題，將物理問(wèn)題圖形化是提高學(xué)習(xí)興趣的關(guān)鍵，本文就圍繞這個(gè)問(wèn)題選取力學(xué)、電磁學(xué)和機(jī)械波的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)論述。

一、“大學(xué)物理”中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

在大學(xué)物理的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是最為簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)的章節(jié)，在這個(gè)章節(jié)中部分學(xué)生對(duì)位移、速度和加速度這三者之間相互關(guān)系的理解停留在高中的階段，也就是會(huì)用一些現(xiàn)有的公式來(lái)處理質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)處理質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，這說(shuō)明學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用欠缺，導(dǎo)致的結(jié)果就是思維方式?jīng)]有發(fā)生轉(zhuǎn)變，在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中就變得非常吃力，從而覺(jué)得大學(xué)物理很難，逐漸失去對(duì)大學(xué)物理的學(xué)習(xí)興趣。在質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)章節(jié)中應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)主要是求導(dǎo)、積分和極限，如果能夠把這些知識(shí)點(diǎn)的物理和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系理解清楚，就能在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中得心應(yīng)手。

對(duì)于極限在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用主要是體現(xiàn)在平均和瞬時(shí)之間的關(guān)系上，如瞬時(shí)速度是將平均速度的時(shí)間取極限，從物理角度來(lái)理解就是時(shí)間點(diǎn)和時(shí)間段的變化。用MATLAB來(lái)取一個(gè)函數(shù)的極限可以用limit（r,t,0）的形式直接調(diào)用，其中r表示位置矢量函數(shù)，t是時(shí)間參量，0表示讓時(shí)間變量t無(wú)限趨近于零。例如已知運(yùn)動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)沿著x軸運(yùn)動(dòng)的位置和時(shí)間的關(guān)系由方程x=50t+5t確定，求質(zhì)點(diǎn)在最初3秒內(nèi)的平均速度和質(zhì)點(diǎn)在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度？對(duì)于這樣的問(wèn)題，平均速度可以按照定義在MATLAB中輸入v=（50*3+5*3^2-0）/（3-0）直接計(jì)算，瞬時(shí)速度就可以用v=limit（（50*t+5*t^2-50*3-5*3^2）/（t-3）,t,3）計(jì)算。如果按照數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義，將平均速度中時(shí)間的變化量取極限就是位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即=/就是瞬時(shí)速度，那么這個(gè)問(wèn)題在MATLAB中就可以更為簡(jiǎn)便的直接調(diào)用導(dǎo)數(shù)函數(shù)v=diff（50*t+5*t^2,1），在獲得任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度v=50+10*t基礎(chǔ)上，代入t=3s求得答案。

在“大學(xué)物理”課程中對(duì)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在考察兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系上，例如位移隨時(shí)間的變化、動(dòng)量隨時(shí)間的變化和熱量隨溫度的變化等。對(duì)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生遇到的問(wèn)題主要有兩點(diǎn)：第一，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的基本公式?jīng)]有很好的掌握，在應(yīng)用的時(shí)候拿不準(zhǔn)，需要查閱記分表，特別是在復(fù)合求導(dǎo)和偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算中容易出錯(cuò)；第二，由于在高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義是建立在標(biāo)量基礎(chǔ)上，對(duì)于矢量的求導(dǎo)學(xué)生不太容易理解。在“大學(xué)物理”教學(xué)過(guò)程中，為了能夠讓學(xué)生更好地理解矢量的求導(dǎo)，通常是將導(dǎo)數(shù)用極限的形式表示出來(lái)，考慮變化矢量的大小和方向在取極限條件下隨另一個(gè)物理量之間的變換關(guān)系。如在質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)中，切向單位矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)d/dt，可以寫成lim（|Δ|）n/Δt=（/R）n，學(xué)生很難理解為什么切線方向的單位矢量求導(dǎo)會(huì)轉(zhuǎn)到法線方向。MATLAB軟件的基礎(chǔ)是函數(shù)的矩陣表示，矢量用矩陣形式計(jì)算是非常便捷的，從而我們可以用MATLAB對(duì)這個(gè)問(wèn)題做一個(gè)簡(jiǎn)單的說(shuō)明。假設(shè)切線方向初始單位矢量A=［cosθ,sinθ］，末態(tài)單位矢量為B=［cos（θ+Δθ）,sin（θ+Δθ）］，則單位矢量的變化量C=B-A=［cos（θ+Δθ）-cosθ,sin（θ+Δθ）-sinθ］。要確定兩個(gè)矢量相互垂直，只需要證明它們的點(diǎn)乘為零，用MATLAB可以調(diào)用limit（dot（C,B）,Δθ,0）或 者limit（dot（C,A）,Δθ,0）來(lái)得到這個(gè)結(jié)果。這樣處理一方面加深了對(duì)極限和導(dǎo)數(shù)的理解，另一方面簡(jiǎn)化了矢量的運(yùn)算，從而讓學(xué)生不再為數(shù)學(xué)問(wèn)題所困擾，而更加關(guān)注對(duì)物理問(wèn)題的理解。

積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用非常廣泛，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中卻比較吃力，主要是因?yàn)閷W(xué)生記不住積分公式，或者對(duì)于積分的上下限模糊不清。由于積分是相對(duì)于導(dǎo)數(shù)的逆變換，所以在大學(xué)物理中只要有求導(dǎo)通常都會(huì)出現(xiàn)積分，并且積分變換后擁有相應(yīng)的物理含義，例如牛頓第二定律F=dP/dt，這個(gè)式子原本表示的是動(dòng)量隨時(shí)間的變換關(guān)系，經(jīng)過(guò)積分變換后ΔP= Fdt就表示質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。在大學(xué)物理中積分可以理解為取極限情況下對(duì)某一個(gè)物理量的求和，而積分上下限對(duì)應(yīng)的是邊界條件，結(jié)合MATLAB就很容易克服積分帶來(lái)的困擾。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)章節(jié)中，例如已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸直線運(yùn)動(dòng)，加速度為=4-（/），初始條件=3時(shí)，=2/，求質(zhì)點(diǎn)的速度。由加速度的定義可以得到=（4-），對(duì)這個(gè)式子兩邊同時(shí)積分就能得到速度的表達(dá)式=+4-/3，參量是通過(guò)帶入初始條件求得。應(yīng)用MATLAB可以調(diào)用int（1,v,v0,v）和int（4-t,t,0,t）對(duì)兩邊進(jìn)行積分，獲得任意時(shí)刻速度的表達(dá)式。當(dāng)然，這樣簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用MATLAB似乎沒(méi)有太多的簡(jiǎn)化，然而面對(duì)一些復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，MATLAB的優(yōu)勢(shì)就會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，從質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)開(kāi)始能夠逐漸用MATLAB輔助學(xué)習(xí)，能夠很好地起到過(guò)渡作用，隨著數(shù)學(xué)和物理知識(shí)的逐步深化，處理復(fù)雜問(wèn)題的能力也會(huì)逐步增強(qiáng)。例如在熱學(xué)部分和電磁學(xué)部分不僅會(huì)用到極限、導(dǎo)數(shù)和積分這樣一些知識(shí)，還會(huì)用到級(jí)數(shù)展開(kāi)，特殊函數(shù)及微分方程的求解等知識(shí)，同樣這些問(wèn)題也能結(jié)合MATLAB進(jìn)行處理。

二、物理問(wèn)題的圖形處理

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，通常圖形與復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式相比更為直觀、具體，對(duì)于物理問(wèn)題的理解也更容易一些。MATLAB不僅能夠?qū)σ恍┖瘮?shù)直接調(diào)用，同時(shí)還能夠?qū)⑦@些函數(shù)用圖的形式展示出來(lái)，綜合了計(jì)算和畫圖功能，這使得能夠更為直觀的分析物理問(wèn)題。下面我們通過(guò)兩個(gè)較為抽象的物理問(wèn)題為例，探討如何應(yīng)用MATLAB將抽象的概念圖形化，分析相應(yīng)的物理本質(zhì)。電磁學(xué)章節(jié)中電場(chǎng)和電勢(shì)的分布，僅通過(guò)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)公式很難看出它們的分布情況，對(duì)于電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)之間的關(guān)系也不容易掌握。然而，將點(diǎn)電荷電勢(shì)的公式直接輸入到MATLAB中，并且調(diào)用梯度函數(shù)gradient，等值線函數(shù)contour和矢量函數(shù)quiver就能將電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系很好的展示出來(lái)，如圖1所示。

圖1 等電量的三個(gè)點(diǎn)電荷周圍電場(chǎng)線和電勢(shì)分布圖，（a）和（b）分別表示三個(gè)異號(hào)電荷和同號(hào)電荷的電場(chǎng)線和電勢(shì)分布情況

在做“大學(xué)物理”實(shí)驗(yàn)中，描繪多個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線讓多數(shù)同學(xué)都感到很困難，通過(guò)這樣一個(gè)輔助計(jì)算就可以將理論和實(shí)驗(yàn)緊密結(jié)合起來(lái)，從而更加主動(dòng)地思考更深層次的一些物理問(wèn)題。從圖1中我們可以看到在x-y平面中，空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度我們都可以用一個(gè)具有一定長(zhǎng)度的箭頭來(lái)表示。從箭頭的方向可以反映出電場(chǎng)強(qiáng)度在空間各點(diǎn)方向的變化。基于電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的關(guān)系，可以從等勢(shì)線的疏密程度看出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。由于模擬過(guò)程中是按照相等的電勢(shì)差為單位間隔，從而我們可以看到靠近電極位置等勢(shì)線密集反映出較大的電場(chǎng)強(qiáng)度，較遠(yuǎn)的地方稀疏反映出較小的電場(chǎng)強(qiáng)度。

在機(jī)械波的學(xué)習(xí)中，波的疊加和干涉都是通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，然后對(duì)相應(yīng)的物理量進(jìn)行分析，從而研究波的性質(zhì)。對(duì)于波的性質(zhì)研究，用MATLAB畫圖是比較方便的，例如用mesh對(duì)相干波進(jìn)行畫圖，能夠很直觀地看到空間各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，振動(dòng)加強(qiáng)和振動(dòng)減弱點(diǎn)的位置及它們與波源、頻率、波長(zhǎng)等參量的關(guān)系都能清晰地展現(xiàn)，如圖2所示。

圖2 波源分別位于x-y平面（2，0）和（-2，0）兩點(diǎn)的兩相干波的干涉圖樣

在用MATLAB對(duì)相干波進(jìn)行表示的過(guò)程中，不需要復(fù)雜的計(jì)算，學(xué)生可以通過(guò)修改波長(zhǎng)、頻率或者傳播方向等參量來(lái)研究不同情況下波的圖樣。這里我們是選取了波源位于x-y平面（2，0）和（-2，0）的兩點(diǎn)。從圖上我們可以看到，在z方向振幅出現(xiàn)了明顯的加強(qiáng)和減弱現(xiàn)象，而且這種振幅的變化呈現(xiàn)一種對(duì)稱分布。通過(guò)調(diào)整參數(shù)如改變波源的位置，或者用球面波或者柱面波就會(huì)使得干涉圖樣呈現(xiàn)出其他的變化形態(tài)。在“大學(xué)物理”中用MATLAB把物理問(wèn)題圖形處理的優(yōu)勢(shì)就省去了復(fù)雜的計(jì)算，可以直觀的研究物理問(wèn)題，并且把物理問(wèn)題進(jìn)一步的深化。例如機(jī)械波的問(wèn)題可以適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)展到電磁場(chǎng)的傳播，或者是光學(xué)的關(guān)涉等問(wèn)題。這種用MATLAB圖形研究物理問(wèn)題，隨著大學(xué)物理知識(shí)由淺入深的學(xué)習(xí)，對(duì)于培養(yǎng)相關(guān)專業(yè)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力有很大的提升，同時(shí)，克服了物理問(wèn)題抽象化給學(xué)生帶來(lái)的困擾。

三、應(yīng)注意的一些問(wèn)題

應(yīng)用MATLAB輔助大學(xué)物理的學(xué)習(xí)具有很多優(yōu)勢(shì)，然而，在分析具體的物理問(wèn)題時(shí)要考慮到軟件的局限性，分清編程語(yǔ)言和物理問(wèn)題之間的聯(lián)系和區(qū)別。在應(yīng)用MATLAB處理物理問(wèn)題過(guò)程中，要注意三方面的問(wèn)題：第一，要明確物理問(wèn)題和MATLAB語(yǔ)言之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。很多學(xué)生在應(yīng)用MATLAB語(yǔ)言表達(dá)物理問(wèn)題的時(shí)候不夠準(zhǔn)確，往往會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)，甚至是錯(cuò)誤的結(jié)論。因此，將一個(gè)抽象的物理問(wèn)題具體用MATLAB語(yǔ)言描述的時(shí)候就必須抓住問(wèn)題的本質(zhì)，前后推敲仔細(xì)驗(yàn)證。第二，處理物理問(wèn)題過(guò)程中要考慮到MATLAB的局限性。通常在物理學(xué)中能夠測(cè)量的物理量都是實(shí)數(shù)，然而應(yīng)用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù)的情況，這就需要在物理問(wèn)題的描述過(guò)程中加一些限制條件。另一方面用MATLAB表示物理問(wèn)題的時(shí)候是用點(diǎn)（或數(shù)），我們不可能取盡所有的點(diǎn)，那么這就存在一個(gè)精確性的問(wèn)題。如果有一些特殊的點(diǎn)我們沒(méi)有取到，就會(huì)遺漏一些重要的物理性質(zhì)，因此在處理問(wèn)題的時(shí)候要充分考慮MATLAB的局限性。第三，不能完全依賴MTLAB來(lái)解決物理問(wèn)題。應(yīng)用MATLAB的目的是輔助大學(xué)物理的學(xué)習(xí)，加深對(duì)物理問(wèn)題的理解，如果過(guò)分依賴MATLAB處理問(wèn)題，反而會(huì)局限學(xué)生的思維，限制學(xué)生分析問(wèn)題的能力。

用MATLAB輔助學(xué)習(xí)，將煩瑣的計(jì)算工作交由計(jì)算機(jī)來(lái)完成，并把抽象的問(wèn)題具體化，可以很好地幫助學(xué)生解決在學(xué)習(xí)中遇到的困難，從而克服學(xué)生的恐懼心理，提高學(xué)習(xí)興趣。本文用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、電磁學(xué)和機(jī)械波等知識(shí)點(diǎn)為例，討論了用MATLAB輔助學(xué)習(xí)大學(xué)物理的方法，主要探討如何用MATLAB克服大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)知識(shí)欠缺所產(chǎn)生的困難，以及用圖形的方法將物理問(wèn)題具體化的過(guò)程。同時(shí)，考慮到軟件的局限性，我們也針對(duì)性地提出了應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題，這對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)是非常有幫助的。為工科學(xué)生的大學(xué)物理學(xué)習(xí)提供了新的思路，豐富了大學(xué)物理的教學(xué)方法，對(duì)大學(xué)物理的混合教學(xué)具有一定的指導(dǎo)意義。